Тема 4. Закон убывающей эффективности производства (применение производной)

Этот закон утверждает, что при увеличении одного из основных факторов производства, например, капитальных затрат х, прирост производства начиная с некоторого значения х₀ является убывающей функцией. Иными словами, объем произведенной продукции U как функция от х описывается графиком со сменой выпуклости вниз на выпуклость вверх.

Пример4.1. Пусть зависимость объема произведенной продукции U от капитальных затрат х имеет вид:

U (x) = U ₀ (1+ e ^{- bx + c})^-1,

где b и с — известные положительные числа (они определяются, прежде всего, структурой организации производства и для нашего частного случая b =3, c =5), а U ₀ – предельно возможный объем выпускаемой продукции, для нашего частного случая U ₀ = 350. Необходимо найти значение х₀, при котором начнет снижаться прирост производства.

Решение.

Аналитическое решение задачи в общем виде выглядит следующим образом. Прирост производства определяется первой производной функции U (x):

 .

Скорость изменения прироста определяет ее вторая производная:

Критическая точка находится из условия: U ’’ =0 Þ e ^{- bx + c} – 1 Þ e ^{- bx + c} = 1 Þ - bx + c = 0 Þ x = c / b, т.е. х₀ = с/ b – критическая точка.

Для нашего частного случая b =3, c =5.

Построим таблицу значений аргумента и значений функции. Аргумент х положителен, это капитальные затраты, установим его в интервале от 0 до 3 с шагом 0,1 (определяем опытным путем, после анализа несколько различных вариантов) и отобразим эту зависимость на точечной диаграмме (рис. 18).

Программное вычисление первой производной и нахождение такого значения х, при котором первая производная максимальна (либо минимальна, т.е. имеет экстремум, в этом случае вторая производная равна 0) приведено на рис. 19. Производная максимальна в точке х₀ = 1,66667. Это точка, которая является либо точкой экстремума, либо точкой перегиба. Полученное значение критической точки х₀ = с/ b = 5/3 = 1,66667 совпадает с аналитическим.

Критическая точка находится из условия U ’’ (x)= 0, однако можно обойтись без вычисления второй производной, т.к. мы не вычисляли уравнение первой производной. Мы пойдем другим путем. Получим значения производной на выбранном интервале для ее анализа как отношение приращения функции к приращению аргумента, в качестве х возьмем значения из столбца В, в качестве приращения – значение из ячейки D 4 (рис. 20). Производная не меняет знак в окрестности точки х₀, возрастает до точки х₀=1,6666, далее убывает, значит это точка перегиба.

Рис. 18. График функции и вычисление производной

Рис. 19. Вычисление максимального значения производной

 

Добавим также на график точку перегиба функции х₀ и перпендикуляр к оси 0х. В точке перегиба вогнутость графика производственной функции меняется на выпуклость. До этой точки увеличение капитальных затрат х приводит к интенсивному росту объема продукции U: темп прироста объема продукции (аналог первой производной) возрастает. При х > 1,66667 темп прироста объема выпускаемой продукции снижается, и эффективность увеличения капитальных затрат падает.

Предел функции при х ® + ¥ равен 350 (рис. 21), таким образом, у = U ₀ является горизонтальной асимптотой. Добавим ее на график.

Таким образом, в стратегии капиталовложений оказывается очень важным моментом определение критического объема затрат, сверх которого дополнительные затраты будут приводить все к меньшей отдаче при данной структуре организации производства. Зная этот прогноз, можно пытаться совершенствовать и менять структуру организации производства: "улучшать" показатели b, с и U ₀ в сторону повышения эффективности капиталовложений.

Рис. 20. Табличные значения производной на отрезке

Рис. 21. Предел функции на +¥

 

Тема 5. Встроенные функции (продолжение) Решение систем линейных уравнений (4 часа).