Выбор факторов и уровней их варьирования

После выбора параметров (критериев) оптимизации, выходной величины приступают к следующей стадии работы, заключающейся
в выборе факторов, уровней их варьирования и центра эксперимента (нулевой точки).

Фактор – это управляемая независимая переменная величина,
которая принимает в некоторый момент времени определенное зна-
чение и соответствует одному из способов воздействия на объект исследований. Фактор считается заданным, если указано его название
и область определения. В выбранной области он может иметь не-
сколько значений, которые соответствуют числу его различных со-
стояний.

Факторы могут быть количественными и качественными. Выбранные для эксперимента количественные и качественные состояния фактора называются уровнями его варьирования, т. е. значениями фактора в экс-перименте. Наименьшее значение, которое принимает данный фактор
в эксперименте, называется нижним уровнем варьирования, а наиболь-
шее – верхним уровнем варьирования. Среднее их значение  называется центром эксперимента или основным уровнем (нулевой точкой).

Пусть i – номер фактора,  – i -й фактор, а   и  – минимальное
и максимальное значения i -го фактора. Значение i -го фактора в центре эксперимента

.

Диапазон значений от  до  называется диапазоном варьирования фактора в эксперименте или областью значений фактора
в эксперименте.

Разность ∆ – интервал варьирования – рассчитывается по формулам:

Требования, предъявляемые к варьируемым факторам

1. Управляемость.

Фактор является управляемым, если исследователь имеет воз-можность задавать нужное значение данного фактора в диапазоне варьирования и поддерживать его постоянным в течение всего отдельного опыта. Каждый фактор должен быть точной характеристикой определенного воздействия на объект исследований, которым можно управлять. Эксперименты, проводимые с управляемыми факторами, называются активными.

1. Независимость.

2. Данное требование означает возможность устанавливать
любое значение данного фактора в диапазоне варьирования безотносительно к уровням варьирования остальных факторов, т. е. некоррелированность факторов между собой. Этот вопрос заслуживает особого внимания, поскольку при наличии линейной корреляции между факторами нельзя планировать эксперимент.

3. Однозначность.

Факторы должны непосредственно воздействовать на процесс
(объект исследований), не являясь при этом функцией других факто-
ров, и точно фиксироваться во всей выбранной области определе-
ния факторов. Точность замера должна быть возможно более высо-
кой.

4. Совместимость.

Все комбинации факторов, возможные при планировании и про-ведении эксперимента, должны быть реализуемы на практике и безопасны. При несовместимости факторов часто приходится переформулировать постановку задачи исследований, исключать некоторые из факторов
или изменять области их определения.

5. При наличии качественных факторов принимается одно из ре-шений: а) проводить исследование отдельно для каждого фактора,
затем сопоставлять полученные результаты; б) проводить эксперимент
при одновременном варьировании и количественных, и качественных факторов.

 

6.4.2. Нормирование обозначений варьируемых факторов

Рассмотрим многофакторные планы (эксперименты), когда на объект исследований воздействуют сразу несколько (k) факторов; в натуральных обозначениях запишем .

Пусть некоторый фактор  варьируется в диапазоне . Основной уровень варьирования . Для упрощения записи условий эксперимента и обработки данных имеет смысл перейти к безразмер-ным (нормализованным) обозначениям факторов, т. е. от   к   по формулам:

                                                                                        (3.4)

.

Следовательно, нижнему уровню фактора соответствует значение
(–1), основному (0) и верхнему (+1). Таким образом, в нормализованных обозначениях любой фактор может меняться в пределах от –1 до +1,
и это безразмерные величины.

Выбор регрессионной модели

Как уже отмечалось, под математической моделью подразумевается вид функции отклика

.

Выбрать модель – значит выбрать вид этой функции, записать
ее уравнение. Затем спланировать и поставить эксперимент для
отыскания численных значений коэффициентов этого уравне-
ния.

