Формула Тейлора для многочлена

   Пусть дан многочлен . Найдем производные многочлена

                     ,

                     ,

                     ,

                      …………………………………….

                     .

  Положив в этих равенствах , получаем

, , ,…, . Таким образом, многочлен может быть записан в форме

                      .                      (1)

      Аналогично, если , получаем

, или .

, , ,…,

 , тогда

       .    (2)

Формулы (1), (2) называются формулами Тейлора для многочлена.

 

Разложение функции по формуле Тейлора.

 

    Пусть функция  имеет производные до порядка  включительно , ,…,  на интервале . Составим многочлен

.

Очевидно, , , , …, .

     Обозначим

                                             .                                  (3)

   Покажем, что , если , , ,…, .

        ЛЕММА. Если , то .

     Докажем лемму методом математической индукции.

  Пусть . Покажем, что . Действительно, справедливо равенство

.

  Предположим, что утверждение верно при , покажем, что утверждение верно при .

Из верности утверждения для  имеем . По формуле конечных приращений Лагранжа имеем

, где точка , . Так как , получаем

. Лемма доказана.

Вернемся к равенству (3). В силу леммы .

Получаем формулу Тейлора с дополнительным членом в форме Пеано.

ТЕОРЕМА 1. Пусть функция  раз дифференцируема на интервале  и  раз дифференцируема в точке , тогда справедлива формула

.                                                             (4)

Формула (4) называется формулой Тейлора с дополнительным членом в форме Пеано.

 

 ЗАМЕЧАНИЕ. Формула (4) является обобщением равенства

  , которое задает условие дифференцируемости функции в точке .

 

ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ ЧЛЕНОМ

В ФОРМЕ ЛАГРАНЖА И КОШИ

 

Предположим, что функция  раз дифференцируема на интервале , . Рассмотрим функцию  на полуинтервале  (случай полуинтервала  рассматривается аналогично).

.

Фиксируем точку  и составим вспомогательную функцию

,

где . На этом отрезке функция непрерывна, , . Кроме того, на интервале  функция дифференцируема, и

.

  Пусть - непрерывная на отрезке , дифференцируема на интервале  функция, и . Справедлива теорема Коши, то есть существует точка  такая, что

                 .                                                   (5)

Так как , , , то

             .                                      (6)

1. Возьмем , тогда , , . Подставляя в (6), получим остаточный член в форме Лагранжа

.

2. Возьмем , тогда , , , . Тогда из равенства (6) получим остаточный член в форме Коши

 

 .

 

    ТЕОРЕМА 2. Пусть функция  раз дифференцируема на интервале , . Тогда  справедлива формула Тейлора

,                                                              (7)

где  - дополнительный член в форме Лагранжа или

 - дополнительный член в форме Коши, , .

      

МНОГОЧЛЕН ТЕЙЛОРА КАК МНОГОЧЛЕН

НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

    ТЕОРЕМА. Пусть функция  раз дифференцируема в точке  и  при , где - многочлен степени . Тогда , , то есть  - многочлен Тейлора.

  Замечание. Теорема утверждает, что другой многочлен не может приближать данную функцию с точностью до  при , а значит с большей точностью.

  Доказательство. По формуле Тейлора с дополнительным членом в форме Пеано имеем

.            (8)

Перейдем в равенстве (8) к пределу при , учитывая, что

                     ,                                              (9)

где  при , получаем .

Отбрасываем слева и справа равные первые слагаемые и разделим обе части равенства на , получаем

.

Переходя в равенстве к пределу при , получаем .

Повторяем такие операции, получим , .

 

Единственность разложения может быть использована для того, чтобы получить разложение каким либо косвенным путем.

ПРИМЕР. , .

Заметим, что , если .

Полагаем , получаем

. Это и есть искомое разложение по формуле Тейлора.

 

ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ.

1. , .

, .

.

 

2. , .

, .

.

.

 

3. , .

, ,

.

 

4. , ,   .

,

,

5. , .

,  ,  ,…, ,

.

 

ИССДЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