Теорема об изменении кинетической энергии

Рисунок 7.1

Работа и мощность сил

Если тело движется поступательно прямоли- нейно, а сила, приложенная к нему, постоянна по модулю и направлению (рисунок 7.1), то работа силы определится скалярным произведением

вектора силы P на вектор перемещения D r точки приложения силы:

A = P × D r

 

или по модулю

A = P × D r × cos(P, D r).

 

Так как

D r = s, то

A = Ps cos a, [ A ]= [Н × м]= [Дж].

Если 0 £ a < 90°, то работа положительна. Если a = 90°, то работа равна нулю.

Если 90° < a £180°, то работа отрицательна.

Если движение криволинейно, а сила изме- няется по величине и направлению (рисунок 7.2), то траекторию движения следует разбить на бесконечно малые элементарные участки ds.

 

 

Рисунок 7.2

Тогда элементарная работа d A

определится:

 

силы P

d A = P d s cos(P, t),

где ds – приращение дуговой координаты (алгебраическая величина).

Разложим силу P на составляющие (проекции на естественные оси):

P t  = P cos(P, t);

P n    = P cos(P, n). Тогда элементарная работа будет равна:

d A = P t ds.                                        (7.1)

Уравнение (7.1) показывает, что работу на элементарном участке ds

совершает только касательная составляющая P t                 силы P; работа

 

нормальной составляющей

 

P n, перпендикулярной направлению вектора

скорости u точки M, равна нулю.

Представим элементарную работу силы как скалярное произведение:

d A = P × dr, где dr – элементарное перемещение.

Тогда в проекции на декартовы оси координат получим:

d A = P x dx + P y dy + P z dz.

Полная работа силы на каком-либо конечном перемещении AB равна:

 

A = ò d A = ò(P x d x + P y d y + P z d z).                       (7.2)

A          A

Рисунок 7.3

 Работа силы тяжести

Определим работу силы тяжести G, действующей на материальную точку M, на перемещении AB, величина которого мала по сравнению с радиусом Земли (рисунок 7.3). В этом случае модуль и направление силы тяжести постоянны.

Воспользуемся выражением (7.2). Для этого определим проекции силы

 

G на декартовы оси координат:

 

G x = 0; G y = 0; G z = - G.

Тогда работа силы G при перемещении материальной точки M из положения A в положение B будет равна:

z 2                                                z 2

A   = ò (- G) d z   = - G   ò  d z   = - G   (z 2  -  z 1 ) =  G   (z 1  -  z 2 ),

z 1                                                z 1

где

z 1 - z 2 = h – величина вертикального перемещения точки M, м. Таким образом, работа силы тяжести определяется выражением:

A = ± Gh.

Знак «+» соответствует перемещению материальной точки вниз, а

знак «» – перемещению материальной точки вверх.

 

Работа силы тяжести не зависит от вида траектории, по которой движется точка ее приложения, а зависит лишь от расстояния между горизонтальными плоскостями, проходящими через начальное и конечное положения точки приложения силы.

 Работа силы упругости

Рассмотрим пружину AB, конец A которой закреплен неподвижно (рисунок 7.4).

При растяжении пружины будет возникать сила, стремящаяся вернуть ее в положение равновесия – сила упругости, модуль которой пропорционален удлинению пружины и равен

P упр = cx,

где x – величина удлинения пружины, м.

 

Рисунок 7.4

Определим проекции силы

 

P упр

на декартовы оси

координат:

P упр (x) = - cx;

P упр (y) = 0;

P упр (z) = 0.

Тогда работа силы

 

P упр

при удлинении пружины на l будет равна:

 

l                                         l

A = (- cx) dx =  A = - c xdx = -

c   (l 2  - l 2 )= c

                                                                                   

(l 2 - l 2),

ò              ò    2

0     2 0

l ₀                                       l ₀

где l 0

и l – соответственно начальное и конечное удлинения пружины, м.

