Теоремы о непрерывных функциях

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция  называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в любой точке .

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Функция  называется непрерывной на полуинтервале , если она непрерывна в любой точке  и непрерывна слева в точке .

 

  ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Функция  называется непрерывной на полуинтервале , если она непрерывна в любой точке  и непрерывна справа в точке .

 

   ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Функция  называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в любой точке  , непрерывна слева в точке  и непрерывна справа в точке .

 

 

    ТЕОРЕМА Вейерштрасса (первая). Пусть функция  непрерывна на отрезке , тогда функция ограничена на отрезке.

     Доказательство. Чтобы доказать, что функция ограничена на отрезке достаточно доказать, что функция ограничена сверху и ограничена снизу.

Докажем, что функция ограничена сверху, то есть , что  выполняется неравенство . Доказательство будем вести от противного, то есть предположим, что функция неограниченна на отрезке . Это означает, что  такая, что . Поскольку константа  любая, выбарем последовательность таких констант , тогда для каждого натурального числа  найдется точка  такая, что выполняется неравенство  

                                                              .                                       (1)

Таким образом, мы построили последовательность , причем, если мы применим теорему о предельном переходе в неравенстве (1), то

                                                        .                                  (2)

Так как последовательность  ограниченна, то, по теореме Больцано-Вейерштрасса, из этой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность . Пусть .

Так как справедливо неравенство , то по теореме о предельном переходе в неравенстве имеем . То есть точка , и, поэтому функция непрерывна в этой точке. В силу определения непрерывности функции в точке по Гейне имеем  

                                                       .                                      (3)

Последнее равенство противоречит равенству (2). То есть предположение неверно, а это означает, что функция ограниченна сверху.

           Аналогично доказывается, что функция ограниченна снизу. Теорема доказана.

 

    ТЕОРЕМА Вейерштрасса (вторая). Пусть функция  непрерывна на отрезке , тогда она достигает на этом отрезке точной верхней и точной нижней граней, то есть существуют точки  такие, что , .

 

     Доказательство. Докажем, что существует точка  такая, что . Предположим противное, то есть  выполняется строгое неравенство . Введем вспомогательную функцию . Функция непрерывна на отрезке  как частное непрерывных функций. По первой теореме Вейерштрасса функция  ограничена на отрезке, то есть существует положительная константа  такая, что для  выполняется неравенство   

                              .

Из последнего неравенства получаем для   . Последнее неравенство противоречит тому, что . Следовательно предположение неверно. То есть существует точка  такая, что . Аналогично доказывается, что существует точка  такая, что .

 

       ТЕОРЕМА Больцано-Коши (о промежуточных значениях непрерывной функции).

 Пусть функция  непрерывна на отрезке  и принимает на концах отрезка значения , ,   (или ), тогда  (или ) найдется точка  такая, что .

      Доказательство теоремы. Пусть . Разделим отрезок  пополам.

 Если , то .

Если , обозначим , .   

Если , обозначим . Получаем , кроме того справедливо неравенство 

                                              .

Разделим отрезок  пополам.

 Если , то .

Если , обозначим , .   

Если , обозначим . Получаем , кроме того справедливо неравенство 

                                              .

Продолжаем процесс дальше. Или на каком то шаге получим точку  такую, что , или построим систему вложенных отрезков  такую, что , причем справедливо неравенство

                                               .                                                     (4)

Поскольку верно неравенство , мы получаем, что последовательность  - монотонно возрастает и ограничена сверху, поэтому существует предел , а последовательность  - монотонно убывает и ограничена снизу, поэтому существует предел .

                                       .

С другой стороны, по свойству пределов имеем

                                       .

То есть .

По теореме о сжимающейся системе вложенных отрезков , то есть

. Отсюда получаем , то есть .

В силу определения непрерывности функции в точке  по Гейне имеем

                                 .

Переходим к пределу в неравенстве (4), получаем

                                 .

Отсюда имеем . Теорема доказана.

 

        СЛЕДСТВИЕ 1.   Пусть функция  непрерывна на отрезке , и , тогда найдется точка  такая, что .

      СЛЕДСТВИЕ 2.  Пусть функция  непрерывна на отрезке , , , тогда отрезок  - множество значений функции.

 Доказательство. По второй теореме Вейрштрасса найдутся точки  такие, что , .

Тогда по теореме Больцано-Коши функция на отрезке  (или  ) принимает любое значение .

 

 

ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ.