Случайные события: виды событий, действия над событиями. Свойства действий над событиями. Отношения между событиями.

Случайные события: виды событий, действия над событиями. Свойства действий над событиями. Отношения между событиями.

Случайными событиями мы будем называть любое явление, которое может происходить вокруг нас (или не происходить).

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. Несовместные, т.е. события, которые не могут произойти одновременно.

Теорема: Если события А и В несовместны, то их произведение есть невозможное событие.

Полной группой событий называется совокупность всех возможных результатов опыта.

Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в результате опыта.

Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта.

События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью.

Действия над событиями.

1. Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в том, что произойдет либо событие А, либо событие В, либо, если это возможно, они произойдут одновременно.

2. Произведением А*В событий А и В называется событие, состоящее в том, что события А и В произойдут одновременно.

3. Разностью А\В событий А и В называется событие, состоящее в том, что произойдет та часть события А, которая не входит в В.

4. Событие противоположное к данному. А или дополнение события А.

 

Частота и относительная частота события. Свойства относительной частоты. Вероятность случайного события. Связь между вероятностью и относительной частотой.

Пусть в n опытах некоторое событие А наступило N_a раз. Число N_a – частота события А.

P^*(A) - относительная частота (частота).

Свойства:

1) P^*(A)

2) P^*() = 0

3) P^*(Ω) = 1

4) Если А и В несовместны, то P^*(A+В) = P^*(A)+ P^*(В)

Вероятность события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. И определяется формулой: . Где Р(А) — вероятность события A, m — число благоприятствующих событию A исходов, n — общее число возможных исходов.

Определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности. Определение относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Или вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту – после опыта.

Аксиоматическое определение вероятности.

Вероятностью события А называется числовая функция Р(А), удовлетворяющая след. аксиомам вероятности:

1. Р(А) ≥ 0; неотрицательность

2. Р(Ω) = 1, Ω - достоверное событие;

3. Для любых попарно несовместных событий А₁, А₂…A_n справедливо следующее равенство: Р(A₁+A₂+…A_n)=P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n)

Следствия из аксиом

1. Вероятность невозможного события равна нулю: P(∅) = 0.
2. Для любого события А P() = 1 - P(A).
3. Каково бы ни было случайное событие А, 0 ≤ P(A) ≤ 1.
4. Если событие А влечет за собой событие В, то P(A) ≤ P(B).

5. Р(A₁+A₂+…A_n)=P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n)

6. P(A+В) = P(A)+ P(В)

Классическое определение вероятности.

Вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу, Р (A) = m / n.

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице. Р (A) = m / n = n / n = 1.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю. Р (А) = m / n = 0 / n = 0.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. 0 ≤ Р (А) < 1

Свойство 4. P(A+В) = P(A)+ P(В)

 

 

Геометрическая вероятность.

Геометрические вероятности — вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т. д.).

Вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенствомР = Длина l / Длина L.

Вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством Р = Площадь g / Площадь G.

 

Вероятность суммы событий

Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий.

В частности, если два события А и B — несовместные, то А + В — событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Доказательство: Введем обозначения: n — общее число возможных элементарных исходов испытания; m₁ — число исходов, благоприятствующих событию A; m₂— число исходов, благоприятствующих событию В.Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m₁ + m₂. Следовательно,Р (A + В) = (m₁ + m₂) / n = m₁ / n + m₂ / n.

Приняв во внимание, что m₁ / n = Р (А) и m₂ / n = Р (В), окончательно получим Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

 

 

Формула полной вероятности

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B ₁ ,В ₂ ,..., В_п, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:
Р (A) = Р (B ₁) Р_В1 (А) + P (В ₂) Р_В2 (А) +... +Р (В_п) Р_Вn (А).
Эту формулу называют «формулой полной вероятности».
Доказательство. По условию, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий B ₁ ,В ₂ ,..., В_п. Другими словами, появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий В ₁ А, В ₂ А,..., В_пА, Пользуясь для вычисления вероятности события А теоремой сложения, получим P (A) =P (В ₁ А) +P (В ₂ А) +…+P (В_пА). (*)
Остается вычислить каждое из слагаемых. По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем
Р (В ₁ А) = Р (В ₁) Р_В1 (А); Р (В ₂ А) = Р (В ₂) Р_В2 (А) ;...;Р (В_nА) = Р (В_n) Р_Вn (А).
Подставив правые части этих равенств в соотношение (*), получим формулу полной вероятности
P (A) = Р (В ₁) Р_В1 (А) + Р (В ₂) Р_В2 (А) +…+ Р (В_n) Р_Вn (А).

