Прямые и кривые второго порядка на плоскости

Для нахождения экстремумов функции от двух переменных мы не можем, к сожалению, построить на плоскости график, пригодный для анализа. Для функции от двух переменных строится поверхность по табличным данным, где значения х откладываются, например, по вертикали, а значения у – по горизонтали, или наоборот.

Пример1.5. Найти глобальные экстремумы функции f(x, у) = x²−у² на множестве { х>= 0, x²+ у²<=9 }.

Решение. Значения для х и у вводятся в соответствии с областью определения функции, в данном примере это отрезок от 1 до 3 для х, а для у это отрезок от -3 до 3, т.к.положив поочередно х=0 и у=0 получим у²<=9 и x²<=9, при этом на переменную у не наложено ограничение «>=0». В ячейках Н1 и F 3 введем шаги для х и у (рис. 6). Они могут иметь разные значения в зависимости от заданного по условию задачи множества значений. Установим шаг для х равным 0,25, а для у равным 0,5.

Формула для вычисления значений функции будет содержать смешанные ссылки для закрепления имени столбца, откуда берутся значения х, и для закрепления номера строки, откуда берутся значения у: =$G3^2-H$2^2.

 

Рис. 6. Компьютерная модель примера 1.5.

 

Формула копируется сначала вправо, а затем вся выделенная строка копируется вниз. Поверхность строится по всей таблице G 2: T 15. В принципе, можно установить минимальное и максимальное значение функции, проанализировав данные таблицы, однако мы их найдем так же, как и в предыдущих примерах, а именно, с использованием функции Поиск решения. В ячейки А2, А4, А6, В2, В4 и В6 введем любые значение из допустимых значений х и у, но во втором случае для у введем положительное число, а в третьем – отрицательное. В ячейки С2, С4 и С6 введем формулу заданной функции. В ячейки D 2, D 4 и D 6 введем формулы для вычисления x²+ у² для того, чтобы далее использовать их в качестве ограничений при поиске оптимального решения.

Рис. 7. Окно функции Поиск решения

В ячейке С2 будем искать максимум функции, а в ячейках С4 и С6 – минимумы. Окно поиска решения для нахождения одного из минимумов функции приведено на рисунке 7.

Изменяемыми ячейками будут ячейки, содержащие х и у. Найденные с помощью функции Поиск решения экстремумы совпадают с выделенными в таблице минимальными и максимальным значениями функции, равными -9 и 9, и найденными в точках (0;-3), (0;3) и (3;0) соответственно.

 

Пример1.6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x, у) = x²+xу−у²+х на множестве { х ϵ [- 1; 1 ], у ϵ [- 1; 8 ]}.

Решение. Значения х и у вводятся в соответствии с областью определения функции. В данном примере для х – это отрезок от - 1 до 1, а для у – это отрезок от -1 до 8. В ячейках G 1 и E 3 введем шаги для х и у, равные 0,25 и 0,5 соответственно (рис. 8).

 

Рис. 8. Компьютерная модель примера 1.6.

 

Формула для вычисления значений функции будет также содержать смешанные ссылки для закрепления имени столбца, откуда берутся значения х, и для закрепления номера строки, откуда берутся значения у: =$F3^2+G$2*$F3-G$2^2+$F3. Формулу копируем на всю таблицу. Поверхность строится по всей таблице F 2: Y 11. С использованием функции Поиск решения будем искать минимальные и максимальные значения функции на заданных отрезках. В ячейки А2, А4, В2 и В4 введем любые значение из допустимых значений х и у, например, равными 0. В ячейки С2 и С4 введем формулу для заданной функции.

В ячейке С2 будем искать максимум функции, а в ячейке С4 – минимум. Окно поиска решения для нахождения одного из минимумов функции приведено на рисунке 9. Найденные с помощью функции Поиск решения экстремумы равны: f_min = -72 и f_{m ax} = 2,25 в точках (-1;8) и (1;0,5) соответственно.

Рис. 9. Нахождение минимального значения функции

Задания для самостоятельного выполнения

Задание 1.1. Задана неразрывная функция y = х³ – 6,84х + 1,7. Требуется найти ее глобальные экстремумы на отрезке [ -3, 1 ].

 

Задание 1.2. Найти глобальные экстремумы функции f(x) = 6x+e^−6x на отрезке [− 1/2, 1/2 ].

 

Задание 1.3. Найти глобальные экстремумы функции f(x) = x lnx – x ln5 на отрезке [ 1; 5 ].

 

Задание 1.4. Найдите глобальные экстремумы функции f(x) = x³−32x²−18x+27 на отрезке [ −4, 4 ].

 

Задание 1.5. Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = 5cos(x) – cos(5x) на отрезке [− π/4; π/4 ].

 

Задание 1.6. Найти глобальные экстремумы функции f(x) = ln (|cos(x)|) + ln(|sin(x)|) − 2x на отрезке [ 0; π/2 ].

 

Задание 1.7. Найти глобальные экстремумы функции f(x) = |x²+2x−3| + 2 ln(x) на отрезке [ 1/2; 4 ].

 

Задание 1.8. Найдите глобальный экстремум функции f(x) = x⁴+5x²−10x.

Задание 1.9. Найдите глобальный экстремум функции f(x) = x^1/8 · е^/х-2/.

Задание 1.10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x, у) = x²– xу − 2 x + у на множестве { х ϵ [ 0; 2 ], | у | <= x }.

 

Задание 1.11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x, у) = x²+у² − 4х +4у на множестве { у ϵ [ 0; 4 ], | у | >= x }.

 

Задание 1.12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x, у) = √ (1 – x²/9 – у²/4) на множестве { х ϵ [ -3; 3 ], у ϵ [ -2; 2 ]}.

 

Задание 1.13. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x, у) = (x²/18 – у²/8) на множестве { х ϵ [ -3; 3 ], у ϵ [ -2; 2 ]}.

 

Задание 1.14. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x, у) = (x²/18 + у²/8) на множестве { х ϵ [ -2; 2 ], у ϵ [ -3; 3 ]}.

 

Задание 1.15. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x, у) = √ (x² + 4у²/9) на множестве { х ϵ [ -2; 2 ], у ϵ [ -3; 3 ]}.

 

Задание 1.16. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x, у) = x² + у² на множестве { х ϵ [ -5; 5 ], у ϵ [ -9; 9 ]}.

Тема 2. исследование числовых характеристик функции (4 часа)