Существование и непрерывность обратных функций

Понятие функции есть частный случай понятия отображения. Мы знаем, что, если отображение  биективное, то есть взаимно-однозначное, то существует обратное отображение . Причем, если , то , и справедливы равенства   и .

 

         ЛЕММА. Пусть функция  строго монотонно возрастает (убывает) на некотором множестве  и пусть  - ее множество значений, тогда существует обратная функция , которая является строго монотонно возрастающей (убывающей) на множестве .

         Доказательство. Пусть функция  строго монотонно возрастает (убывает) на множестве . Докажем, что обратная функция существует, то есть   такая, что .

То, что такая точка существует, следует из того, что  - множество значений функции.

  Докажем, что точка  - единственная. Доказательство будем вести от противного. Предположим, что существует не одна точка, а по крайней мере две  такие, что  и , но это противоречит строгой монотонности функции, так как   ().Так как мы получили противоречие, то наше предположение неверно. Следовательно,   такая, что .

  Докажем, что обратная функция строго монотонно возрастает (убывает). Пусть - произвольные точки такие, что . Возможны три варианта

 1) , но тогда в силу строгого монотонного возрастания функции  получаем , то есть противоречие. То есть такое предположение неверно.

2) , но тогда , то есть противоречие. То есть такое предположение неверно.

3) , тогда , получаем верное неравенство.

То есть мы доказали, что обратная функция строго монотонно возрастает.

Аналогично доказывается, что обратная функция строго монотонно убывает, если функция  строго монотонно убывает на множестве .

    ТЕОРЕМА 1. Пусть функция  непрерывна на отрезке  и строго монотонно возрастает (убывает) на нем, тогда обратная функция определена на отрезке , ,  (в случае монотонно убывающей функции , ), строго монотонно возрастает (убывает) и непрерывна на отрезке .

    Доказательство. Докажем теорему для случая строго монотонно возрастающей функции. (В случае строго монотонно убывающей функции доказательство аналогично).

    Покажем, что отрезок  является множеством значений функции . В самом деле,  выполняется неравенство , то есть на концах отрезка  функция принимает максимальное и минимальное значения. В силу теоремы Больцано - Коши непрерывная на отрезке функция  принимает на отрезке все промежуточные значения, то есть   такая, что .

Таким образом все значения на отрезке  являются значениями функции , причем , .

В силу леммы имеем, что существует обратная функция , которая определена и строго монотонно возрастает на отрезке , причем множеством значений этой функции является отрезок .

    Нам остается показать, что функция непрерывна на отрезке .

Пусть , .

           

Зафиксируем произвольное  такое, чтобы справедливо было неравенство  (Неравенство означает, что  - достаточно мало, так что точки  и  лежат на отрезке . Что возможно, так как точка  - внутренняя точка интервала ). Пусть

                           , а ,

тогда в силу строгого монотонного возрастания функции получаем неравенство 

                      .

Пусть число , тогда верно неравенство

                             .

Пусть  - любая точка на интервале, , то есть выполняется неравенство

                                  .

 

В силу строгого монотонного возрастания функции  получаем неравенство

                          .

Мы получили,  такое, что . Учитывая, что , получаем.

 такое, что .

Последнее означает, по определению, что функция  непрерывна в точке .

       Если , то нам требуется доказать, что функция  непрерывна в точке  слева, то есть .

               

          Выберем  (так, чтобы точка ). Тогда . Пусть число . Тогда для любого , удовлетворяющего неравенству , в силу строгой монотонности функции имеем

                         .

То есть мы получили,  такое, что  выполняется . По определению это означает, что

                             .

Аналогично доказывается, что функция  непрерывна в точке  справа.

Теорема доказана.

Аналогичные теоремы справедливы, если функция строго монотонна на интервале, полуинтервале конечном или бесконечном.

    ТЕОРЕМА 2. Пусть функция  непрерывна на интервале  и строго монотонно возрастает (убывает) на нем, тогда обратная функция определена на интервале , ,  (в случае монотонно убывающей функции , ), строго монотонно возрастает (убывает) и непрерывна на интервале .

     ТЕОРЕМА 3. Пусть функция  непрерывна на интервале  конечном или бесконечном, , и строго монотонно возрастает (убывает) на нем, тогда обратная функция определена на интервале  конечном или бесконечном, ,  (в случае монотонно убывающей функции , ), , строго монотонно возрастает (убывает) и непрерывна на интервале .

 

Непрерывность функции , обратных тригонометрических функций.

.

     Рассмотрим функцию . Если её рассматривать на всей числовой оси, то она не является биективным отображением, например, при четных значениях . Поэтому рассмотрим эту функцию на неограниченном полуинтервале . На этом полуинтервале функция является строго монотонно возрастающей. Множество значение функции неограниченный полуинтервал . Как было нами показано ранее функция непрерывна на полуинтервале . По теореме об обратной функции  - непрерывная, строго монотонно возрастающая функция на .

 

.

 

Рассмотрим функцию .

Если рассматривать эту функцию на всей области определения, то есть на , то функция не является биективным отображением, так на рисунке показано, что значение  функция принимает в бесконечном числе точек.

         Однако на отрезке  функция является строго монотонно возрастающей. В самом деле, для любых точек   таких, что  верно неравенство

,

так как справедливы неравенства , ,

то ,    , и, поэтому

, .

    Как мы показывали ранее, функция  непрерывна на отрезке . На левом конце она принимает значение , на правом конце , поэтому обратная функция имеет область определения отрезок , множество значений – отрезок . Обратная функция  является строго монотонно возрастающей непрерывной функцией на отрезке .

 

                

 

 

 

 

Рассмотрим функцию

Если рассматривать эту функцию на всей области определения, то есть на , то функция не является биективным отображением, так одно и то же значение функция принимает в бесконечном числе точек.

         Однако на отрезке  функция является строго монотонно убывающей. В самом деле, для любых точек   таких, что  верно неравенство

,

так как справедливы неравенства , ,

то ,    , и, поэтому

, .

    Как мы показывали ранее, функция  непрерывна на отрезке . На левом конце она принимает значение , на правом конце , поэтому обратная функция имеет область определения отрезок , множество значений – отрезок . 

  Обратная функция  является строго монотонно убывающей непрерывной функцией на отрезке .

             

 

 

   Рассмотрим функцию

 

 

Такая функция определена при всех , . Она не является биективной. Однако, если мы будем рассматривать функцию на интервале , то на этом интервале она является строго монотонно возрастающей и непрерывной, причем , . Следовательно множество значений функции  - это интервал . Как было показано ранее функция  непрерывна на интервал . По теореме существует обратная функция  с областью определения  с множеством значений , строго монотонно возрастающая и непрерывная на .

        

 

Рассмотрим функцию .

             

Функция определена при всех , . Функция является периодической на области определения и, поэтому не является взаимно-однозначной. Если же мы рассмотрим функцию на интервале , то на таком интервале она является строго монотонно убывающей и непрерывной, причем , . Следовательно множество значений функции интервал .

    По теореме об обратной функции существует обратная функция , определенная на интервале  с множеством значений на интервале , причем функция  является строго монотонно убывающей непрерывной на интервале  функцией.

Показательная функция.