Для того чтобы выбрать одну из множества разнообразных
моделей, следует исходить из предъявляемых к ней требования.
Главное требование к модели – это способность предсказывать направление дальнейших опытов с требуемой точностью. Поскольку
до получения модели неизвестно, какое направление нам пона-
добится, то естественно требовать одинаковой точности пред-
сказания во всех возможных направлениях. Это значит, что в некото-
рой подобласти, включающей и координаты выполненных опытов, предсказанное с помощью модели значение отклика не должно от-
личаться более, чем на некоторую заранее заданную величину.
Модель, удовлетворяющая такому условию, называется адекват-
ной.

Если несколько различных моделей отвечают нужным требованиям, то следует выбрать ту из них, которая является самой простой.

Логарифмическая функция, представленная на рис. 3.3, на некото-
ром отрезке  с достаточной точностью описывается уравне-ниями:

                                                                                             (3.5)

                                                                                               (3.6)

В уравнении (3.6) b – коэффициент, который можно оценить, например, по результатам опытов. Какое из уравнений проще – (3.5)
или (3.6)? Простота – вещь относительная. Если не условиться заранее,
что считать простым, а что сложным, то выбор произвести невозможно. Поэтому в дальнейшем при прочих равных условиях будем всегда отдавать предпочтение степенным рядам, точнее, их отрезкам – алгебраическим полиномам. Исходя из этого можно утверждать,
что уравнение (3.6) проще, чем (3.5). Таким образом, полиномы –
это выбранный класс моделей. Построение полинома возможно в окрест-ностях любой точки факторного пространства, так как предполагалось,
что функция является аналитической.

 

Рис. 3.2. Графики линейной и логарифмической функций

 

Выпишем полиномы для случая двух факторов, различающиеся
по максимальным степеням входящих в них переменных:

полином нулевой степени: полином первой степени: полином второй степени: полином третьей степени:

Итак, мы представили неизвестную нам функцию полиномом. Операция замены одной функции другой, в каком-то смысле эквивалентной функцией называется аппроксимацией. Следовательно, мы аппроксимировали неизвестную нам функцию полиномом. Эксперимент необходим для получения численных значений коэффициентов поли-номов, и чем больше коэффициентов, тем больше опытов нужно поставить, что само по себе затруднительно. Поэтому следует найти полином, содержащий как можно меньше коэффициентов и при этом удовлетворяющий требованиям, предъявляемым к модели. При заданном числе факторов чем ниже степень полинома, тем меньше в нем коэффициентов. Нужно, чтобы модель предсказывала направление наискорейшего улучшения параметра оптимизации. Такое направление называют градиентом.

В этом случае лучше использовать полином первой степени, так как он содержит информацию о направлении градиента и минимальное число коэффициентов при данном числе факторов.

Единственное опасение заключается в том, всегда ли линейная модель будет адекватна. Однако почти у любой точки имеется такая окрестность,
в которой линейная модель адекватна. Размер этой области не известен заранее, но адекватность можно проверить по результатам эксперимента. Следовательно, выбрав сначала произвольную подобласть, мы рано или поздно найдем ее требуемые размеры. Как только это случится, воспользуемся движением по градиенту. Затем находим линейную модель в другой подобласти. Цикл повторяется до тех пор, пока движение
по градиенту не перестанет давать эффект. Это значит, что мы попали
в область, близкую к оптимуму, где линейная модель уже не нужна.
Для более подробного описания области оптимума следует перейти
к полиномам более высокой степени.

Кроме задачи оптимизации, возникает задача построения математической модели, когда нужно предсказать результат с требуемой точностью во всех точках некоторой заранее заданной области. С этой целью последовательно увеличивают степень полинома до тех пор, пока модель не окажется адекватной.

Таким образом, на первой стадии экспериментальных исследований при отсутствии сведений о модели разумно выбирать модель первогo порядка. Если же есть сведения о нелинейности, то принимается модель второго порядка.

После выбора модели определяется диапазон варьирования факторов (D), который во всех случаях должен быть не шире, чем область опре-деления факторов (О), т. е. D  О.

