Проверка нормальности распределения

При рассмотрении всех предыдущих статистических процедур исходили из того, что выходная величина подчиняется нормальному закону распре-деления. Это предположение можно проверить разными способами. Наиболее точным из них является применение критерия  Пирсона, для чего необ-ходима выборка достаточно большого объема: . Диапазон измене-ния выходной величины в выборке разбивается на l интервалов так, чтобы эти интервалы покрывали всю ось от –∞ до +∞ и в каждый интервал попадало не менее пяти значений выходной величины. Подсчитывают количество т   наблюдений, попавших в каждый интервал. Затем вычисляют теоретические вероятности попадания случайной величины в каждый i -й интервал:

                                                 (2.24)

где  – среднее арифметическое выборки; s – среднее квадратическое отклонение выборки;  – нижняя граница i -го интервала;  – верхняя граница i -го интервала; Ф  – нормированная функция Лапласа:

значения которой для  и  определяют из специальных таблиц. При отыскании значений этой функции для отрицательных значений аргумента следует иметь в виду, что функция Ф(z) нечетная:

                                       Ф(–z) = –Ф(z).

Следующим этапом является вычисление величины  по формуле

                                                                    (2.25)

По выбранному уровню значимости q и числу степеней свободы
k = l – 3 из табл. 4 приложения отыскивают . Гипотезу о нормальности распределения можно принять, если .

Менее употребительной является проверка нормальности распре-деления по критерию  Колмогорова.

Приближенная проверка нормальности распределения может быть проведена с помощью показателей асимметрии и эксцесса. Выборочные показатели асимметрии А и эксцесса Е рассчитывают по формулам:

где   п – объем выборки,  s – ее эмпирический стандарт.

Далее вычисляют средние квадратические отклонения для асим-метрии   и  эксцесса :

;

.

Если хотя бы одна из характеристик А или Е по абсолютной величине существенно (в 2–3 раза) превосходит соответствующее среднее квадратическое отклонение, то следует усомниться в нормальности распределения и провести более тщательную проверку с помощью критерия Пирсона или Колмогорова. В противном случае гипотеза
о нормальности распределения может быть принята.

 

Коэффициент корреляции

Во многих случаях целью экспериментальных исследований является установление и изучение зависимости между некоторыми величинами. Если каждая из них является случайной, то используют методы корреляционного анализа. Так, методами корреляционного анализа можно оценить степень взаимосвязи между пределом прочности материала
при статическом изгибе и сжатии, выявить наличие статистической
связи между уровнем специализации промышленных предприятий
по сортаменту деталей и себестоимостью их производства и т. д.

Между двумя случайными величинами имеется статистическая связь, если при изменении одной из них меняется распределение другой. Для оценки статистической связи по данным эксперимента широко использу-ется выборочный коэффициент корреляции. Пусть проведено п наблюде-ний и в каждом из них определились значения параметров (признаков) х
и у. Следовательно, имеются две одновременно получаемые выборки:

По каждой из них найдем среднее арифметическое   и , а также выборочный стандарт  и . Выборочный коэффициент корреляции r рассчитывается по формуле

                                                                         (2.26)

которую можно переписать в виде, более удобном для вычислений:

                                        (2.27)

При расчетах полезно иметь в виду, что выборочный коэффициент корреляции не изменяется при изменении начала отсчета и масштаба измерения х и y.

Коэффициент корреляции всегда лежит в пределах –1  1
и характеризует не всякую, а только линейнуюзависимость между случайными величинами. При положительном r можно предполагать, что
свозрастанием одной, из случайных величин другая в среднем тоже возрастает. При отрицательном r с ростом одной из них другая вели-
чина будет в среднем убывать. Чем ближе величина r к (+1) или к (–1),
тем больше степень линейной зависимости между рассматриваемыми случайными величинами. Значение r, равное нулю, свидетельствует
об отсутствии линейной статистической связи между ними. Такие случайные величины называются некоррелированными. Обычно вели-
чина r оказывается не равной нулю. Для выяснения того, будут ли некор-релированными в этом случае признаки х и y, вычисляют величину

                                                                                   (2.28)

и сравнивают ее с табличным значением t -критерия Стьюдента, найден-ным при выбранном уровне значимости q и числе степеней свободы . Если  принимается гипотеза о некоррелированности величин х и у. В противном случае коэффициент корреляции значимо отличается от нуля, т. е. между величинами х и у существует линейная статистическая связь.

 

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

Основные сведения

Планирование эксперимента – это постановка опытов по некоторой заранее составленной схеме, обладающей некоторыми оптимальными свойствами. При этом необходимо:

стремиться к минимизации числа опытов;

одновременно варьировать все факторы, определяющие протекание процесса по специальным алгоритмам (правилам);

использовать математический аппарат, формализующий ряд действий экспериментатора;

иметь четкую стратегию, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой проведенной серии опытов.

Таким образом, планирование эксперимента – это комплекс приемов, позволяющих исследователю оптимально поставить эксперимент, со-образуясь с целью исследования (со стремлением получить максимум информации) при необходимости экономить средства (число опытов),
и наконец, позволяющих исследователю обработать и интерпретировать результаты исследований.

Планирование эксперимента базируется на кибернетическом подходе к объекту исследований. Для описания объекта исследований модели-рования используется неизвестная система (рис. 3.1), подверженная различным воздействиям.

 

 

Рис. 3.1. Схема описания объекта моделирования

 

Используя планирование эксперимента, исследователь априори (до постановки опыта) может назвать виды входных и выходных внешних воздействий, связанных с объектом исследований, но содержание «черного ящика» пока остается нераскрытым. При рассмотрении «черного ящика» различают два основных вида параметров: входные управляемые
() и выходные (). Некоторые из них могут быть приняты в качестве критериев оптимизации. Кроме того, на объект воздействуют неуправляемые параметры. Одни из них () могут контролироваться в процессе постановки опытов без их целе-направленного изменения, другие () являются неконтроли-руемыми (из-за недостатка информации) и относятся к возмущающим воздействиям.

Выходные параметры часто называют параметрами оптимизации, целевыми функциями, выходными величинами и т. д.

 

6.2. Назначение планирования эксперимента