Геометрический смысл теоремы. Если графики функций  и изобразить на одной плоскости

Если графики функций  и изобразить на одной плоскости, то они симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. Обозначим  угол между осью  и касательной к графику функции  в точке , а  - угол между осью  и касательной к графику функции  в точке . Очевидно, .

,

причем , .

 

ПРОИЗВОДНЫЕ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

1. ,   ,   , .

.

 

2. , , , .

 

.

 

3.   ,   , , .

.

 

4. ,   , , .

     .

 

  ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ (СУПЕРПОЗИЦИИ ФУНКЦИЙ)

        ТЕОРЕМА. Пусть функция  имеет производную в точке , а функция  имеет производную в точке , тогда сложная функция  имеет производную в точке , причем

                           .

   Замечание. Формула производной сложной функции можно записать и в другой форме

                                .

    Доказательство. Функции  и  дифференцируемые в точках    и  соответственно непрерывны в этих точках и, следовательно, функция  определена в некоторой окрестности точки .

    Положим , .

  Функция  дифференцируема в точке , то есть

                ,                                    

 где .

Положим в равенстве , получим

         ,       (4)

    Функция  может быть не определена при . Доопределим её, положив . Определенная таким образом функция  непрерывна в точке . Положим .

     Поделим обе части равенства (4) на , получаем

.            (5)  

Функция  имеет производную в точке , то есть существует предел . Кроме того, функция  непрерывна в точке , то есть . По теореме о замене переменной в пределе имеем

             .

     Переходя к пределу в равенстве (5), получаем

                

.    Теорема доказана.

     ПРИМЕР 1. , .

, .

      ПРИМЕР 2. , где ,  - дифференцируемые функции, . Найти производную функции.

, .

     

  СВОЙСТВО ИНВАРИАНТНОСТИ ПЕРВОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА

   Пусть функция  имеет производную в точке , а функция  имеет производную в точке , тогда сложная функция   имеет производную .

   Дифференциал функции  имеет вид

                             ,                                                         (6)

где .                                                                             (7)

  Дифференциал сложной функции   имеет вид

                               ,                          (8)

но учитывая, что , из (8) получаем

                                   ,                                                   (9)

где .

  Сравнивая (6) и (9), мы видим, что дифференциал функции  имеет один и тот же вид и если  - независимая переменная, и если  - функция. Но в первом случае - это дифференциал независимой переменной, то есть , а во втором случае  - дифференциал функции.   

     В этом и состоит свойство инвариантности первого дифференциала.

 

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ НЕ ЯВНО

Используя формулу дифференцирования сложной функции, можно находить производную функции, заданной неявно.

     Пусть дано уравнение .

Такое уравнение может задавать функцию . Если подставить эту функцию в уравнение, то получится тождественное равенство.

                                   .

   ПРИМЕР 1. .

  Продифференцируем равенство, считая, что , и при таком  равенство превращается в тождество.

               .

Отсюда получаем .

     ПРИМЕР 2. , где ,  - дифференцируемые функции, . Найти производную функции.

Прологарифмируем равенство

  . Тогда   (логарифмическая производная), .

 

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ ПАРАМЕТРИЧЕ СКИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть функции ,  определены в некоторой окрестности точки , и одна из них, например,  непрерывна и строго монотонна в этой окрестности, тогда существует обратная функция  в некоторой окрестности точки , тогда сложная функция  будет определена в некоторой окрестности точки . Такая функция называется заданной параметрически.

       ТЕОРЕМА. Если функции ,  имеют производные в точке , и , то функция  имеет производную в точке , причем

                             .

     Доказательство. По правилу дифференцирования сложной функции имеем

                                     (10)

По теореме о дифференцировании обратной функции справедливо равенство    . Тогда из (10) получаем

           .

Теорема доказана.

                                   

                                     

                     

ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть функция , определенная на интервале , в каждой точке интервала имеет производную . Если  имеет производную в точке , то эта производная называется второй производной функции  в точке  и обозначается

           .

   Аналогично определяется производная порядка .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Пусть функция , определенная на интервале , в каждой точке интервала имеет производную  порядка . Если  имеет производную в точке , то эта производная называется производной порядка  функции  в точке  и обозначается

           , то есть

.

  ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Функция  называется  раз непрерывно-дифференцируемой на промежутке , если во всех точках этого промежутка она имеет непрерывные производные до порядка  включительно.

 (При этом если конец промежутка принадлежит промежутку, то под производной на конце понимается односторонняя производная).

  ПРИМЕР 1. .

, , , , если .

  ПРИМЕР 2. .

, , ,…, .

ПРИМЕР 3. .

, ,…, .

ПРИМЕР 4. .

, ,…, .

 

  ТЕОРЕМА. Пусть функции  и  имеют в точке  производные порядка , тогда функции  и  также имеют в точке  производные порядка , и справедливы формулы

             ,                                                    (1)

             .   (Формула Лейбница)          (2)

(В формуле (2) под производной порядка  понимается сама функция, то есть  ).

Доказательство. Формулы доказываются по индукции.

При    формула (1) верна, .

Предполагаем, что формула верна при , то есть 

                          .

 Тогда при   получаем

               

. 

  При    формула (2) верна, 

                   .

     Предполагаем, что формула верна при , то есть 

                          .

Используя правила вычисления производной суммы и произведения, получаем при

,

так как , .

                                 Теорема доказана.

 

СЛЕДСТВИЕ. Если , то                  .