Решение систем линейных уравнений с помощью матричных функций

Система n линейных уравнений с n неизвестными имеет вид:

а₁₁ х₁ + а₁₂ х₂ + … + а_{1 n} х _n = b ₁,

а₂₁ х₁ + а₂₂ х₂ + … + а_{2 n} х _n = b ₂,

………………..

a_{n 1} х₁ + а _{n 2} х₂ + … + а _nn х _n = b_n,

где а _ij и b_i, – коэффициенты при неизвестных и свободные члены. Если коэффициенты при неизвестных представить в виде матрицы

А = , а свободные члены и неизвестные в виде матриц-векторов В = и X = , то в матричном виде система линейных уравнений можно записать как АХ=В. Если обе части этого равенства умножить слева на матрицу А^-1, то равенство не изменится и примет вид: А^-1АХ = А^-1В. Произведение А^-1А даст единичную матрицу, которую можно опустить, таким образом, Х = А^-1В, т.е. для нахождения неизвестного вектора Х необходимо найти матрицу, обратную к А и перемножить ее с В:

Х = А^-1В.

Для решения таких систем используют матричные функции.

Матричные функции

Матричные функции используют для решения систем уравнений размерности n x n, т.е. когда число уравнений в системе равно числу неизвестных:

функция МОПРЕД(массив) возвращает определитель матрицы;

функция МОБР(массив) служит для нахождения обратной матрицы;

функция МУМНОЖ(массив1; массив2) возвращает произведение матриц.

Для нахождения определителя матрицы выделите свободную ячейку, вызовите встроенную функцию МОПРЕД, где в качестве массива укажите диапазон ячеек с исходной матрицей, нажмите ОК. Результат вычисления появится в выделенной ячейке.

Для нахождения обратной матрицы выделите пустой диапазон такого же размера, как и исходная матрица, вызовите функцию МОБР, где в качестве массива укажите диапазон ячеек с исходной матрицей, нажмите сочетание клавиш Shift+Ctrl+Enter. В выделенном диапазоне отобразится обратная матрица.

Нахождение произведения матрицы А на матрицу В возможно, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Для нахождения произведения матриц выделите пустой диапазон такого же размера, как и исходная матрица В, вызовите функцию МУМНОЖ, где в качестве массива1 укажите диапазон ячеек с исходной матрицей А, в качестве массива2 – диапазон ячеек с матрицей В и нажмите сочетание клавиш Shift+Ctrl+Enter. В выделенном диапазоне отобразится результат умножения матриц.

Над диапазонами, также как и над числами, можно производить арифметические операции, только в этом случае завершаться операция должна не нажатием клавиши Enter, а нажатием сочетания клавиш Shift+Ctrl+Enter!

 

Пример 5.3.

Используя матричные функции, решите систему уравнений:

2х₁ – 2х₂ + х₃ = 2

х₁ + 2х₂ + 3х₃ = 4

2х₁ – 4х₂ + 6х₃ = 8

Решение. Для решения задачи на листе Excel введем матрицу А и вектор В (рис. 24). В некоторой пустой ячейке (С6) найдем определитель матрицы А, используя встроенную функцию МОПРЕД.

Рис. 24. Исходные данные задачи и определитель матрицы

Если определитель матрицы отличен от 0, то система имеет решение. В нашем случае определитель равен 40, т.е. система решение имеет. Найдем это решение. Выделим на листе диапазон пустых ячеек размерности 3х3, например, В8: D 10, вызовем встроенную функцию МОБР, где в качестве массива укажем диапазон ячеек В2: D 4, нажмем сочетание клавиш Shift+Ctrl+Enter.

В выделенном диапазоне отобразится обратная матрица. Если Вы не увидели в диапазоне желаемого результата (значение появилось только в одной ячейке, вообще нигде не появилось и др.), нажмите клавишу F2 (в первой ячейке диапазона отобразится =МОБР(B2:D4)), затем Shift+Ctrl+Enter.

Если результат опять Вас не устраивает, значит, Вы не выделили диапазон, равный по размерности обратной матрице!

Для нахождения вектора Х выделим пустой диапазон ячеек размерности 1х3, например, F 8: F 10, вызовем встроенную функцию МУМНОЖ, где в качестве массива1 укажем диапазон ячеек с обратной матрицей В8: D 10, в качестве массива2 – диапазон ячеек F 2: F 4 с вектором В и нажмем сочетание клавиш Shift+Ctrl+Enter. Результат выполнения задания приведен на рисунке 25. В ячейке F9 отображается число 0 в экспоненциальном формате, указывающем на некоторую погрешность вычислений.

Рис. 25. Решение системы линейных уравнений