Тема 6. Прямая и обратная задачи динамики

 

6.1. Три постоянные силы , модули которых удовлетворяют соотношению F ₁ : F ₂ : F ₃ = 1: 2: 3, действуют на точку массы т = 4 кг в одном и том же направлении и сообщают ему ускорение а = 3 м/с². Найти модули этих сил;

F ₁ = … (Н); F ₂ = … (Н); F ₃ = … (Н).

Ответы: 2*4*6

6.2. При выстреле из орудия снаряд вылетает с горизонтальной скоростью 570 м/с. Масса снаряда 6 кг. Как велика сила Р (кН) (1 килоньютон = 10³ Н) среднего давления пороховых газов, если снаряд проходит внутри орудия 2 м?

Р = … (кН) (Результат вычисления округлить до целого числа.)

Ответ: 487

 

6.3. Груз М массы 1,05 кг подвешен к тросу и совершает вместе с тросом колебания согласно уравнению

φ = ּ sin ( ּ t), где φ – угол отклонения троса от вертикали в радианах, t – время в секундах. Определить натяжение троса Т _max в нижнем положении груза (Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8м/с² ; результат вычисления округлить до ближайшего целого числа.)

Т _max = … (Н).

Ответ: 13

6.4. Семь одинаковых грузов по 70 г каждый прикреплены к концам нити перекинутой через блок (см. рис.). Определить натяжение нити при движении грузов. Массой блока пренебречь, трение в блоке отсутствует. Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с². Результат округлить до второго десятичного знака после запятой.

Т = … (Н).

Ответ: 2,35

6.5. С какой силой нужно F (Н) нужно действовать на тело массы т = 5 кг, чтобы оно падало вниз с ускорением а = 15 м/с² ? Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с². F = …

Ответ: 25

6.6. Автомобиль массой 5 тонн трогается с места с ускорением 0,6 м/с². Найти силу (Н) тяги, если коэффициент сопротивления движению равен 0,04. Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с². Сила тяги = … (Н)

Ответ: 5000

6.7. Два одинаковых бруска по 2 кг каждый, связанных невесомой нерастяжимой нитью, движутся вдоль горизонтальной плоскости при действии неравных противоположно направленных горизонтальных сил F ₁ и F ₂; F ₁ = 8 (Н), F ₂ = 6 (Н) (см. рис.). Пренебрегая трением, определить внутреннее усилие S в связывающей бруски нити;

S = … (Н).

Ответ: 7

6.8. Парашютист движется при раскрытом парашюте движется со скоростью v = 2 м/с. Какая минимальная сила сопротивления f воздуха действует на парашютиста и парашют общей массы m = 75 кг при полностью раскрытом парашюте? (Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с².) f = … (Н).

Ответ: 735

 

6.9. Мальчик, скатившись на санках с ледяной горки, проехал по горизонтальной дороге до остановки путь 20 м за 10 сек. Определить коэффициент трения f. (Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с²). f = …

Ответ: 0,04

6.10. Система двух одинаковых грузов, связанных нерастяжимой верёвкой, переброшенной через идеальный блок, движется с ускорением а = 0,45ּ g (см. рис.). Определить коэффициент трения скольжения f между горизонтальной опорной плоскостью и движущимися по ней грузами; f = …

Ответ: 0,1

6.11. Система четырёх одинаковых грузов массы m = 0,7 кг каждый, связанных невесомой нерастяжимой нитью, приводится в движение вдоль горизонтальной плоскости тяжёлой гирей, подвешенной к переброшенному через идеальный блок свободному концу каната. Определить, какова должна быть масса М этой гири при движении грузов с заданным ускорением а = 0,3ּ g (g – ускорение свободного падения), если коэффициент трения скольжения грузов по опорной плоскости равен f = 0,2;

М = … (кг).

Ответ: 2

6.12. Через блок переброшена нить, к концам которой подвешены гири по 300 г каждая (см рис.). Какую вертикальную силу нужно приложить к одной из гирь, чтобы гири стали двигаться с ускорением 50 см/с²?

F = …(Н).

Ответ: 0,3

6.13. Тело массы т = 40 г, брошенное вертикально вверх с начальной скоростью v _o = 30 м/с, достигло высшей точки спустя t = 2,5 с. Найти среднюю силу сопротивления f (Н) воздуха, действовавшую на тело во время движения. (Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с².)

Ответ: 0,088

6.14. Материальная точка массы m = 1 кг движется по окружности радиуса r = 1 м в соответствии с уравнением s = 1,5ּ t ² – 4ּ t (s – значение дуговой координаты по дуге окружности, s – в метрах, t – в секундах). Определить модуль силы | | (Н), действующей на точку в момент времени t = 2 сек. (Результат вычисления округлить до ближайшего целого числа.)

Ответ: 5

6.15. Материальная точка массы m = 1 кг движется по окружности радиуса r = 1 м в соответствии с уравнением s = 1,5ּ t ² – t + 1 (s – значение дуговой координаты по дуге окружности, s – в метрах, t – в секундах). Определить модуль силы | | (Н), действующей на точку в момент времени t = 1 сек.

Ответ: 5

6.16. Материальная точка массы т = 0,5 кг движется по окружности радиуса R = 8 м согласно уравнению s = 2ּ t ² (s – в метрах, t – в секундах). Определить модуль действующей на точку силы равен F (Н) в момент времени t = 2 сек.

Ответ: 2ּ

 

6.17. Жёсткий невесомый стержень длиной l приварен под углом α к вертикальному равномерно вращающемуся валу. К свободному концу стержня прикреплен точечный груз массы m. Установить, при какой угловой скорости ω вращения вала сила, c которой стержень действует на груз, будет направлена вдоль этого стержня?

Ответ:

6.18. Верёвка выдерживает груз массы m ₁ = 120 кг при подъёме его с некоторым ускорением, направленным вверх, и груз массы m ₂ = 480 кг при опускании его с таким же по модулю ускорением. Какова максимальная масса m (кг) груза, который можно поднять на этой верёвке, двигая его с постоянной скоростью?

Ответ: 192

6.19. Материальная точка массой m = 0,5 кг движется в горизонтальной плоскости с ускорением r = (3ּ t ²+ 2ּ t) ּi + (4ּ t ²+ 3ּ t) ּj (м). Определить модуль силы (Н), действующей на неё в плоскости движения.

Ответ: 5

6.20. Материальная точка массой m = 1 кг движется в плоскости Оху согласно уравнениям x = t ³ + t ² + t, y = t ³ – 3 ּt ² – t. Определить модуль равнодействующей сил (Н), приложенных к точке, в момент времени t = 1 сек. (Результат вычисления округлить до целого числа.)

Ответ: 8

6.21. Материальная точка массой т = 2 кг движется по окружности радиуса R = 8 м согласно уравнению s = t ² (s – в метрах, t – в секундах). Определить проекцию равнодействующей сил F _n (Н), приложенных к точке, на главную нормаль к траектории в момент времени t = 2 сек. F _n = … (Н)

Ответ: 4

6.22. Материальная точка массой m = 2 кг движется по горизонтальной прямой в соответствии с уравнением s = ּ t ³ + ּ t ² + t (м). Определить модуль силы F (Н), действующей на точку в направлении её движения в момент времени t = 3 с.

F = … (Н),

Ответ: 8

6.23. Тело массой m = 10 кг, подвешенное на тросе, поднимается вертикально в соответствии с уравнением z = 9,8ּ(– ּ t ³ + ּ t ²) (м). Определить силу натяжения T (Н) троса в момент времени t = 4 сек. (Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с²; результат вычисления округлить до первого знака после запятой.) T = … (Н)

Ответ: 0

6.24. Сила сопротивления f, действующая на раскрытый парашют, пропорциональна квадрату скорости (коэффициент пропорциональности h = 20 Нּс²/м²). Масса парашютиста m = 72 кг. С какой высоты должен спрыгнуть человек без парашюта, чтобы скорость его приземления равнялась скорости приземления парашютиста, прыгающего с большой высоты? (Результат вычисления округлить до первого знака после запятой включительно) h = … (м).

Ответ: 1,8

6.25. Материальная точка массой m = 1,5 кг движется прямолинейно согласно уравнению х = – ּ t ³ + 4ּ t ²+ 3ּ t (м). Определить модуль равнодействующей сил F (Н), приложенных к точке в момент времени t = 8 сек. F = … (Н)

Ответ: 0

6.26. Материальная точка массой m = 5 кг движется по окружности радиуса R = 10 м согласно уравнению s = ln (t) (м). Определить проекцию равнодействующей сил (H), приложенных к точке, на нормаль к траектории в момент времени t = 0,5 с.

Ответ: 2

6.27. Материальная точка массой m = 1 кг движется по окружности радиуса R = 20 м согласно уравнению s = 0,3ּ t ² – 2ּ t (м). Определить модуль равнодействующей сил (H), действующих на точку, в момент времени t = 10 с.

