Физический смысл проиводной и дифференциала

     ПРИМЕР 1. Пусть  - время, - смещение точки относительно начального положения, то есть  и  - расстояние, которое проходит точка за время , начиная с момента времени .

       - средняя скорость движения точки за время . При стремлении   величина  называется скоростью в точке , или мгновенной скоростью.

      Применение дифференциала основано на том, что замена приращения функции её дифференциалом позволяет заменить любую дифференцируемую функцию линейной в достаточно малой окрестности.

  - путь, который прошла бы точка, если бы двигалась равномерно за время , начиная с момента времени  со скоростью  (на малых участках движение можно считать равномерным).

 

ПРИМЕР 2. Пусть дан стержень. Масса части стержня от начала до точки  равна . Тогда  масса части стержня длины . Величина  - средняя линейная плотность стерня.

 - линейная плотность стержня в точке.

Если , то стержень однородный. Если же нет, то

, то есть на малой длине стержня  стержень можно считать однородным.

 

         

 

ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ

 

   Пусть функции ,  определены в окрестности точки .

1. Если существуют производные , , тогда в точке  существует производная функции , причем

             .                                (1)

Доказательство. ,

.

 

2. Если существуют производные , , тогда в точке  существует производная функции , причем

                    .          (2)

Доказательство.

,

.

 

СЛЕДСТВИЕ. Если , и существует производная , то

.

Равенство получаем, так как

 

 

ЛЕММА. Если функция непрерывна в точке  и , то существует  такое, что .

Доказательство. Докажем лемму от противного, то есть предположим, что .

   Выберем последовательность чисел , тогда . Тогда , и, в силу непрерывности функции в точке , получаем . Получили противоречие. Следовательно, предположение неверно. Лемма доказана.

 

3. Если существуют производные , , и , тогда в точке  существует производная функции , причем

                    .          (3)

,

.

 

ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

           ТЕОРЕМА. Пусть функция  непрерывна и строго монотонна (строго монотонно возрастает или убывает) в некоторой окрестности точки  и в точке  существует производная , тогда обратная функция  имеет производную в точке , причем

                               .

         Доказательство. Зафиксируем окрестность точки  , в которой функция непрерывная и строго монотонная, тогда обратная функция непрерывная и строго монотонная на некотором интервале, содержащем точку  . Если , то . В силу непрерывности функции  , .

 .

Так как существует предел правой части равенства

,

то существует предел левой части, и справедливо равенство

.

Используя другое обозначение производной, получаем равенство

    . Теорема доказана.