Особое внимание следует уделить выбору центра эксперимента (нулевой точки). Желательно, чтобы она была в области оптимума или как можно ближе к ней, тогда ускоряется поиск оптимальных решений. Если имеются сведения о значении параметра оптимизации по результатам предшествующих исследований, то за нулевую точку принимается та,
в которой значение параметра оптимизации было наилучшим.

При выборе интервала варьирования следует исходить из того,
что он должен превышать удвоенную квадратичную ошибку фикси-
рования данного фактора, т. е. не быть меньше той ошибки, с которой фиксируются уровни факторов (иначе верхний и нижний уровни окажутся неразличимы) и в то же время не должен быть настолько велик, чтобы верхний и нижний уровни выходили за пределы исследуемой области.

Следует учитывать:

точность фиксирования факторов – чем она меньше, тем больше должен  быть  интервал  варьирования;

кривизну поверхности откликов – при большей кривизне следует сужать  интервал  варьирования;

диапазон изменения параметра оптимизации в различных точках – чем он уже (в сравнении с его изменением в повторных опытах), тем шире должен быть интервал варьирования.

6.6. Основные виды планов эксперимента

В настоящем параграфе рассматриваются особенности, свойства
и методы построения различных планов проведения экспериментов.

 

6.6.1. Полные  факторные  планы

Экспериментальные планы, в которых реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называются полными факторными планами (ПФП) и имеютсвоиособенности построения.

1. Каждый фактор в ПФП варьируется лишь на двух уровнях, которые нормируются: (–1) – нижний и (+1) – верхний уровень.

2. Общее число различных опытов в ПФП , где k – число факторов; 2 – число уровней их варьирования.

3. По результатам ПФП в частности можно получить линейное уравнение регрессии .

Метод построения ПФП заключается в создании таблиц, содержащих нормализованные значения факторов и полученные в результате опытов величины параметров оптимизации.

Например: для двух варьируемых факторов (k = 2) в нормализованных обозначениях (N = ) составим таблицы (табл. 3.1 и 3.2), в которых строки соответствуют различным опытам, а столбцы – значениям факторов
в эксперименте. Эти таблицы будем называть матрицами планирования эксперимента (МПЭ.).

 

Таблица 3.1. Матрица                 Таблица 3.2. Матрица                               планирования                                                             планирования

  эксперимента № 1                   эксперимента № 2

№			y
1	–1	–1
2	+1	–1
3	–1	+1
4	+1	+1

№			y
1	–1	–1
2	–1	+1
3	+1	–1
4	+1	+1

          

 

 

 

 

 

Из таблиц видно, что значения (–1) и (+1) принимаются в разных возможных сочетаниях, т. е. все их комбинации различны.

Геометрическое изображение ПФП:для планов с двумя факторами имеем координатную плоскость, по оси абсцисс которой отложены значения ,а по оси ординат – значения . Построим на этой плоскости точки, координаты которых соответствуют координатным значениям факторов в опытах 1, 2, 3 и 4 ПФП 2 .

Точки этого плана (рис. 3.4) образуют вершины квадрата, центр которого совпадает с началом координат.

Внутренность квадрата является областью варьирования нормали-зованных факторов. Точки этого же плана для натуральных значений факторов (рис. 3.5) представляют собой прямоугольник. В этих ко-ординатах область варьирования факторов представляет собой внутрен-ность прямоугольника. Для двух факторов все возможные сочетания факторов легко найти перебором. 

 

Рис. 3.3. Область варьирования           Рис. 3.4. Область варьирования

в нормализованных значениях             в натуральных значениях

 

В случае построения ПФП для любого числа факторов задача усложняется: вводится фиктивное значение фактора  для определения коэффициента регрессии   при i = 0 и используются некоторые правила алгебры матриц.

Рассмотрим два наиболее распространенных приема. Для этого составим две матрицы трехфакторного ПФП, которые представлены
в табл. 3.3. и 3.4.

