Коэффициент регрессии тройного взаимодействия

.                                     (4.11)

Следует иметь в виду, что число вычисленных коэффициентов должно быть меньше числа поставленных опытов, т. е. p < N. В этом случае план называется ненасыщенным. При р = N план называется насыщенным; при p > N – сверхнасыщенным. Проверку адекватности выполняют только для ненасыщенных планов.

Число парных взаимодействий можно определить по формуле

                                        ,                                        (4.12)

число взаимодействий любого порядка

.                          (4.13)

Число коэффициентов регрессии определяют по формулам:

а) для линейного уравнения

;                                            (4.14)

б) для неполного квадратного уравнения 

;                                       (4.15)

в) для полного квадратного уравнения

.                                         (4.16)

Полные факторные планы применяются при k   7. Число опытов
в ПФП больше числа коэффициентов линейной модели, причем это превышение возрастает с увеличением числа факторов. Для уменьшения разности между числом опытов и числом коэффициентов регрессии при описании линейного уравнения регрессии существуют специальные приемы, которые рассмотрены ниже.

 

Минимизация числа опытов

Полный факторный план обладает избыточностью опытов при его использовании для получения линейной модели. Для k варьируемых факторов линейная модель содержит k + 1 коэффициент регрессии, например: . Эксперимент, позволяющий отыскать эти коэффициенты и проверить адекватность ~3",: модели должен состоять из k + 2 = N  опытов. Так, для k = 4 N = 2  = 16, N  = k + 2 = 4 + 2 = 6,т. е. лишних десять опытов; для k = 6, N = 2  = 64, N = К + 2 = 6 + 2 = 8,
т. е. опытов больше в восемь раз.

Сократить число опытов N можно за счет той информации, которая
не является существенной при построении линейной модели. При этом необходимо сохранить основные свойства ПФП – симметричность относительно центра эксперимента, нормированность и ортогональность. Таким образом, задача сводится к минимизации числа опытов при вышеуказанных ограничениях. Для ее решения используются дробные факторные планы (ДФП), которые позволяют сократить число опытов
по сравнению с ПФП в случаях, когда в уравнении регрессии можно заранее  пренебречь  некоторыми  взаимодействиями  факторов.

Для уяснения принципа построения ДФП возьмем ПФП N = 2  
с двумя факторами. Пользуясь планом (табл. 4.6), можно вычислить четыре коэффициента для уравнения .

 

Таблица 4.6. Полная матрица ПФП для двух факторов

№					y
1	+	–	–	+
2	+	+	–	–
3	+	–	+	–
4	+	+	+	+

 

Если априори известно, что в выбранных интервалах варьирования, процесс можно описать линейной моделью  то достаточ-но определить три коэффициента. Останется одна степень свободы, которую можно употребить для минимизации числа опытов. При линей-ном приближении   можно заменить новым фактором  уровни варьирования которого будут соответствовать элементам столбца (x ).
В этом случае получить раздельные оценки невозможно, они смешиваются:

что не должно нас смущать, так как у принятой модели все парные взаимодействия незначимы.

Теперь для трех факторов вместо восьми опытов можно поставить лишь четыре. При этом ПФП не теряет своих основных свойств.

Таким образом, для того чтобы сократить число опытов, нужно приписать новому фактору вектор-столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь. Тогда значения нового фактора в условиях опытов определяются знаками этого столбца.

В частности,план, представленный в табл. 4.6, называется полу-репликой (  реплики) от ПФП 2 . Его обозначают 2  (3 – число факторов, а 1 указывает на то, что одно 3-1 взаимодействие заменяется новым фактором). При попытке определить столбцы произведений  
и  видим, что элементы столбца   совпадают с элементами
столбца . Найденные нами коэффициенты будут оценками для совмест-ных элементов . Мы смешали эффекты взаимодействия с основными эффектами, но эффекты  оценены раздельно друг от друга. Поскольку постулируется линейная модель,
то предполагается, что эффекты взаимодействия равны нулю, т. е.  и . Для большего числа факторов получение ДФП (т. е. минимизация числа опытов) сильно усложняется.

 

7.7. Дробные факторные планы различной дробности

Применив ДФП (табл. 4.6)  с четырьмя опытами, мы использовали половину ПФП 2 , т. е. полуреплику (  реплики). Приравняв , можем получить вторую полуреплику от ПФП 2 . В этом случае

Объединив две полуреплики, получим ПФП 2' с раздельными оценками парных взаимодействий и линейных эффектов.

