Системы координат, применяемые в геодезии

Географическая система координат

Для определения положения точек на поверхности Земли приняты геодезическая, астрономическая и географическая системы координат. Они являются едиными для всех точек Земли. Основу этих систем составляют плоскость начального меридиана РА₀Р₁ , проходящего через центр Гринвичской обсерватории близ г. Лондона и плоскость экватора. Положение любой точки А определяется двумя координатами – долготой l и широтой j. Долготой l называется двугранный угол (рис.1.4), образованный плоскостями гринвичского меридиана и меридиана, проходящего через точку А. Широтой j называется угол, образованный радиусом-вектором ОА с плоскостью экватора.

Если радиус-вектор ОА совпадает с нормалью к поверхности земного эллипсоида, то система координат называется геодезической. Если совпадает с направлением силы тяжести, то система координат называется астрономической. Если пренебречь сжатием Земли и отклонением нормали от направления силы тяжести, то обобщением этих двух систем координат является географическая система координат.

Широты отсчитываются от экватора к северу и к югу от 0° до 90° и называются соответственно северными и южными. Долготы отсчитываются от Гринвичского меридиана к востоку и к западу от 0° до 180° и называются соответственно восточными и западными.

Третьей координатой точки на физической поверхности Земли является ее высота над уровенной поверхностью, совпадающей с уровнем морей и океанов. В нашей стране все высоты отсчитываются от среднего уровня Балтийского моря, определенного из многолетних наблюдений. Этот средний уровень обозначен горизонтальной чертой на медной доске, вделанной в опору моста, и называется нулем Балтийского футштока.

Плоская прямоугольная система координат

Как было выяснено в предыдущем параграфе, почти во всех случаях инженерной практики кривизной Земли можно пренебречь. Поэтому на строительной площадке чаще всего пользуются прямоугольной декартовой системой координат. В отличие от общепринятой в математике правой системы координат (рис.1.5) в геодезии используют левую систему (рис.1.6). Отличие их состоит в выборе положительных направлений осей и в нумерации четвертей. Согласно такому выбору определяются знаки приращений координат. Все же формулы тригонометрии и аналитической геометрии остаются тождественны для обеих систем.

 

 

Существует единая государственная система прямоугольных координат, с которой познакомимся ниже. На строительной площадке чаще всего используют местную систему, в которой положительное направление одной из осей обычно совпадает с одной из сторон площадки.

Полярная система координат

При геодезических измерениях в инженерной практике часто используют полярную систему координат на плоскости, представляющую собой начало системы – полюс О и полярную ось ОХ (рис.1.7). Положение любой точки А в этой системе определяется полярным углом j и длиной r радиуса-вектора ОА.

Применение других известных систем координат в инженерно-геодезической практике весьма ограничено.

ТОПОГРАФИЧЕСКИЕ ПЛАНЫ И КАРТЫ

2.1. Понятие о плане и карте

Определение. Топографическим планом называется уменьшенное подобное изображение небольших участков местности на бумаге. При этом кривизной Земли пренебрегают.

Поверхность сферы невозможно развернуть на плоскость без разрывов и складок. Другими словами, поверхность Земли нельзя изобразить на бумаге без искажений. Для переноса точек с шаровой поверхности Земли на плоскость используют различные математические законы, которые называются картографическими проекциями. Любая картографическая проекция имеет искажения либо линейные, либо угловые, либо те и другие.

Определение. Топографической картой называется уменьшенное согласно выбранной картографической проекции изображение больших участков земной поверхности.

Ниже познакомимся с одной из таких картографических проекций, которая применяется в геодезии.

Масштаб

Одним из основных понятий плана и карты является понятие масштаба.

Определение. Масштабом называется отношение длины линии d на плане или карте к длине горизонтальной проекции D той же линии на местности.

Горизонтальной проекцией D (рис.2.1) называется ортогональная проекция линии AB местности на горизонтальную плоскость.

Согласно определению масштаб равен d: D. Обычно это выражение записывают в виде простой дроби 1: D/ d = 1:М и тогда ее знаменатель М означает степень уменьшения. Например, для масштабов 1:500; 1:1000; 1:2000 степень уменьшения составляет соответственно 500, 1000 и 2000 раз. Такой масштаб называется численным.

 

 

При откладывании линий на плане возникает вопрос о минималь­ном отрезке, который можно отложить или измерить без применения увеличительных приборов. Из опыта установлено, что человеческий глаз в среднем способен различить минимальный отрезок на бумаге длиной 0,1 мм. Такой размер имеет диаметр точки, полученный от накола остро отточенной иглой на листе ватмана. Этому минимальному расстоянию на планах различных масштабов соответствуют различные расстояния на местности. Например, для плана масштаба 1:500 0,1 мм соответствует на местности горизонтальному расстоянию D = 0,1 мм ´ 500 = 0,05 м.

Определение. Длина горизонтальной линии D на мест­ности, соответствующая 0,1 мм на карте или плане данного масштаба, называется точностью данного масштаба.

В связи с этим возникает вопрос как достичь на бумаге графи­ческой точности 0,1 мм. Заметим, что обычная линейка с ценой деле­ния 1 мм может обеспечить точность 0,5 мм. Высокая графическая точность достигается с помощью специальной линейки, которая назы­вается поперечным масштабом (рис.2.2).

Произвольный отрезок а называется основанием масштаба. Ос­нования АВ и СD делят на 10 равных частей и точки деления сое­диняют наклонными прямыми, как показано на рисунке. Отрезки AС и BO также делят на 10 равных частей и точки деления соединяют парал­лельными горизонтальными прямыми. В результате такого построения

 

 

AA₁ = A₁A₂ = A₂A₃ = … =0,1 a;

E₁B₁ = 0,01 a, E₂B₂ = 0,02 a, …, E₉B₉ = 0,09 a.

Например, длина отрезка KM равна a + a + 0,2 a + 0,04 а = 2,24 a. Обычно длину отрезка a берут равной 2 см. Тогда длина линии KMна плане масштаба 1:500 будет соответствовать горизонтальной линии на местности длиной 2,24 ´ 2 см ´ 500 = 22,4 м. Тот же отрезок на плане масштаба 1:1000 соответствует на местности D = 2,24 ´ 2 см ´ 1000 = 44,8 м.