 

 

 

Таблица 3.3. Матрица трехфакторного ПФП № 1

№					y	Буквенные обозначения
1	+	–	–	–		(1)
2	+	+	–	–		a
3	+	–	+	–		b
4	+	+	+	–		ab
5	+	–	–	+		c
6	+	+	–	+		ac
7	+	–	+	+		bc
8	+	+	+	+		abc

 

Таблица 3.4. Матрица трехфакторного ПФП № 2

№					y	Буквенные обозначения
1	+	–	–	+		с
2	+	+	–	–		a
3	+	–	+	–		b
4	+	+	+	+		abc
5	+	–	–	–		(1)
6	+	+	–	+		ac
7	+	–	+	+		bc
8	+	+	+	–		ab

 

Для упрощения расчетов необходимо следующее.

1. Чередование знаков факторов. Здесь в первом столбце табл. 3.3 знаки меняются поочередно, во втором столбце – через два, в третьем – через четыре, в четвертом – через восемь и т. д. по степеням
двойки.

2. Использование правила перемежения столбцов плана. При по-строчном перемежении двух столбцов плана произведение единиц
с одинаковыми знаками дает (+1), с разными – (–1). Воспользовавшись этим правилом, получим вектор-столбец произведения, например,  
в исходном плане (см. табл. 3.4). Повторим исходный план, а у столбца произведений  поменяем знаки на противоположные. Ана-
логично следует поступать при построении плана с любым числом факто-ров.

Запись ПФП громоздка. Для ее сокращения вводятся условные буквенные обозначения строк (см. табл. 3.3 и 3.4). Порядковые номера факторов ставятся в соответствие строчной букве латинского алфавита:  и т. д., т. е. в строках находятся соответствующие факторы на верхнем уровне (+1). Например, в третьей строке табл. 3.4
на верхнем уровне находится только один фактор , а в шестой – два фактора,  и , находятся на верхнем уровне, на что указывают обо-значения (ас).

Таким образом, план, приведенный в табл. 3.4, может быть записан так: (1), . (1) здесь обозначает, что все факторы находятся на нижнем уровне.

План, показанный в табл. 3.4, записывается следующим образом: .

Полный факторный план обладает следующими свойствами.

1. Симметричность относительно центра эксперимента.

Сумма значений любого фактора для всех опытов в нормализованных обозначениях

                                   (3.7)

2. Нормированность.

Поскольку заданные значения факторов в плане (–1) и (+1), сумма квадратов значений каждого фактора по всем опытам в нормализованных обозначениях равна числу опытов (сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов N), т. е.

                                                      (3.8)

3. Ортогональность.

Скалярное произведение двух любых столбцов ПФП

 (3.9)

4. Ротатабельность.

Точки в ПФП подбираются так, что точность значений параметра процесса одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента
и не зависит от направления.

.

6.6.2. В-планы второго порядка

Полные и дробные факторные планы позволяют получить линейное описание зависимости отклика от каждого из варьируемых факторов.
При детальном изучении большинства процессов лесопромышленных
и деревообрабатывающих производств такое представление оказывается слишком грубым. В данной ситуации необходимо обратиться к экспери-ментальным планам второго порядка.

Планами второго порядка называют такие планы многофактор-
ного эксперимента, с помощью которых можно получить математи-
ческое описание объектов в виде полиномов второго порядка. Для трех факторов соответствующее уравнение регрессии записывается в виде

(3.10)

В общем случае, когда число варьируемых факторов равно k, модель имеет следующий вид:

                                                   (3.11)

Отметим, что планы, позволяющие получить линейную модель объекта, например, полные и дробные факторные планы, называют планами первого порядка.

Регрессионные модели вида (3.11) называют, как уже отмечалось, моделями второго порядка, или квадратичными моделями. Число коэффициентов регрессии такой модели

                                                    (3.12)

или

                                                                             (3.13)

Из выражения (3.11) видно, что реализация плана второго порядка позволяет описать зависимость выходной величины от каждого фактора в виде уравнения параболы.

