Достаточные условия экстремума

     ТЕОРЕМА 1. Пусть функция , кроме может быть точки , в которой функция непрерывна. Если производная  меняет знак при переходе через точку  (то есть такое, что при  производная  имеет один знак, а  другой), то точка  - точка строгого локального экстремума. При этом, если  и , то точка  - точка строгого локального максимума, если  и , то точка  - точка строгого локального минимума.

 

     Доказательство. Пусть , и . По теореме Лагранжа имеем

             .                                                      (1)

Если , то , , , тогда .

 Если , то , , , тогда .

 Получаем, что  выполняется неравенство . По определению это означает, что  - точка строгого локального максимума. Аналогично, если  и , то в силу равенства (1)  выполняется неравенство . По определению это означает, что  - точка строгого локального минимума. 

     Замечание. В точке  по условию теоремы производная может и не существовать, Если же производная существует, то, по необходимому условию экстремума . На рисунках изображены случаи, если производная не существует (слева), и когда производная равна нулю,

если точка  - точка строгого локального максимума

если точка  - точка строгого локального минимума.

 

        ТЕОРЕМА 2. Пусть функция  дифференцируема на интервале , в точке  имеет вторую производную, и ,   (или ), тогда  - точка строгого локального максимума (или минимума).

              

           Доказательство. Функция удовлетворяет условиям теоремы о разложении по формуле Тейлора с дополнительным членом в форме Пеано, то есть

.

Учитывая, что , получаем

. (2)

  По определению , то есть  такое, что  выполняется неравенство , или .

      Пусть . Положим , тогда

.

Тогда в равенстве (2) правая часть строго меньше нуля, и ,

и, следовательно,  - точка строгого локального максимума.

   Если , положим , тогда

.

Тогда в равенстве (2) правая часть строго больше нуля, и ,

и, следовательно,  - точка строгого локального минимума. Теорема доказана.

 

 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка  называется точкой возрастания (убывания) функции , определенной на интервале , если  выполняется неравенство , а  выполняется неравенство  (  выполняется неравенство , а  выполняется неравенство ).

       ТЕОРЕМА 3. Пусть функция  дифференцируема на интервале  раз, в точке  имеет производную порядка n, и , . Тогда, если  - четное, то функция имеет в точке   строгий локальный экстремум, максимум, если   и минимум, если . Если же  - нечетное число, то - точка возрастания при  и убывания, если .            

           Доказательство. Функция удовлетворяет условиям теоремы о разложении по формуле Тейлора с дополнительным членом в форме Пеано, то есть

.

Учитывая, что , получаем

. (3)

  По определению , то есть  такое, что  выполняется неравенство , или .

      Пусть . Положим , тогда

.

Тогда в равенстве (3) правая часть строго меньше нуля, если   и ,

и, следовательно,  - точка строгого локального максимума.

    Если , то разность  меняет знак с «-» на «+» при переходе через точку , то есть  выполняется неравенство , а  выполняется неравенство  . Следовательно,  - точка убывания.

           

        Если , положим , тогда

.

Тогда в равенстве (3) правая часть строго меньше нуля, если   и ,

и, следовательно,  - точка строгого локального минимума.

  Если , то разность  меняет знак с «-» на «+» при переходе через точку , то есть  выполняется неравенство , а  выполняется неравенство  . Следовательно,  - точка возрастания.

                              Теорема доказана.