Отметьте правильный ответ.

Ответ: 1

 

6.28. Гиря массы 0,396 кг подвешена к концу нити длины 2 м; вследствие толчка гиря получила горизонтальную скорость 6 м/с. Найти натяжение Т нити непосредственно после толчка. (Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с²; результат округлить до ближайшего целого числа.). Т = … (Н).

Ответ: 11

6.29. Груз М массы 0,265 кг, подвешенный на нити длины 30 см в неподвижной точке О, представляет собой конический маятник, т.е. описывает окружность в горизонтальной плоскости, причём нить составляет с вертикалью угол α = 30^о (см. рис.). Определить натяжение Т нити (ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с²; результат округлить до ближайшего целого числа.)

Т = … (Н).

Ответ: 3

6.30. Автомобиль массы 1000 кг движется по выпуклому мосту со скоростью v = 12 м/с. Радиус кривизны в середине моста ρ = 60 м. Определить силу давления N автомобиля на мост в момент прохождения его через середину моста (ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с²); N = … (Н)

Ответ: 7400

 

6.31. Два тела с массами т ₁= 50 г и т ₂ = 100 г связаны нитью и лежат на гладкой горизонтальной плоскости. С какой силой F (H) можно тянуть первое тело, чтобы нить, способная выдержать силу натяжения Т _max = 5 Н, не оборвалась? (Числовой результат определить до первого знака после запятой включительно.) F = … (Н).

Ответ: 7,5

6.32. Два тела с массами т ₁= 100 г и т ₂ = 50 г связаны нитью и лежат на гладкой горизонтальной плоскости. С какой силой F (H) можно тянуть первое тело, чтобы нить, способная выдержать силу натяжения Т _max = 5 Н, не оборвалась? F = … (Н).

Ответ: 15

6.33. Тело массы 100 г, падая с высоты 9 м, приобрело скорость 12 м/с. Найти среднюю силу (Н) сопротивления воздуха. (Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с².)

Ответ: 0,18

6.34. С высоты 25 м кусок дерева падал в течение 2,5 сек. Какую часть составляет средняя сила сопротивления воздуха от силы тяжести F _сопр/(mg)? (Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с².)

Ответ: 0,20

6.35. Масса поезда без локомотива равна m = 2ּ10⁵ кг. Двигаясь по горизонтальному пути равноускоренно, поезд через Δ t = 60 с после начала движения приобрёл скорость v = 12 м/с. Сила трения равна 0,005 веса поезда. Определить натяжение Т между поездом и локомотивом в период разгона. (Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с².) Т = … (Н).

Ответ: 50 000

 

6.36.

S: Тело массы 50 г, падая с высоты 10 м, приобрело скорость 10 м/с. Найти среднюю силу (Н) сопротивления воздуха. (Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с².) Принять, что при движении самолёта по дуге окружности величина скорости сохраняется равной 240 м/с.

Ответ: 0,25

 

6.37. Маятник отклонён в горизонтальное положение (ОА) и отпущен без начальной скорости. Определить натяжение нити в нижем положении маятника (ОС).

 

Ответ: 3ּ mּg

 

6.38. Сила F сообщает ускорение телу массой m ₁ ускорение а ₁ = 1,0 м/с², телу массой m ₂ ускорение а ₂ = 4,0 м/с². Какое ускорение а ₃ под действием той же силы получат оба тела, если их соединить вместе? а ₃ = …(м/с²).

Ответ: 0,8

6.39. Одинаковые грузы массой 100 г каждый прикреплены к нити, переброшенной через блок. На один из грузов действует вертикально вниз сила 24 мН (миллиньютон) (см. рис.). Какой путь s (см) пройдёт каждый из грузов за 3 с?

 

Ответ: 54

6.40. Тело массой m = 18,4 кг падает по вертикали, сила сопротивления воздуха R = 0,05 ּv ² (Н). (Ускорение свободного падения в вакууме принять равным g = 9,8 м/с².) Определить максимальную скорость падения тела (м/с).

Ответ: 60

6.41. Материальная точка движется по окружности радиуса R = 25 м согласно уравнению s = 0,5ּ t ² (s – в метрах, t – в секундах). Известно, что через промежуток времени t = 5 сек. от начала движения модуль действующей на точку силы равен F = (Н). Определить массу этой точки. m = … (кг).

