Проверка адекватности математической модели

После постановки опытов, вычисления коэффициентов регрессии
и проверки их значимости определяют, соответствует ли полученная (принятая) модель результатам эксперимента, т. е. проводят про-
верку адекватности полученной модели.

Рассмотрим линейное уравнение регрессии для трех факторов:

                                  (5.6)                                                           

Поскольку в полученном уравнении  известны, то можно просто подсчитать расчетные значения . С этой целью подставим в уравнение (5.6) значения факторов , соответствующие каждому из проведенных опытов. Если модель выбрана правильно, то  близко к .

Затем вычисляем сумму квадратов , характеризующую адекват-ность модели:

.         (5.7)                            

Этот случай имеет место при недублированных опытах. Чем  меньше, тем ближе выходные величины , полученные расчетом
к опытным значениям . Сумма квадратов  связана с числом степеней свободы

,

где р – число коэффициентов регрессии проверяемой модели,
полученной после отбрасывания незначимых коэффициентов регрессии. Найдем теперь оценку дисперсии адекватности, связанную с адекват-ностью уравнения регрессии:

 .                                   (5.8)

Найденная математическая модель адекватна, если дисперсии адекватности  и воспроизводимости  однородны. Для проверки адекватности вычисляют величину

,                                            (5.9)

и сравнивают ее с табличным значением F -распределения .

Из таблиц F -распределения при уровне значимости q и числах степеней свободы  и   находят . Если ,то проверяемая модель адекватна.

При равномерном дублировании

,

где  – усредненное по всем наблюдениям значение функции отклика
в j -м  опыте, п – число наблюдений в j -м опыте.  

   Тогда

.

Проверку адекватности выполняют по формуле (5.9).

Если же проверяемая модель оказалась неадекватной, необходимо:

1) ввести в математическую модель эффекты взаимодействия;

2) перейти к квадратичной модели, ввести , т. е. рассмотреть другие планы;

3) провести эксперимент повторно, уменьшив при этом интервалы варьирования.

Рассмотренный метод проверки адекватности имеет физический смысл. В основе этой процедуры лежит проверка гипотезы об однородности дисперсии адекватности и дисперсии, характеризующей ошибку экспери-мента. Заметим, что дисперсия адекватности характеризует расхождения между результатами эксперимента  и значениями выходной величины , вычисленными по уравнению регрессии. Логично принять, что модель удовлетворительно описывает объект исследования, т. е. является адекватной, если указанное расхождение вызвано только эксперимен-тальными ошибками, а не связано, например, с неудачным выбором математической модели. Проверка гипотезы об однородности рассматриваемых дисперсий п выясняет общность происхождения экспериментальных ошибок и расхождения между  и . Кроме про-верки адекватности модели, можно оценить ее эффективность и ин-формационную ценность.

При отсутствии дублированных опытов эффективность регресс-сионной модели оценивают следующим образом.

Находят оценку дисперсии относительного среднего значения отклика:

,

где  – среднее значение отклика по всем опытам, ;

рассчитывают остаточную дисперсию:

;

 

вычисяют отношение

.                                          (5.10)                                                                        

Величина  показывает, во сколько раз уравнение регрессии описывает результаты эксперимента точнее, чем простое среднее арифметическое, взятое по всем опытам. Регрессионная модель считается эффективной, если .

Для эксперимента с дублированными опытами используется формула (5.10), а выражения для оценки дисперсий  и  примут вид:

;

где  – значение отклика в i -м дублированном опыте j -й серии;
N – число дублированных опытов.

Значение  определяют по уравнению

 .  

                             

Анализ уравнения регрессии

Пусть было получено адекватное уравнение регрессии, например

.

Проанализируем, какую информацию оно содержит.

1.  – среднее значение выходной величины.

2. Выделение незначимых факторов по t -критерию Стьюдента. Фактор незначим, если он не оказывает существенного влияния на процесс.

3. Степень влияния каждого из факторов. Проранжировать факторы можно путем сравнения абсолютных величин коэффициентов уравнений регрессии: чем  больше, тем существеннее роль фактора при этом коэффициенте и тем сильнее его влияние на процесс.

4. Направление влияния каждого фактора на процесс (выходную величину). При этом обращается внимание на знак коэффициента регрессии. Знак (+) у коэффициента уравнения свидетельствует о том, что при увеличении значения фактора выходная величина растет. Знак (–) указывает, что при усилении значения данного фактора выходная величина убывает. Можно также интерпретировать роль парных взаимодействий, например . Если  имеет знак (+), то выходная величина возрастает при одновременном возрастании или убывании факторов  и . Если  имеет знак (–), то выходная величина возрастает при увеличении одного
и уменьшении другого фактора.

5. Величина  при различных значениях   в диапазонах варьиро-вания факторов.

6. Уравнение регрессии в зависимости от натуральных значений факторов, для получения которого нужно воспользоваться формулой перехода (4.1).

7. Можно получить зависимость выходной величины в виде графиков как от каждого фактора, так и от их взаимодействий. Для этого удобнее использовать уравнение регрессии в нормализованных обозначениях факторов, положив все значения факторов, кроме одного, равными нулю. Например:  и , получим  (можно положить  
и ).

Если уравнение регрессии адекватно, его можно использовать для интерпретации, т. е. для предсказания значений факторов внутри диапазона варьирования.

Можно оптимизировать  при .