Теоремы дифференциального исчисления

        ТЕОРЕМА (ФЕРМА). Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки  и принимает в этой точке наибольшее (или наименьшее) значение. Тогда, если в точке  существует производная , то .

     Доказательство. По условию теоремы  .

Тогда справедливы неравенства

                           , если , и                       (3)

                               , если .                          (4)

Если существует производная в точке , то существуют и односторонние производные  и  и они равны .

Переходя к пределу в неравенствах (3) при  и в (4) при , получаем

                            ,

                               .

Из последних двух неравенств получаем, что .

 

                 Геометрическая интерпретация теоремы Ферма.

Геометрическая интерпретация теоремы Ферма состоит в том, что, если в точке   функция принимает наибольшее (наименьшее) значение в некоторой окрестности точки , то касательная к графику функции в точке  параллельна оси  

     ЗАМЕЧАНИЕ. Если функция в точке    принимает наибольшее (наименьшее) значение в некоторой односторонней окрестности точки  и имеет одностороннюю производную, то эта производная может быть и не равной нулю.

                       

   ПРИМЕР.   на отрезке .

, .

   ТЕОРЕМА (РОЛЛЯ). Пусть функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , . Тогда существует хотя бы одна точка  такая, что .

    Доказательство. Так как функция  непрерывна на отрезке , то по теореме Вейерштрасса она достигает минимального и максимального значений в некоторых точках отрезка. Пусть , ,   справедливо неравенство .

   Если , то , тогда .

  Если , то хотя бы одно из значений  или  принимается не на концах. Пусть, например . Тогда существует точка  такая, что , и в этой точке существует производная . По теореме Ферма . Теорема доказана.

 

Геометрический смысл теоремы заключается в том, что, если функция непрерывна на на отрезке , дифференцируема во всех внутренних точках, принимает равные значения на концах отрезка, то существует точка, в которой касательная параллельна оси аьсцисс.

  Посмотрим, насколько важны все условия теоремы.

1. Если функция не является непрерывной на отрезке, то утверждение неверно

ПРИМЕР. .

Функция непрерывна на полуинтервале , на интервале  дифференцируема, принимает равные значения на концах отрезка . Как видим, производная во всех точках интервала равна .

   Делаем вывод, что требование непрерывности функции на отрезке обязательное.

2. Требование существования производной во всех внутренних точках тоже существенное.

 

ПРИМЕР. , .

 

    В данном примере функция непрерывна на отрезке , принимает на концах отрезка равные значения . Однако ни в одной точке производная не обращается в нуль, так как не выполняется условие дифференцируемости функции во всех внутренних точках, в точке  производная не существует.

 

     ТЕОРЕМА (ЛАГРАНЖА). Пусть функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале . Тогда существует точка  такая, что .

  Замечание. Последнее равенство называется формулой конечных приращений Лагранжа и может быть записано в виде

                          .

     Доказательство. Введем вспомогательную функцию

              .

Число  определим из условия , то есть из равенства .

То есть .

Для функции  выполняются все условия теоремы Ролля, то есть функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале  и на концах отрезка принимает равные значения. Следовательно,  такая, что .

, . Тогда

. Теорема доказана.

        

   Геометрический смысл теоремы состоит в том, что , касательная в которой параллельна хорде, соединяющей точки  и .

    Приведем другие формы записи формулы Лаграржа.

Точка , то есть справедливо неравенство . Обозначим . Очевидно , тогда , и формула конечных приращений Лагранжа приобретает вид

                    , .                 (5)

Если мы положим , , тогда формула конечных приращений Лагранжа приобретает вид

                    ,    .                (6)

  Сравним формулу (6) с приближенной формулой

                      .                                      (7)

 

       СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале  и  во всех точках интервала , тогда  на отрезке .

       Доказательство. Для ,  имеем

, .

Так как , то .

 

       СЛЕДСТВИЕ 2. Пусть функция  непрерывна на интервале , дифференцируема во всех точках интервала, кроме, может быть, точки , и существует предел , тогда существует производная  и .

Доказательство. Пусть .

Если , то , , тогда

                               .                  (8)               

Если , то ,  , и справедливо равенство  

                                  .                  (9)

Точка  определяется неоднозначно, она зависит от точки , то есть , причем справедливо неравенство

   ,  если ,

 и ,  если .

В силу теоремы о трех пределах .

Применяя теорему о замене переменных в пределах, получаем

                   .

Переходя к пределу при  в равенстве (8) и при  в равенстве (9), получаем

,

.

Следовательно, существует предел . Последнее по определению означает, что существует производная .

СЛЕДСТВИЕ 3. Пусть функция   дифференцируема на промежутке , и производная функции  ограничена на этом промежутке, тогда функция  равномерно непрерывна на промежутке .

    Доказательство. По определению функция  равномерно непрерывна на промежутке , если , что :  выполняется неравенство .

По формуле конечных приращений Лагранжа имеем

.

Ограниченность производной означает, по определению, что

. Тогда получаем :

.

Таким образом, , что :  выполняется неравенство . Равномерная непрерывность функции на множестве  доказана.

 

 

ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ

 

Под правилом Лопиталя понимается серия теорем, которые позволяют раскрывать неопределенности типа «» или «».

    ТЕОРЕМА (КОШИ). Пусть функции  непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале  и . Тогда существует точка  такая, что

                    .

   Доказательство. Заметим, что левая и правая части равенства имеют смысл, так как  (в противном случае, по теореме Ролля, нашлась бы точка , в которой  ).

     Рассмотрим вспомогательную функцию

                    .

Число  подберем так, чтобы выполнялось равенство , то есть . Отсюда получаем .

Функция  удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, поэтому существует точка такая, что . То есть . Отсюда получаем . Теорема доказана.

    ТЕОРЕМА 1. Пусть функции  определены на отрезке , , существуют односторонние производные  и , причем . Тогда существует .

    Доказательство. Применяя метод выделения главной части, получаем ,    . Так как , то

                  ,

                  .

.

         ТЕОРЕМА 2. Пусть функции  дифференцируемы на интервале , , производная , и существует предел  конечный или равный , . Тогда существует .

 

       Доказательство. Функции  не определены в точке , доопределим их, положив , тогда функции  и  становятся непрерывными на полуинтервале .

    Пусть , тогда на отрезке  функции удовлетворяют условиям теоремы Коши. Тогда  такая точка, что справедливо равенство

                                ,

причем . Отсюда следует,

.

Теорема доказана.

Аналогичные теоремы справедливы для случая  и .

 

      ТЕОРЕМА 3. Пусть функции  дифференцируемы на интервале , , производная , и существует предел  конечный или равный , . Тогда существует .

       Доказательство.   

    При вычислении предела сделаем замену переменных ,  и применяем теорему 2.

.

Теорема доказана.

     Аналогичная теорема справедлива при .

 

  ТЕОРЕМА 4. Пусть функции  дифференцируемы на интервале , , производная , и существует предел  конечный или равный , . Тогда существует .

(без доказательства).

                  

  Раскрытие неопределенностей типа «», «» и «»

Раскрыть такого типа неопределенности можно, предварительно прологарифмировав соответствующую функцию.

      ПРИМЕР. .

. Следовательно

.

ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА