Монотонные функции и их точки разрыва.

     

 

Пусть  - промежуток на числовой прямой (отрезок, интервал, полуинтервал) конечный или бесконечный.

  ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Функция  называется монотонно возрастающей на промежутке , если  таких, что  выполняется неравенство .

 

   ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Функция  называется монотонно убывающей на промежутке , если  таких, что  выполняется неравенство .

 

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Монотонно возрастающие и монотонно убывающие на промежутке  функции называются монотонными на .

 

 

     ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Функция  называется строго монотонно возрастающей на промежутке , если  таких, что  выполняется неравенство .

 

     ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Функция  называется строго монотонно убывающей на промежутке , если  таких, что  выполняется неравенство .

 

   ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11. Строго монотонно возрастающие и строго монотонно убывающие на промежутке  функции называются строго монотонными на .

 

 

    ТЕОРЕМА 1. Пусть функция  монотонно возрастает на интервале .

Если функция ограничена сверху, то существует конечный предел .

Если функция неограниченна сверху, то .

Если функция ограничена снизу, то существует конечный предел .

Если функция неограниченна снизу, то .

      Доказательство. Пусть функция  ограничена сверху, и . Тогда справедливы утверждения       1) ,

                                                           2) . 

Но тогда, в силу монотонного возрастания функции, для всех ,  выполняется неравенство .

Положим . Получаем,  выполняется неравенство . Последнее означает, по определению, .

 

 

   Пусть функция  неограниченна сверху. Это означает такая точка, что . В силу монотонного возрастания функции имеем  , .

 , положим  , тогда , что  выполняется неравенство . Последнее означает, по определению, .

Замечание. В этом случае будем писать .

 

Пусть функция  ограничена снизу, и . Тогда справедливы утверждения                                 1) ,

                                                           2) . 

Но тогда, в силу монотонного возрастания функции, для всех ,  выполняется неравенство .

Положим . Получаем,  выполняется неравенство . Последнее означает, по определению, .

 

        Пусть функция  неограниченна снизу. Это означает такая точка, что . В силу монотонного возрастания функции имеем , .

 , положим , тогда , что  выполняется неравенство . Последнее означает, по определению, .

Замечание. В этом случае будем писать .

 

Аналогичная теорема справедлива для монотонно убывающей функции.

 

 

ТЕОРЕМА 2. Пусть функция  монотонно убывает на интервале .

Если функция ограничена сверху, то существует конечный предел .

Если функция неограниченна сверху, то .

Если функция ограничена снизу, то существует конечный предел .

Если функция неограниченна снизу, то .

 

   СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть функция  монотонно возрастает (убывает) на интервале , тогда в любой точке  существуют конечные односторонние пределы , .

      Доказательство. Пусть функция  монотонно возрастает. В силу монотонного возрастания функции имеем , . Последнее неравенство означает, что функция  ограничена сверху на интервале . По теореме имеем, существует предел слева .

          Кроме того, , . Последнее неравенство означает, что функция  ограничена снизу на интервале . По теореме имеем, существует предел справа .

    СЛЕДСТВИЕ 2. Пусть функция  монотонно возрастает (убывает) на интервале , тогда в любой точке  функция или непрерывна или терпит разрыв первого рода.

       Доказательство. Если односторонние пределы совпадают , то существует предел функции и равен значению функции в точке .

Если односторонние пределы не совпадают, по следствию 1 они конечны, то есть точка  является точкой разрыва первого рода.

 

ТЕОРЕМА 3 (Счетность множества точек разрыва у монотонной функции). Пусть функция  монотонно возрастает (убывает) на промежутке , тогда множество точек разрыва или конечное или счетное.

 

        Доказательство.    Пусть функция  монотонно возрастает. Каждой точке разрыва   можно поставить в соответствие интервал , где , , причем справедливо неравенство . Верно неравенство , в противном случае в точке  функция была бы непрерывна.

     Пусть  - две различные точки разрыва функции , пусть . Покажем, что этим точкам соответствуют разные интервалы, причем непересекающиеся.

Точке разрыва   ставится в соответствие интервал , где . Точке разрыва   ставится в соответствие интервал , где . Пусть точка  тогда справедливо неравенство . 

Каждой точке разрыва функции  поставим интервал взаимно однозначно, каждому интервалу поставим в соответствие рациональное число . Поскольку интервалы не пересекаются, то это соответствие взаимно однозначное. Поскольку множество рациональных чисел счетное, то его подмножество или счетное или конечное. Поэтому множество точек разрыва монотонной функции или счетное или конечное. Теорема доказана.