Возьмем теперь матрицу базисных функций ПФП 2  (табл. 4.7) и построим на ее основе ряд ДФП. Если пренебречь тройным взаимодействием   и вместо него поставить , получим полуреплику 2  от ПФП 2  

 

Таблица 4.7. Матрица базисных функций ПФП 2

№
1	–	–	–	+	+	+	–
2	+	–	–	–	+	–	+
3	–	+	–	–	–	+	+
4	+	+	–	+	–	–	–
5	–	–	+	+	–	–	+
6	+	–	+	–	–	+	–
7	–	+	+	–	+	–	–
8	+	+	+	+	+	+	+

 

 

Если известно, что можно пренебречь некоторыми или всеми парными взаимодействиями, то получим из ПФП 2 ряд новых ДФП. Так, заменяя  на х , получим  реплики от ПФП 2 , которая обозначается
2  . Заменяя   на ,получим  реплики 2  от ПФП 2  и, наконец, заменяя   на ,получим  реплики 2  от ПФП 2  при N = 8  и   k = 7.  Таким образом, получаем уравнение вида

т. е. насыщенный план, так как р = N. Теперь видим, что для обозначений ДФП, в которых п линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия, целесообразно пользоваться условным обозначением 2  

 

 

7.8. Разрешающая способность дробного факторного плана

При построении ДФП 2  имеются две возможности приравнять  или ,тогда получим матрицу эксперимента (табл. 4.8). Для произведения трех столбцов выполняется соотношение +1 =
= , т. е. для ДФП № 1 – (+1), а для ДФП № 2 –
(–1)().

 

Таблица 4.8. Матрица эксперимента для ДФП 2

ДФП № 1
–	–	+		+
+	–	–		+
–	+	–		+
+	+	+		+
ДФП № 2
–	–	–	–
+	–	+	–
–	+	+	–
+	+	–	–

 

Символическое обозначение произведения столбцов, равное +1 или
–1, называется определяющим контрастом (OK). Oпределяющий контраст помогает выявить смешанные эффекты. Для того чтобы установить, какой эффект смешан с данным, нужно помножить обе части ОК
на столбец, соответствующий данному эффекту. Например, возьмем случай,  когда   Тогда

так как  (всегда). Это значит, что для полуреплики 2  (№ 1) коэффициенты линейного уравнения будут оценками

Соотношение, показывающее, с каким из эффектов смешан данный эффект, называется генератором.

При построении  реплики 2  были использованы генерирующие соотношения   и .

Возьмем матрицу базисных функций ПФП 2  и построим ДФП 2  
на ее основе (табл. 4.9).

 

Таблица 4.9. Матрица ДФП 2

–	–	–	+	+	+	–
+	–	–	–	+	–	+
–	+	–	–	–	+	+
+	+	–	+	–	–	–
–	–	+	+	–	–	+
+	–	+	–	–	+	–
–	+	+	–	+	–	–
+	+	+	+	+	+	+

 

Полуреплика 2  в этом случае имеет восемь вариантов:

 неосновные;     главные.

Седьмая и восьмая полуреплики имеют максимальную разрешающую способность, так как совместные оценки здесь определяются соотношением

или    

В результате имеем следующую систему оценок:

Таким  образом,  получим:

Следует помнить о смешивании парных взаимодействий. Например,   оценивает не только  но и ,   – не только   но и  и т. д.

План, представленный табл.4.9, является насыщенным, так как
число опытов в нем равно числу оцениваемых коэффициентов регрессии:

N = р = 8,

поэтому проверить адекватность полученной модели не представляется возможным. Это можно выполнить, пренебрегая каким-либо взаимодей-ствием.

Рассмотрим случай, когда . Получим новый план, у которого

ОК . Система генераторов будет следующей:  

.

Далее получим систему смешанных оценок  

Очевидно, что план с ОК   является лучшим. Для него оценки линейных эффектов смешаны лишь с тройными воздей-
ствиями, а для ОК   некоторые из этих оценок смеша-
ны   с парными взаимодействиями.

7.9. Условия применения дробных факторных планов

1. Дробные факторные планы применяют для построения линейной модели.

2. Эффективность ДФП возрастает с увеличением числа факто-
ров.

3. Дробные факторные планы могут быть наиболее эффективно использованы, если удачно осуществлено смешивание линейных эффек-тов с эффектами взаимодействий. При условии значимости некоторых взаимодействий это смешивание должно быть более умелым. В таком случае следует  использовать априорные сведения.

4. При построении ДФП необходимо вводить новый фактор взамен эффекта взаимодействий, которым можно пренебречь.

5. Реплики, позволяющие сократить число опытов в 2 ^m раз, где m = 1, 2, 3, 4..., называются регулярными. Они позволяют рассчитывать коэффициенты регрессии так же просто, как и ПФП.

6. При ДФП линейные эффекты смешиваются с эффектами взаимодействий. Для определения системы смешивания нужно знать ОК
и генераторы.

7. Для получения генераторов, указывающих, какие линейные эффекты смешаны с взаимодействиями, необходимо умножить ОК
на линейный эффект. Например, при генераторах (генерирующих соотношениях):

ОК  будет  1= .

8. Разрешающая способность выше у того ДФП, линейные эффекты которого смешаны с взаимодействиями наивысшего порядка.

Линейные эффекты могут быть освобождены от парных взаимодействий использованием метода «перевала», который состоит
в добавлении новой реплики, все знаки которой противоположны
исходной.