Колебательное движение материальной точки

Колебательное движение материальной точки происходит при условии, если на точку, отклоненную от положения покоя, действует сила, стремящаяся вернуть точку в это положение. Такая сила называется восстанавливающей.

Колебательное движение может быть свободным и вынужденным. В свою очередь:

– свободные колебания разделяются на колебания под действием только восстанавливающей силы и колебания под действием восстанавливающей силы и силы сопротивления движению;

– вынужденные колебания разделяются на колебания под действием восстанавливающей силы и силы периодического характера, называемой возмущающей силой, и колебания под действием восстанавливающей силы, возмущающей силы и силы сопротивления движению.

 

Гармонические колебания

Гармонические колебания – это свободные колебания материальной точки под действием линейной восстанавли- вающей силы (рисунок 3.1).

 

Рисунок 3.1

P упр = cx

– восстанавливающая сила

(сила упругости); пропорциональна откло- нению материальной точки (тела) от положения статического равновесия (линии 0 - 0), Н;

c – коэффициент пропорциональности (упругости), Н/м;

l 0 – длина недеформированной пружины, м.

Запишем второй закон динамики в векторном виде для данной системы сил:

ma = P упр   + N + G. В проекции на ось x уравнение примет вид:

ma x = - P упр

; mx = - cx;

x + c

m

x = 0.

 

Обозначив

c = k 2, получим однородное линейное дифференциальное

m

уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, называемое дифференциальным уравнением гармонических колебаний:

 

 

где

 

k =   – циклическая (круговая) частота собственных колебаний,

(3.1)

 

c-1.

 

Величина k показывает, сколько полных колебаний совершит материальная точка (тело) в единицу времени.

Промежуток времени в течение которого материальная точка совершает одно полное колебание называется периодом колебаний (T) – величина обратная циклической частоте, которая определяется по формуле:

T =  2 p

k

= 2 p

, [ T ]= [с].

Общее решение уравнения (3.1) имеет вид:

x = C 1 cos kt + C 2 sin kt.                                (3.2)

Чтобы определить значения постоянных

C 1 и

C 2, найдем уравнение,

определяющее скорость точки, продифференцировав уравнение (3.2):

x = - kC 1 sin kt + kC 2 cos kt.                              (3.3)

Пусть в начальный момент времени

t = 0 точка имеет координату

x 0 и

проекцию скорости  на  ось x, равную условия в уравнения (3.2) и (3.3), найдем:

x 0. Тогда подставив начальные

C = x; C   =.

1    0          2   k

Подставляя значения движения:

C 1 и C 2

в уравнение (3.2), получим уравнение

x = x 0

cos kt + x 0 sin kt.                               (3.4)

k

Уравнение (3.4) можно записать в более компактном виде, положив

 

 

При этом получим:

C 1 = A sin b;

C 2 = A cos b.

 

 

или

x = A (sin b × cos kt + cos b × sin kt)

x = A sin (kt + b),                            (3.5)

 

где A – амплитуда колебаний, м;

b – начальная фаза колебаний.

Уравнение (3.5) является уравнением гармонического колебательного движения материальной точки.

Амплитуда A и начальная фаза b колебаний зависят как от

начальных условий, (x 0,

u 0) так и от физико-механических свойств

колебательной системы (c, m), и определяются по начальным условиям движения.

Период T и  частота k зависят только от физико-механических свойств колебательной системы (c, m).

Уравнение, определяющее скорость, соответственно примет вид:

x = kA cos(kt + b).                           (3.6)