 

 Работа силы при вращательном движении тела

Согласно уравнению (7.1), элементарная работа внешней силы, приложенной к i -й точке тела вращаю- щегося вокруг вертикальной оси z (рисунок 7.5), определится:

d A e = P e ds.

 

Так как

i      i t

ds i = h i d j, то

i      i t

i                   z  i t

d A e   = P e h × d j = M

i

(P e  )× d j.

Рисунок 7.5

При действии нескольких сил:

i

d A e = å d A e;

z  i t

z

d A e    = å M   (P e  )× d j = M e d j,

 

M

где

e – главный момент внешних сил относительно оси z, Н× м.

 

z

Согласно свойству внутренних сил

M j = 0, тогда полная работа на

 

z

конечном угловом перемещении тела будет равна:

z

j

z

Если

 

 

M e = const, то

A = ò

j ₀

 

z ò

z

0

j

M e d j.

A = M e

j ₀

d j   =  M e (j   -  j  ).

 

 

Мощность силы – работа, совершаемая силой в единицу времени. Средняя мощность определяется выражением:

A

N ср = t;

[ N ] = é Дж ù = [Вт].

ëê      c úû

Истинная мощность в данный момент времени определится по формуле:

N = d A  .

dt

При поступательном движении d A = P × dr:

 

N =  P × dr

= P × dr

= P × u = P u cos(P, u).

dt       dt

z

При вращательном движении d A e = M e d j:

 

M e d j    e

N = z = M z w.

dt

Теорема об изменении кинетической энергии

Пусть материальная точка массой m движется под действием сил

 

 

P 1,

 

 

P 2, …,

 

P n. Согласной второму закону динамики:

m a = å P i   .                                        (7.3)

Спроецируем уравнение (7.3) на касательную ось и умножим обе его части на приращение дуговой координаты ds:

m a t   d s = å P i t   d s.                                     (7.4)

Рассмотрим левую часть уравнения (7.4):

d u       ds                     æ  u 2 ö æ  m u 2 ö

ma t ds = m dt ds = m dt d u = m u d u = md ç 2 ÷ = d ç 2 ÷ .

 

Согласно (7.1)

è ø è   ø

å P i t   d s = å d A i  , тогда уравнение (7.4) примет вид:

æ  m u 2 ö

ç

d 2 ÷ = å d A i  ,                                  (7.5)

 

 

где

 

m u 2

2

è   ø

 

– кинетическая энергия материальной точки, Дж.

Проинтегрировав выражение (7.5) получим теорему об изменении кинетической энергии материальной точки в интегральном виде:

0

m u 2 -  m u 2

= å  A i  .                                  (7.6)

2   2

Изменение кинетической энергии материальной точки на некотором перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на эту точку сил на том же перемещении.

 Для механической системы

Изменение кинетической энергии механической системы на некотором перемещении равно сумме работ внешних и внутренних сил, действующих на механическую систему на том же перемещении:

T - T 0

= å  A e   + å  A j,                                (7.7)

i              i

где

T 0 и T   –  соответственно кинетические энергии механической системы в ее начальном и конечном положениях, Дж;

i

å  A e

i

å  A j

– сумма работ внешних сил, приложенных к  механической

системе, на ее перемещение из начального положения в конечное, Дж;

– сумма работ внутренних сил механической системы на том же перемещении, Дж.

 

 Вычисление кинетической энергии твердого тела

 при различных видах движения

 

При поступательном движении:

 

m u 2

 

 

При вращательном движении:

T =  .

2

 

 

J w 2

T =   z .

2

При плоскопараллельном движении:

=  m u 2 +  J w 2

T    С      С   .

2    2

Где

J – момент инерции тела относительно оси его вращения, кг × м2;

z

u С – скорость центра масс, м/с;

J С – момент инерции тела относительно центральной оси, перпен- дикулярной плоскости движения тела, кг × м2.