![]() Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления
|
Двумерная дискретная случайная величина: закон совместного распределения, частные законы распределения компонент. Условные законы распределения компонент. Независимость случайных величин.
Закон распределения дискретной двумерной случайной величины (Х, Y) имеет вид таблицы с двойным входом, задающей перечень возможных значений каждой компоненты и вероятности p (xi, yj), с которыми величина принимает значение (xi, yj):
При этом сумма вероятностей, стоящих во всех клетках таблицы, равна 1. Зная закон распределения двумерной случайной величины, можно найти законы распределения ее составляющих. Действительно, событие Х = х 1 представляется собой сумму несовместных событий (X = x 1, Y = y 1), (X = x 1, Y = y 2),…, (X = x 1, Y = ym), поэтому р (Х = х 1) = p (x 1, y 1) + p (x 1, y 2) +…+ p (x 1, ym) (в правой части находится сумма вероятностей, стоящих в столбце, соответствующем Х = х 1). Так же можно найти вероятности остальных возможных значений Х. Для определения вероятностей возможных значений Y нужно сложить вероятности, стоящие в строке таблицы, соответствующей Y = yj. Условные законы распределения составляющих дискретной двумерной случайной величины. Рассмотрим дискретную двумерную случайную величину и найдем закон распределения составляющей Х при условии, что Y примет определенное значение (например, Y = у 1). Для этого воспользуемся формулой Байеса, считая гипотезами события Х = х 1, Х = х 2,…, Х = хп, а событием А – событие Y = у 1. При такой постановке задачи нам требуется найти условные вероятности гипотез при условии, что А произошло. Следовательно,
Таким же образом можно найти вероятности возможных значений Х при условии, что Y принимает любое другое свое возможное значение: Аналогично находят условные законы распределения составляющей Y:
Случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того какое значение принимает другая случайная величина. Теорема. Для того, чтобы случайные величины Х и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (X, Y) была равна произведению функций распределения составляющих.
Свойства математического ожидания случайной величины 1 свойство. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: M(C) = C. Доказательство. Будем рассматривать постоянную C как дискретную случайную величину, которая имеет одно возможное значение C и принимает его с вероятностью p = 1. Следовательно, M(C) = C · 1 = C.
2 свойство. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(CX) = CM(X). Доказательство. Пусть случайная величина X задана законом распределения вероятностей: X x1 x2... xn p p1 p2... pn Напишем закон распределения случайной величины CX: CX Cx1 Cx2... Cxn p p1 p2... pn Математическое ожидание случайной величины CX: M(CX) = Cx1p1 + Cx2p2 +... + Cxnpn = C(x1p1 + x2p2 +... + xnpn) = CM(X) Итак, М(СХ) = СМ(Х) 3 свойство. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(XY) = M(X)M(Y). Доказательство. Пусть независимые случайные величины X и Y заданы своими законами распределения. X x1 x2 ; Y y1 y2 p g1 g2 p p1 p2 Составим все значения, которые может принимать случайная величина XY. Для этого перемножим все возможные значения X на каждое возможное значение Y. Напишем закон распределения: XY x1y1 x2y1 x1y2 x2y2 p p1g1 p2g1 p1g2 p2g2 Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности: M(XY) = x1y1 · p1g1 + x2y1 · p2g1 + x1y2 · p1g2 + x2y2 · p2g2. или M(XY) = y1g1(x1p1 + x2p2) + y2g2(x1p1 + x2p2) = (x1p1 + x2p2)(y1g1 + y2g2) = M(X)M(Y). 4 свойство. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: M[X + Y ] = M[X] + M[Y ] Доказательство. Пусть случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения X x1 x2 Y y1 y2 p g1 g2 p p1 p2 Составим все возможные значения величины X + Y. Для этого к каждому возможному значению X прибавим каждое возможное значение Y; получим x1 + y1, x1 + y2, x2 + y1, x2 + y2, и обозначим их вероятности соответственно через p11, p12, p21, p22. Математическое ожидание величины X + Y равно M(X + Y) = (x1 + y1)p11 + (x1 + y2)p12+(x2 + y1)p21 + (x2 + y2)p22. Докажем, что p11 + p12 = p1. Событие, состоящее в том, что X примет значение x1, (вероятность этого события равна p1) влечет за собой событие, которое состоит в том, что X + Y примет значение x1 + y1 или x1 + y2. Отсюда и следует, p11 + p12 = p1 Подставляя правые части этих равенств в соотношение для M(X + Y), получим M(X + Y) = (x1p1 + x2p2) + (y1g1 + y2g2) = M(X) + M(Y).
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-06; просмотров: 1186; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.200.117.166 (0.008 с.) |