Показательная функция и её Свойства

 

, .

 

Свойства функции  

 

1.      Область определения показательной функции .

Если , то  степень  определена.

 

2.   Функция является строго монотонно возрастающей, если , и строго монотонно убывающей, если , то есть

 таких, что , если , и

                                                , если .

Пусть , тогда существуют два рациональных числа такие, что . 

  

Обозначим , .

   Пусть , , причем , . Тогда справедливо неравенство    

                      .                                         (9)

Если , то справедливо неравенство

            .                                        (10)

Если , то справедливо неравенство

                .                                         (11)

По теореме о предельном переходе в неравенстве, переходя к пределу в неравенствах (10) и (11), получаем

при , и

при . Свойство доказано.

 

3.                       .

 

Пусть             , .

. Свойство доказано.

 

4.                         .

 

Пусть      , .

. Свойство доказано.

 

5.                        . 

 

Пусть .

. Свойство доказано.

6.    - непрерывная функция на интервале .

 

Для доказательства непрерывности функции нам потребуется лемма.

ЛЕММА 3. , .

    Доказательство. В силу леммы 2 имеем,  такое число, что для любого рационального числа  такого, что  выполняется неравенство .

Пусть . Тогда существует , тогда справедливо неравенство , и, в силу свойства 2 функции , получаем неравенство

, если      и                (12)

, если .                   (13)

Из неравенств (12) и (13) получаем .

То есть справедливо утверждение  такое число, что  такого, что , по определению это означает, что . Лемма доказана.

Доказательство непрерывности функции будем проводить по определению непрерывности в терминах приращений. Составим приращение функции в точке .

.

Так как , то функция непрерывна в любой точке , то есть функция непрерывна на всей области определения.

 

7.     Множество значений функции интервал .            

Для доказательства свойства достаточно показать, что если

, то , , 

 если , то , .

По определению, если ,    означает, что  такое, что  выполняется .

Пусть , такое рациональное число, что выполняется неравенство . Последнее неравенство означает, что .

Если выполняется неравенство , то, по свойству функции, получаем . Из последнего неравенства следует .

Получаем,  такое, что  выполняется . То есть доказано, что , если .

Аналогично доказываются и остальные пределы.

Графики функции

 

 

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

,

   Как мы показали выше, показательная  - функция определена на всей числовой оси , непрерывна на области определения, строго монотонно возрастающая, если , и строго монотонно убывающая, если . Множеством значений является интервал .

   По теореме об обратной функции, существует обратная функция , определенная на интервале  с множеством значений , непрерывная на области определения, строго монотонно возрастающая, если , и строго монотонно убывающая, если .

 

В частных случаях, если , , называется десятичным логарифмом. Если , то функция    называется натуральным логарифмом.

     Свойства логарифмической функции.

1.   , .

2.   , .

Свойства 1, 2 следуют из определения обратной функции.

3.     , .

  , , отсюда следует, что    . Последнее равенство доказывает свойство.

4.    .

 , , отсюда следует, что    . Последнее равенство доказывает свойство.

5.   .

,  . Свойство доказано.

6.   .

, отсюда получаем . Свойство доказано.

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1, § 7.

 

 

ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

 

           ТЕОРЕМА.             .

  Доказательство. Ранее было доказано, что , тогда  имеем .

    Пусть последовательность  - последовательность такая, что ,  (без ограничения общности будем считать, что ), то есть . Тогда .

  Обозначим   целую часть числа , то есть справедливо неравенство

                                          .                                                    (1)

 Тогда справедливо неравенство

                                             .                                                 (2)

Прибавляем ко всем частям неравенства 1, получаем

                                             .   

Используя свойства монотонности показательной функции с основанием больше единицы и степенной функции, получаем

       .              (3)

Найдем предел правой части неравенства (3)

                .

Найдем предел левой части неравенства (3)

                .

В силу теоремы о трех пределах .

Так как  - произвольная последовательность, , , то мы доказали, что

                                          .                                            (4)

  Пусть теперь , , положим .

.

В силу произвольности последовательности   получаем

                                           .                                            (5)

Из (4) и (5), так как односторонние пределы равны, следует .

Теорема доказана.

 

СЛЕДСТВИЕ 1.               ,    .

Доказательство. В силу свойств логарифмической функции имеем

      . 

 

СЛЕДСТВИЕ 2.       ,    .

Доказательство. Функция  является строго монотонной. Обратная к ней функция имеет вид .

Применяем теорему о замене переменных в пределах, получаем

.

 

СЛЕДСТВИЕ 3. При   ̴ ,      ̴ .

 

  РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ НА МНОЖЕСТВЕ

   ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция  называется равномерно непрерывной на множестве , если  таких, что  справедливо неравенство .

   ПРИМЕР 1. Рассмотрим функцию . Покажем, что функция равномерно непрерывна на интервале .

.

То есть,  такое, что  выполняется неравенство . Следовательно, функция равномерно непрерывна на интервале .

 

  ТЕОРЕМА. Если функция равномерно непрерывна на множестве , то она непрерывна на .

В самом деле, если мы зафиксируем произвольную точку , то в силу равномерной непрерывности  такой, что  справедливо неравенство . По определению, по Коши, это означает, что функция непрерывна в точке . В силу произвольности точки  функция непрерывна на множестве .

                Обратное утверждение неверно.

  ПРИМЕР 2. Покажем, что функция  не является равномерно непрерывной на интервале .

     Рассмотрим две последовательности , . Очевидно, что , , тогда .

Последнее по определению означает  такой номер, что  выполняется неравенство .

.

Получаем,   (, , ) такие, что , а .

Следовательно, функция не является равномерно непрерывной на интервале .

 

   ТЕОРЕМА (КАНТОРА). Если функция   непрерывна на отрезке , то она равномерно непрерывна на нем.

    Доказательство. Доказательство будем вести от противного. Предположим, что функция не является равномерно непрерывной на отрезке . Это значит, что  такое, что  : , что выполняется неравенство .

     Выберем  число , тогда  :

                                                                                          (6)

 такие, что  

                                  .                                            (7)

          Мы получили две последовательности , то есть ограниченные последовательности.

По теореме Больцано-Вейерштрасса из ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. То есть  , . Из последовательности  выделим подпоследовательность с теми же номерами .

   Из неравенства (6) следует, что , тогда любая подпоследовательность сходится, и .

                         .

Функция   непрерывна в точке . В силу определения по Гейне получаем

  ,                  .                          (8)

Из неравенства (7) получаем

                             .

Переходя в последнем неравенстве к пределу при , получаем 

    . Получили противоречие, следовательно, наше предположение неверно. Теорема доказана.

 

                                   Литература

1. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Т. 1,гл. 4.