Формула Байеса

Пусть событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий B ₁ ,В ₂ ,...,В_п, образующих полную группу.

Тогда Р(В₁/А) = , где Р (А) = Р (В ₁) Р_В1 (А) + Р (В ₂) Р_В2 (А) +...+ Р (В_n) Р_Вn (А)

Доказательство: По определению условной вероятности, Р(В_I/A)= =

Распределение Пауссона.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Если вероятность события мала (р 0, 1). В этих случаях (n велико, р мало) прибегают к асимптотической формуле Пуассона.

Произведение nр сохраняет постоянное значение, а именно nр = . Это означает, что среднее число появлений события в различных сериях испытаний, т. е. при различных значениях n, остается неизменным.

Таким образом,
P_n (k) = Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых (n велико) и редких (р мало) событий.

Свойства

1. Функция распределения является неубывающей.
В самом деле, пусть < . Так как вероятность любого события неотрицательна, то . Поэтому из формулы следует, что , т.е. .

2. Значения функции распределения удовлетворяют неравенствам . Это свойство вытекает из того, что F(x) определяется как вероятность. Ясно, что и .

3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a;b), то: 1) F(x)=0 при x ≤a; 2) F(x)=1 при x≥b.

 

Равномерное распределение.

Случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [a,b], если она непрерывна, принимает значения только на отрезке [a,b], а плотность ее распределения постоянна на отрезке [a,b], и равна 0 вне этого отрезка.

Нормальное распределение.

Нормальное распределение (синоним - гауссово распределение) - распределение непрерывной случайной величины с плотностью

Здесь "мю" - математическое ожидание, "сигма" - среднеквадратическое отклонение (корень квадратный из дисперсии). Функция распределения не может быть записана через элементарные функции, поскольку интеграл от плотности распределения "неберущийся". Поэтому её записывают вот так:

Вероятность того, что непрерывная случайная величина окажется каким-либо действительным числом, равна единице, поскольку полагается, что величина может принимать значение только на множестве действительных чисел. Поэтому

График плотности распределения для нормально распределённой случайной величины имеет вид, отдалённо напоминающий колокол:

 

 

Линейная функция регрессии.

Рассмотрим двумерную случайную величину (X, Y), где X и У — зависимые случайные величины. Представим одну из величин как функцию другой. Ограничимся приближенным представлением (точное приближение, вообще говоря, невозможно) величины Y в виде линейной функции величины X:

где α и β — параметры, подлежащие определению.

Теорема. Линейная средняя квадратическая регрессия Y на X имеет вид

где m_x=M(X), m_y=M(Y), σ_x=√D(X), σ_y=√D(Y), r=µ_xy/(σ_xσ_y)— коэффициент корреляции величин X и Y.

Коэффициент β=rσ_y/σ_x называют коэффициентом регрессии Y на X, а прямую

называют прямой среднеквадратической регрессии Y на X.

 

Неравенство Маркова.

Неравенство Чебышева.

Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа ε, не меньше, чем 1 −D[X]ε²

P(|X – M(X)| < ε) ≥ 1 –D(X)ε²

Доказательство. Так как события, состоящие в осуществлении неравенств

P(|X−M(X)| < ε) и P(|X – M(X)| ≥ε) противоположны, то сумма их вероятностей равна единице, т. е.

P(|X – M(X)| < ε) + P(|X – M(X)| ≥ ε) = 1.

Отсюда интересующая нас вероятность

P(|X – M(X)| < ε) = 1 − P(|X – M(X)| > ε).

Таким образом, задача сводится к вычислению вероятности P(|X –M(X)| ≥ ε).

Напишем выражение для дисперсии случайной величины X

D(X) = [x1 – M(x)]²p1 + [x₂ – M(x)]²p₂ +... + [x_n – M(x)]²p_n

Все слагаемые этой суммы неотрицательны. Отбросим те слагаемые, у которых |x_i – M(X)| < ε (для оставшихся слагаемых |x_j – M(X)| ≥ ε), вследствие чего сумма может только уменьшиться. Условимся считать для определенности, что отброшено k первых слагаемых (не нарушая общности, можно считать, что в таблице распределения возможные значения занумерованы именно в таком порядке). Таким образом,

