Сущность измерений. Виды погрешностей и методы борьбы с ними

Измерить какую-либо величину - это значит сравнить ее с одно­родной величиной, принятой за единицу измерения. Например, при из­мерении длин за единицу измерения принимают метр.

Любое измерение всегда содержит некоторую погрешность. Безо­шибочных измерений в природе не существует. Для выявления этих погрешностей, ослабления их влияния на результат измерения и для оценки точности выполняются повторные и избыточные измерения. Обозначим через X истинное значение измеряемой величины, через l - результат измерения, через D - погрешность измерения. Тогда, очевидно, имеет место равенство

D = l – X                                               (8)

Погрешность D всегда остается величиной неизвестной, поскольку всегда неизвестно истинное значение Х. Процесс измерения всегда происходит при наличии следующих факторов::инструмент, внешняя среда, человек. Каждый из этих факторов является носителем погреш­ностей. По своему характеру погрешности делятся на грубые, систе­матические и случайные.

Грубые погрешности - это такие, которые допущены в результате грубых промахов человека, грубых неисправностейинструмента, резких изменений во внешней среде. Грубые погрешности необходимо выявить, а результаты измерений, содержащие их, отбраковать. Су­ществует два метода борьбы с грубыми погрешностями: метод повторных измерений и метод избыточных измерений.

Пример 1. Один и тот же угол был измерен пять раз (повторные измерения) с точностью 1¢ и получен следующий ряд результатов l6°12¢ ; 16°I3¢ ; I7°13¢; 16 ° 12¢. Поскольку абсолютно точных измерений в природе не существует, то разброс результатов измерений в 2¢-3¢ яв­ляется естественным. Однако один результат (l7°13¢) резко отлича­ется от других. Мы вправе сделать заключение, что он содержит гру­бую погрешность. Такой результат из ряда измерений вычеркивают. Зачастую можно определить и фактор, вызвавший грубую погрешность. В нашем примере таким фактором, скорее всего является человек.

Пример 2. В треугольнике измерены углы с точностью 1¢: a = 45°34¢;b= 61°18¢; g =74°50¢. В принципе достаточно было бы измерить лю­бых два угла, например, a и b, а угол g вычислить g = 180° - (a + b). Измерение третьего угла является лишним, но оно позволяет произ­вести контроль качества измерений (избыточное измерение) и выявить грубую погрешность. Действительно, в нашем примере a + b + g = 181° 42¢. При точности измерений 1¢ отличие этой суммы от теорети­ческой 181° 42¢ - 180° = 1° 42' является слишком большим, и мы можем заключить, что в измерениях допущена грубая погрешность. Однако в этом случае указать конкретное измерение, содержащее грубую погреш­ность, затруднительно. Необходимо заново измерить все углы.

Систематические погрешности - это такие, которые по опреде­ленному закону повторяются в многократных измерениях.

Систематические погрешности возникают в результате влияния внешней среды, мелких и до конца неисправляемых погрешностей при­бора и личных ошибок человека, обусловленных его индивидуальными особенностями. Они бывают большие и маленькие, постоянные и пере­менные, положительные и отрицательные. Их необходимо выявлять, учи­тывать и исключать. Существует два метода борьбы с систематически­ми погрешностями: метод введения поправки в результат измерения и подбор такой методики измерения, которая автоматически исключает систематическую погрешность или делает ее пренебрежимо малой.

Пример 1. Известно, что при изменении температуры длина стальной рулетки изменяется. Это изменение длины можно заранее вы­числить и внести соответствующую поправку в результат измерения. Подробно это будет рассмотрено в главе 7.

Пример 2. При измерении углов прибором теодолитом существует методика "полного приема", а при измерении превышения прибором ни­велиром - методика нивелирования "из средины". Обе эти методики позволяют автоматически исключить ряд систематических погрешностей. Подробно эти методики будут рассмотрены далее.

Случайные погрешности являются результатом воздействия мно­жества мелких факторов, учесть которые невозможно. Все три фактора (внешняя среда, прибор и человек) вносят свою лепту в образование суммарной случайной погрешности. Величину каждой в отдельности случайной погрешности узнать нельзя, но в своей совокупности они проявляют определенные закономерности, которые подробно изучаются в разделе высшей математики "Теория вероятностей и математическая статистика". Отметим некоторые свойства случайных погрешностей.

1. При данных условиях измерений одной и той же величины слу­чайные погрешности не могут превосходить известного предела.

2. Равные по абсолютной величине положительные и отрицатель­ные случайные погрешности встречаются одинаково часто.

3. Среднее арифметическое из случайных погрешностей стремится к нулю при неограниченном увеличении числа измерений. Пусть D₁, D₂, …, D _n - случайные погрешности, тогда согласно этому свойству

 

 

Обозначим D₁ + D₂ + … + D _n  = [D], тогда это свойство можно записать

(9)

 

4. Малые по абсолютной величине случайные погрешности встре­чаются чаще, чем большие.

Поведение случайных погрешностей подчиняется закону нормального распределения. График дифференциальной функции этого закона при­веден на рис.3.1. График прекрасно иллюстрирует все четыре свойс­тва случайных погрешностей. По оси X откладывается величина случайной погрешности D,по оси Y - частота их появления.

График функции асимптотически ст­ремится и оси X. Это означает, что большие D встречаются очень редко. Практически можно считать, что за пределами скобок случай­ные погрешности не встречаются. Величину этого предела (3m), о котором идет речь в первом свойстве, укажем позднее. Иллюст­рация второго свойства очевидна, так как график функции симметри­чен относительно оси Y. По этой же причине очевидно и третье свойство.

Метода борьбы с каждой в отдельности случайной погрешностью не существует. Однако, в ряде повторных измерений существует воз­можность значительно ослабить влияние случайных погрешностей в окончательном результате. Этот метод борьбы со случайными погреш­ностями носит название принципа арифметической средины. Рассмотрим его подробнее.

Пусть X - истинное значение измеряемой величины, l ₁ , l₂, … l_n, - результаты измерений, D₁,, D₂, …, D_n - случайные пог­решности. Согласно (8)

 

 

 

(10)

 

 

Сложим эти равенства и разделим почленно на n.

(11)

 

Обозначим [ l ]/ n = x₀. Очевидно, что x ₀ - это среднее арифметическое из результатов измерений. Перейдем в (11) к пределу при  n ® ¥

(11)

 

Согласно третьему свойству случайных погрешностей

 

 Поэтому                                                                       (12)

 

Это означает, что в пределе среднее арифметическое x₀ равно истин­ному значению X. На практике число повторных измерений п всегда ограничено. Поэтому полностью суммарная случайная погрешность в окончательном результате x₀ не исключается, но значительно ослабля­ется и тем сильнее, чем больше повторных измерений n. Это и есть единственный метод борьбы со случайной погрешностью, носящий наз­вание принципа арифметической средины.

Результаты измерений всегда содержат случайные и системати­ческие погрешности, а иногда еще и грубые. Искусство математической обработки состоит в том, чтобы сделать отбраковку результатов, со­держащих грубые погрешности, выявить систематические и свести их влияние к минимуму, и значительно ослабить влияние случайной пог­решности. В дальнейшем изложении будем считать, что грубые и сис­тематические погрешности выявлены и устранены и результаты измере­ний содержат только случайные погрешности.