В планировании эксперимента синтез экспериментальных планов производится с позиций некоторого критерия, связанного с оценками параметров получаемой регрессионной модели. Так были построены ортогональные планы второго порядка, позволяющие получать статически независимые друг от друга оценки коэффициентов. Для этих планов матрица  диагональна, и, следовательно, ковариации между всеми коэффициентами регрессии равны нулю:  при i  

Однако требование ортогональности для планов второго порядка никак не связано с более естественным требованием получения наиболь-шей точности математической модели. Как известно, точность регресс-сионной модели определяется дисперсиями коэффициентов peгрессии
и дисперсией расчетных значений отклика. Поэтому с точки зрения исследования наилучшими планами будут те, которые позволяют получать регрессионную модель с минимальными значениями дисперсий и ковариа-ций коэффициентов регрессии, а также с наименьшей дисперсией предсказанных значений отклика. Такое требование одновременной мини-мизации ряда параметров является некорректным. Вместо этого в теории эксперимента разрабатывают планы, для которых минимальна некоторая функция от рассматриваемых параметров. Выбор этой функции определя-ется критерием оптимальности плана. Например, разумно требовать, чтобы построенный план позволял получить математическую модель с наимень-шим значением средней дисперсии коэффициентов регрессии. Это так называемый критерий А -оптимальности. Согласно другому критерию –
G- оптимальности – минимизируется максимальная оценка дисперсии предсказанных значений отклика. Всего в планировании эксперимента используются свыше 20 различных критериев. Наиболее распространен-ным из них является критерий D -оптимальности, согласно которому минимизируется обобщенная дисперсия оценок коэффициентов регрессии.

С позиций перечисленных критериев наиболее простыми являются линейные модели. Полные и дробные факторные планы являются по от-ношению к этим моделям А -, G - и D -оптимальными, а также обладают свойствами ортогональности и ротатабельности. Вместе с тем построение D -оптимальных планов второго порядка для заданного числа опытов – еще не решенная задача. Вместе с тем известен ряд планов, близких к D -опти-мальным. Такими являются, в частности, рассматриваемые ниже В -планы второго порядка или планы типа В. Эти планы оказались весьма востребо-ваны исследователями-лесопромышленниками и деревообработчиками
из-за простоты их применения и других свойств, о которых говорится ниже.

В В -планах второго порядка каждый фактор  варьируется на трех уровнях, т. е. принимает в каждом опыте одно из трех значений: наименьшее , наибольшее  и среднее .
Нормализованные обозначения этих уровней: –1, +1, 0 соответственно.

Назовем звездной точкой В -плана условия опыта, в котором один
из факторов принимает нормализованное обозначение +1 или –1,
а остальные фиксируются на основном уровне (ноль в нормализованных обозначениях). Например, звездные точки для плана с тремя факторами
в нормализованных обозначениях:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

Очевидно, что при числе факторов k имеется 2 k различных звездных точек.

В-план состоит из точек ПФП, к которым добавлено 2 k звездных точек. Таким образом, общее число опытов В -плана N =2  +2 k.
Кроме того, при числе факторов k  5 можно построить разновидность
В -плана, поставив полуреплику 2 и добавив к ней 2 k звездных точек. Такой план, называемый В -планом с полурепликой, содержит N = 2  опытов. Так, для k = 5 В -план с ПФП содержит  опыта,
а В -план с полурепликой включает в себя  опытов.

В табл. 3.5 и 3.6 приведены В -планы для k = 2 и k = 3.

Опыты ПФП и ДФП, входящие в состав В -плана, обычно называют его opтoгональной частью. Связь нормализованных и натуральных обозначений факторов в В -плане задается формулой (4.1).

Звездные точки 5...8, дополняющие ПФП до В -плана, расположены
в серединах сторон квадрата, вершинами которых являются точки ПФП.
В более общем случае при k  3 опыты ортогональной части плана образуют вершины куба (гиперкуба при k  4) в пространстве факторов или часть его вершин при полуреплике. Звездные точки представляют собой центры граней этого куба.