D(X) ≥ [x_k+1 – M(x)]²p_k+1 + [x_k+2 – M(x)]²p_k+2 +... + [x_n – M(x)]²p_n

Обе части неравенства |x_j –M(X)| ≥ ε (j = k+1, k+2,..., n) положительны, поэтому, возведя их в квадрат, получим равносильное неравенство |x_j – M(X)|² ≥ε².Заменяя в оставшейся сумме каждый из множителей

|x_j – M(X)|²числом ε²(при этом неравенство может лишь усилиться), получим

D(X) ≥ ε²(p_k+1 + p_k+2 +... + p_n)

По теореме сложения, сумма вероятностей p_k+1+p_k+2+...+p_n есть вероятность того, что X примет одно, безразлично какое, из значений x_k+1 +x_k+2 +...+x_n, а при любом из них отклонение удовлетворяет неравенству |x_j – M(X)| ≥ ε. Отсюда следует, что сумма p_k+1 + p_k+2 +... + p_n выражает вероятность

P(|X – M(X)| ≥ ε).

Это позволяет переписать неравенство для D(X) так

D(X) ≥ ε²P(|X – M(X)| ≥ ε)

или

P(|X – M(X)|≥ ε) ≤D(X)/ε²

Окончательно получим

P(|X – M(X)| < ε) ≥D(X)/ε²

 

Теорема Чебышева.

Теорема Чебышева. Если — попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С ), то, как бы мало ни было положительное число ε, вероятность неравенства

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

Другими словами, в условиях теоремы

Доказательство. Введем в рассмотрение новую случайную величину — среднее арифметическое случайных величин

Найдем математическое ожидание Х. Пользуясь свойствами математического ожидания (постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), получим

^(1)

Применяя к величине Х неравенство Чебышева, имеем

или, учитывая соотношение (1)

Пользуясь свойствами дисперсии (постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат; дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых), получим

По условию дисперсии всех случайных величин ограничены постоянным числом С, т.е. имеют место неравенства:

поэтому

Итак,

^(2)

Подставляя правую часть (2) в неравенство (1) (отчего последнее может быть лишь усилено), имеем

Отсюда, переходя к пределу при n→∞, получим

Наконец, учитывая, что вероятность не может превышать единицу, окончательно можем написать

Теорема доказана.

Теорема Бернулли.

Теорема Бернулли. Если в каждом из n независимых испытаний вероятность p появления события A постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности p по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

Другими словами, если ε — сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство

Доказательство. Обозначим через X₁ дискретную случайную величину — число появлений события в первом испытании, через X₂ — во втором,..., X_n — в n -м испытании. Ясно, что каждая из величин может принять лишь два значения: 1 (событие A наступило) с вероятностью p и 0 (событие не появилось) с вероятностью .

Можно ли применить к рассматриваемым величинам теорему Чебышева? Можно, если случайные величины попарно независимы и дисперсии их ограничены. Оба условия выполняются Действительно, попарная независимость величин следует из того, что испытания независимы. Дисперсия любой величины равна произведению ; так как , то произведение не превышает 1/4и, следовательно, дисперсии всех величин ограничены, например, числом .

Применяя теорему Чебышева (частный случай) к рассматриваемым величинам, имеем

Приняв во внимание, что математическое ожидание a каждой из величин (т.е. математическое ожидание числа появлений события в одном испытании) равно вероятности p наступления события, получим

Остается показать, что дробь

равна относительной частоте появлений события A в испытаниях. Действительно, каждая из величин при появлении события в соответствующем испытании принимает значение, равное единице; следовательно, сумма равна числу появлений события в испытаниях, а значит,

Учитывая это равенство, окончательно получим

 

 

Случайные события: виды событий, действия над событиями. Свойства действий над событиями. Отношения между событиями.

Случайными событиями мы будем называть любое явление, которое может происходить вокруг нас (или не происходить).

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. Несовместные, т.е. события, которые не могут произойти одновременно.

Теорема: Если события А и В несовместны, то их произведение есть невозможное событие.

Полной группой событий называется совокупность всех возможных результатов опыта.

Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в результате опыта.

Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта.

События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью.

Действия над событиями.

1. Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в том, что произойдет либо событие А, либо событие В, либо, если это возможно, они произойдут одновременно.

2. Произведением А*В событий А и В называется событие, состоящее в том, что события А и В произойдут одновременно.

3. Разностью А\В событий А и В называется событие, состоящее в том, что произойдет та часть события А, которая не входит в В.

4. Событие противоположное к данному. А или дополнение события А.