Математическая обработка замкнутого теодолитного хода

Целью математической обработки теодолитного хода является вы­числение координат точек хода. Для решения этой задачи необходимы следующие исходные данные (рис.8.3).

1. Измеренные теодолитом го­ризонтальные углы β_i.

2. Измеренные и приведенные к горизонту длины сторон S

3. Координаты (X₁, Y₁) пункта ГГС точки Р₁.

4. Дирекционный угол α₀ с пункта P₁ на соседний пункт ГГС точку М и измеренный теодолитом примычный угол β_пр.

Весь процесс вычисления координат удобно разбить на отдельные этапы.

Этап 1. Уравнивание углов.

В замкнутом многоугольнике, каковым является рассматриваемый теодолитный ход, теоретически

Σ β_теор = 180˚ (n – 2) (80)                                

Вследствие неизбежных погрешностей измерений на практике равенство (80) на будет выполняться. Поэтому

Σ β _i - 180˚ (n – 2) = f_β ≠ 0. (81)                                     

Величина f_β  называется угловой невязкой. Она служит показателем точности угловых измерений и должна удовлетворять допуску f_β ≤ f_доп.

(82)

 

где п - количество углов в ходе, t - точность отсчетного устройства теодолита. Если невязка f_β  не удовлетворяет допуску, то по-видимому, угловые измерения содержат грубую (одну или несколько) пог­решность, которую необходимо выявить и устранить в результате пов­торных измерений. Если угловая невязка удовлетворяет допуску, то измерения углов выполнены удовлетворительно. Однако невязка f_β  внесет в дальнейшие вычисления неоднозначность, поэтому ее следует устранить, введя в измеренные углы поправки

v_i = - f_β /n.                                               (83)

Если невязка f _β  не делится без остатка на число углов n, то нес­колько большие поправки вводят в углы с короткими сторонами. Исп­равленные углы β_i называются увязанными и удовлетворяют равенству (80).

Этап 2. Вычисление дирекционных углов сторон

Для вычисления координат точек хода необходимо знать дирекционные углы сторон. Из рис.8.3 следует, что дирекционный угол α_1,2 стороны Р₁2 равен

 α_1,2 = α₀ + β_пр                                               (84)

Продолжим сторону Р₁2 и отметим при точке 2 угол α_1,2. Очевидно, что следующий дирекционный угол α_2,3    равен

α_2,3 = α_1,2  + 180˚ - β₂.                                 (85)

Рассуждая аналогично, можно написать

 

 

(86)

 

 

С целью контроля еще раз вычисляют α_1,2

α_1,2 = α_п,1 + 180˚ - β₁.                              (87)

Найденный α_1,2 должен быть равен α_1,2 из (84).

Найденные по формуле (86) дирекционные углы верны для так назы­ваемых правых углов β _i. Если по ходу нумерации точек теодолитного хода измеренные углы расположены слева, то они называются левыми. Для таких углов формулы дирекционных углов имеют вид

α _{i, i +1} = α _{i -1, i} - 180˚ + β _i.                           (88)

  Этап 3. Вычисление и увязывание приращений координат

При известных координатах точки P₁, дирекционных углах всех сторон и их длинах можно, последовательно решая прямую геодезическую задачу, найти координаты всех точек хода. Однако, дело осложняется тем, что в измеренных длинах сторон содержатся погрешности. Это, как и в случае с углами, приведет к неоднозначности решения. Поэтому необходимо предварительно выполнить уравнивание приращений координат.

Представим стороны теодолитного хода векторами (рис.8.4). Известно, что сумма векторов в замкнутом многоуголь­нике, а также суммы их проекций на координатные оси, равны нулю, т.е.

 

 

(89)

 

Вследствие погрешностей в измерен­ных длинах сторон теоретические равенства (89) для вычисленных Δ X _выч = S · cos α и Δ Y _выч = S · cos α выполняться не будут.

 

 

(90)

 

Величины f_X и f_Y называются невязками. Они являются.в основном показателями точности линейных измерений. Образование невязок f_X, f_Y  графически означает незамыкание хода (рис.8.4). Отрезок F = P′₁Pназывается абсолютной линейной невязкой. Очевидно, что

(91)

 

Погрешность линейных измерений принято характеризовать относитель­ной погрешностью, на которую накладывается допуск

 

(92)

 

 

где Р – периметр хода (сумма длин всех сторон).

Если допуск (92) не выполняется, то в линейных измерениях допущена одна или несколько грубых погрешностей, которые необходимо выявить и устранить в результате повторных измерений длин линий. Если до­пуск (92) выполняется, то невязки f_X и f_Y  следует распределить с противоположным знаком между всеми Δ Х и Δ Y пропорционально дли­нам сторон. С учетом введенных поправок приращения координат назы­ваются исправленными или увязанными.

Этап 4. Вычисление координат точек хода Поскольку координаты точки P₁ (Х₁, Y₁) известны, то

X₂ = X₁ + Δ X_{1,2 испр} ;    Y₂ = Y₁ + Δ Y_{1,2 испр} ;

X₃ = X₂ + Δ X_{2,3 испр} ;    Y₃ = Y₂ + Δ Y_{2,3 испр} ;

………………………………………………                                               (93)

X_n = X_n-1 + Δ X_{n -1, n испр} ; Y_n = Y_n-1 + Δ Y_{n -1, n испр} ;

X₁ = X_n + Δ X_{n ,1 испр} ;     Y₁ = Y_n + Δ Y_{n ,1 испр} ;

Вычисления в последнем равенстве (93) выполняют с целью контроля.