Арифметические операции над непрерывными функциями

1. Если функция  непрерывна в точке , тогда для любой константы  функция  непрерывна в точке .

В самом деле, .

2. Если функции  и  непрерывны в точке , тогда функция  непрерывна в точке .

В самом деле, .

3. Если функции  и  непрерывны в точке , тогда функция  непрерывна в точке .

В самом деле, .

4. Если функции  и  непрерывны в точке  и , тогда функция  непрерывна в точке .

В самом деле, .

 

 

ПРИМЕР 1. Функция  непрерывна в любой точке.

 

Пусть  - произвольная точка на числовой оси. Составим приращение функции . . По определению функция непрерывна в этой точке.

ПРИМЕР 2. Функция . Исследуем на непрерывность функцию в любой точке .

Составим приращение функции

        при  .

Последнее означает, что функция непрерывна в любой точке .

ПРИМЕР 3. Исследовать на непрерывность функцию   в точке . , .

, , следовательно, существует предел функции , однако он не равен значению функции . Функция не является непрерывной в точке .

 

 

Непрерывность элементарных функций.

 

 

1. , .

при . То есть функция непрерывна в любой точке .

2. , .

По определению, . По свойству непрерывности частного двух функций такая функция непрерывна в любой точке .

3. . Такая функция непрерывна в силу свойств непрерывных функций в любой точке .

 

ЛЕММА.    .

 

 

Пусть . Найдем площади  и площадь кругового сектора .

,  . , получаем . Отсюда получаем верное неравенство .

Пусть , тогда верно неравенство , то есть верно неравенство .

Пусть , тогда . Неравенство доказано.

 

4. .

Составим приращение функции

, так как первый множитель бесконечно малый, а второй является ограниченной функцией. По определению функция непрерывная в любой точке .

5. .

Составим приращение функции

, так как первый множитель бесконечно малый, а второй является ограниченной функцией. По определению функция непрерывная в любой точке .

6. .

Эта функция непрерывна во всех точках, кроме тех, в которых  обращается в ноль, то есть при , .

7. .

Эта функция непрерывна во всех точках, кроме тех, в которых  обращается в ноль, то есть при , .

   

 

 

Первый замечательный предел

    

 

Пусть  

                ,   . Отсюда получаем

. То есть верно неравенство  и  , или . Получаем . Делим неравенство на , получаем  .

, по теореме о трех пределах имеем

.

. Так как пределы слева и справа равны, то

Следствие 1. .

Доказательство. .

Следствие 2.    ̴ ,      ̴ , при .

             Литература.

2. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ, т.1, §§ 5,6.

3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т 1, глава вторая, § 4.

 

 

                  

 

КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧЕК РАЗРЫВА

 

Вспомним определение непрерывной в точке функции.

       ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.  Пусть функция  определена в окрестности точки , существует предел функции

                                                            .                                    (1)

То есть для непрерывности функции  в точке  должны выполняться три условия

1. Функция должна быть определена в окрестности точки ,

2. Должен существовать предел функции в этой точке

3. Предел функции в точке должен быть равен значению функции в этой точке, то есть должно выполняться равенство (1).

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Пусть функция  определена в проколотой окрестности точки , точка называется точкой разрыва функции , если выполняется хотя бы одно из условий

1. Функция не определена в точке ,

2. Не существует предел функции в точке ,

3. Предел существует, функция определена в точке, но не выполняется равенство (1).

 

        ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Точка  называется точкой устранимого разрыва функции , если существует предел функции в точке , а в точке  функция или не определена, или она принимает значение .

 

ПРИМЕР 1.

      

Функция не определена в точке . Однако существует предел функции в точке . Если функцию определить в точке , положив , то функция станет непрерывной в точке .

    Замечание. В устранимой точке разрыва функцию можно доопределить, как в примере, если она не была определена в точке, или изменить значение функции в этой точке, положив значение функции равной пределу. При этом функция станет непрерывной в точке.

       ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Точка  называется точкой разрыва первого рода функции , если существуют конечные односторонние пределы функции в точке , , при этом .

 

Функция  в точке  делает конечный скачек .

ПРИМЕР 2.

, , оба односторонних предела конечны, функция в точке  делает скачек . Функция в точке  определена, , но она не является непрерывной ни слева, ни справа в этой точке. Точка  - точка разрыва первого рода

 

 

       ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Точка  называется точкой разрыва второго рода функции , если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке , , равен бесконечности или не существует.

 

ПРИМЕР 3. .

Функция не определена в точке , но определена во всех остальных точках.  ,  . Оба односторонние пределы бесконечны. Точка  - точка разрыва второго рода.