Из геометрического рассмотрения следует, что область варьирования факторов в В -плане (как и в ПФП и ДФП) является куб (гиперкуб)
в пространстве варьируемых факторов. При определении диапазонов варьирования факторов необходимо установить, не будут ли в опытах ортогональной части нарушаться условия совместимости для варьируемых факторов из-за возможных ограничений.

Кроме того, в области центра плана, т. е. при значениях факторов, близких к основному уровню, никаких опытов не ставится. Все опыты
В -плана расположены на границах области варьирования факторов.
Из-за этого точность регрессионной модели вблизи центра плана оказы-вается невысокой.

 

Таблица 3.5. В-план для  k = 2

№ опыта	х		№ опыта	х
ПФП

Таблица 3.6 В-план для  k = 3

№ опыта	х			№ опыта	х
ПФП

 

Последнее обстоятельство может не удовлетворить исследователя, особенно в тех случаях, если построенная по результатам эксперимента модель служит для оптимизации объекта, например, для отыскания наилучших технологических режимов работы оборудования. При плани-ровании такого эксперимента исследователь выбирает обычно в качестве центра плана значения факторов, соответствующие наиболее типичным условиям протекания процесса. Поэтому описание объекта вблизи центра плана представляет наибольший интерес. В такой ситуации В -план может быть дополнен одним или несколькими опытами в центре плана, т. е. опытами, поставленными в условиях . Эти опыты улучшают точность модели в окрестности центра плана. Кроме того, повторяющиеся опыты в центре плана, дают возможность оценить дисперсию воспроизводимости в том случае, если остальные опыты плана не дублируются. Построенный план является еще одной разновидностью В -плана.

План второго порядка, содержащий в своем составе план
первого порядка, называют композиционным. Примерами компо-зиционных планов служат В -планы. Свойство композиционности
очень удобно для исследователя. Оно позволяет планировать и про-
водить эксперимент поэтапно. На первом этапе можно поставить
план первого порядка, например ПФП. Обработав его результаты, по-лучим линейную модель или модель, содержащую, кроме линейных членов, взаимодействия факторов. Если такая модель окажется неадекватной, можно дополнительно поставить опыты в звездных точках. Вся совокупность опытов составит теперь В -план второго порядка. Обработка его результатов позволит получить уже квадратичную
модель.

Для построения регрессионной модели по результатам В -плана
нет необходимости обращаться к ЭВМ. Имеются формулы для стати-стических оценок коэффициентов регрессии, пригодные для «ручного» счета. Они применимы для широкого класса планов, называемых симметричными, к которым относятся В-планы второго порядка. Коэффициенты регрессии для этих планов рассчитывают по форму-
лам:

                                               (3.14)

где b  – свободный член; . — линейные коэффициенты регрессии, i = 1, 2,..., k; , – квадратичные коэффициенты регрессии, i = 1, 2,..., k;
, – коэффициенты при парных взаимодействиях; i   и; Т _i – коэф-фициенты, значения которых указаны ниже.

В формулах (3.14) обозначено:

                                                                      (3.15)

Дисперсии коэффициентов регрессии и ковариации между ними определяют по формулам:

                                                           (3.16)

Рассмотрим случаи применения этих формул.

1. Отсутствие дублированных опытов (не считая опытов в центре плана). В этом случае N – число запланированных опытов. Например, для плана В  сПФП в ортогональной части и с  опытами в центре плана ;  – результаты j -го опыта, j = 1, 2,..., N. Величина n
в формулах (3.16) – число дублированных опытов в каждой серии,
в данном случае   n = 1.

2. Равномерное дублирование. В этом случае формулы (3.7) и (3.8)
по-прежнему справедливы, но под  понимается среднее арифметическое по результатам j -й серии дублированных опытов; N – число серий дублированных опытов.

Значения коэффициентов Т ₁ ...Т ₆   для В -планов с ПФП в орто-гональной части с числом факторов k = 2...5 при отсутствии опытов
в центре плана приведены в табл. 3.7.

Таблица 3.7. Значения коэффициентов Т ₁ ...Т ₆ для В -планов

Вид плана