Определение необходимого объема выборки

Пусть требуется найти минимальное число п повторений опытов, при котором среднее арифметическое , найденное по этой выборке, отличалось бы от математического ожидания не более, чем на задан-
ную величину . Это, по существу, задача, обратная предыдущей.
Для ее решения необходимо знать оценку дисперсии . Здесь можно использовать, например, результаты проведенных ранее исследований. Значение n определяется по формуле

                                                                                    (2.16)

Величину t определяют по справочникам при уровне значимости q и числе степеней свободы , связанном с оценкой дисперсии . Если эта дисперсия найдена по выборке объема, большего 120, то вместо величины t в формуле (2.16) можно пользоваться величиной , зависящей только от уровня значимости q. Значения  приведены ниже:

q	0,2	0,1	0,05	0,01	0,005
	1,28	1,64	1,96	2,58	2,81

Формулу (2.16) можно преобразовать следующим образом. Поделим числитель и знаменатель на . Относительная допускаемая ошибка, %:

100.

Учитывая, что отношение 100, выраженное в процентах, – это, по определению, коэффициент вариации v, получим:

                                                                                              (2.17)

В дальнейшем изложении широко используются процедуры проверки статистических гипотез. Статистическая гипотеза – это некоторое предположение относительно свойств генеральной совокупности, проверяемое по выборке (например, гипотеза об однородности средних или дисперсий, законе распределения и т. д.). Проверка статистической гипотезы – процедура, по результатам которой гипотеза принимается
или отвергается.

Проверка статистических гипотез связана с такими распростра-ненными задачами, как сравнительная оценка различных технологических процессов по их производительности, точности, экономичности
или сравнение конструктивных особенностей машин и приборов. В плани-ровании эксперимента проверка статистических гипотез позволяет выявить преимущества одной модели перед другой, а также наиболее значимые факторы, влияющие на данное явление, и убедиться
впригодности (адекватности) полученного математического описания процесса. Выдвинутую гипотезу называют основной, или нулевой. Гипотезу, противоречащую нулевой, называют конкурирующей. Для про-верки нулевой гипотезы используют специально подобранную случай-
ную величину, распределение которой известно. Ее называют стати-стическим критерием. Например, при проверке гипотезы об однородности дисперсий в качестве критерия используют отношение выборочных дисперсий, которое подчиняется статистическому распределению Фи-
шера.

Для проверки статистической гипотезы вычисляют значение критерия по имеющимся опытным данным. Если оно находится внутри некоторой заданной области, называемой областью принятия гипотезы (областью допустимых значений), то нулевая гипотеза принимается, в противном случае значение критерия попадает в критическуюобласть и гипотеза отвергается.

Однако попадание критерия в область допустимых значений еще
не дает права утверждать, что гипотеза полностью подтвердилась. Можно только заключить, что по данным выборки значение критерия не противо-речит гипотезе. Поэтому, принимая решение о правильности гипотезы, можно допустить ошибку.

Ошибка первого рода состоит в том, что отвергается гипотеза, которая на самом деле верна. Вероятность этой ошибки задается заранее выбором уровня значимости q. (Как указывалось, типичные значения q: 0,01; 0,05; 0,1, или 1, 5 и 10 %.)

Ошибка второго рода состоит в том, что гипотеза принимается,
а на самом деле она неверна. Уменьшение ошибки второго рода достига-ется увеличением уровня значимости. Таким образом, при снижении уровня значимости уменьшается ошибки первого рода и возрастает ошибка второго рода. Единственный способ одновременного снижения вероятности ошибок первого и второго рода состоит в увеличении объема выборок.