Ответ: 1

6.42. Материальная точка массы m = 1 кг движется относительно инерциальной системы отсчёта под действием двух постоянных сил: и (Н). Начальная скорость точки равна нулю. Определить пройденный путь за время 1 сек. то начала движения.

Ответ: 2ּ

6.43. Материальная точка массы m = 1 кг движется из состояния покоя под действием силы = (t ² - 3ּ t + 2)ּ вдоль оси О х (F – в ньютонах; t – в секундах). Определить модуль наименьшего ускорения точки; | а _min| =… (м/с²).

Ответ: 0,25

6.44. Груз массой m может скользить без трения по стержню, укреплённому перпендикулярно к оси ОА (см. рис.) центробежной машины. Груз соединяют с осью пружиной с коэффициентом жёсткости с. При какой угловой скорости ω пружина растянется на 50% первоначальной длины?

Ответ:

6.45. С какой наибольшей скоростью может двигаться автомобиль на повороте радиусом закругления R = 100 м, чтобы не «занесло», если коэффициент трения скольжения шин о дорогу k = 0,4? (Ускорение свободного падения в вакууме принять равным g = 10 м/с²; результат вычисления округлить до ближайшего целого числа.)

v = … (м/с).

Ответ: 20

6.46. Люстра массой m = 80 кг подвешена к потолку на металлической цепи, длина которой l = 5 м. Определить высоту h (м), на которую можно отклонить люстру, чтобы при последующих качаниях цепь не оборвалась? Известно, что разрыв цепи наступает при натяжении Т = 1960 Н (Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с².)

h < … (м).

Ответ: 3,75

6.47. Найти период вращения маятника, совершающего круговые движения в горизонтальной плоскости. Длина нити l. Угол, образуемый нитью с вертикалью, α (см. рис.).

Отметьте правильный ответ. (g – ускорение свободного падения.)

Ответ:

6.48. На повороте дороги радиусом R = 75 м равномерно движется автомобиль. Центр тяжести находится на высоте h = 1 м, ширина следа автомобиля а = 1,5 м. Определить скорость v _кр, при которой автомобиль может опрокинуться. В поперечном направлении автомобиль не скользит. (Ускорение свободного падения в вакууме принять равным g = 9,8 м/с²; результат вычисления округлить до ближайшего целого числа.)

v _кр = … (м/с).

Ответ: 23

6.49. Внутри конической поверхности обращается шарик по окружности радиусом R (см. рис.). Угол при вершине конуса 2 α. (g – ускорение свободного падения.) Определить период обращения шарика по окружности.

Отметьте правильный ответ.

 

Ответ:

6.50. Два груза одновременно начинают движение из состояния покоя с высоты h над горизонтальной поверхностью пола, причём груз соскальзывает без трения по плоскости, составляющей угол α = 30^о с горизонтом, а второй свободно падает. Определить отношение времён t ₁/ t ₂ при достижении ими поверхности пола.

t ₁/ t ₂ = …

Ответ: 2

 

6.51. Космонавты, высадившиеся на поверхности Марса, измерили период обращения конического маятника, представляющего собой небольшое тело, прикреплённое к нити и движущееся по окружности в горизонтальной плоскости с постоянной скоростью (см. рис.). Период оказался равным Т = 3,03 сек. Длина нити l = 1 м. Угол создаваемый нитью с вертикалью, α = 30^о. Найдите по этим данным ускорение свободного падения на Марсе g (м/с²).

Ответ: 3,72

 

6.52. Искусственный спутник Земли, обращающийся по круговой орбите, переводится на другую круговую орбиту, радиус которой в 2,56 раза больше радиуса исходной орбиты.

Во сколько раз уменьшается скорость движения спутника по орбите? v ₁/ v ₂ = …

Ответ: 1,6

6.53. Матер. точка массы m = 1 кг движется вдоль горизонтальной оси Ox под действием силы сопротивления, пропорциональной скорости v (F _сопр = kּv, k = 0,2 Нּсек/м). Какое расстояние s пройдёт матер. точка, прежде чем её скорость уменьшится в 2 раза? Начальная скорость точки равна v ₀ = 12 м/с. s = … (м).

Ответ: 30

6.54. Матер. точка массы m = 1 кг движется вдоль горизонтальной оси Ox под действием силы F_х = (1 – x) (Н). Начальная скорость v ₀ = 1 м/с. Начальное положение точки принять за начало отсчёта. Определить уравнение движения матер. точки.

Отметьте правильный ответ.

Ответ: x = sin (t) – cos (t) + 1

6.55. Матер. точка массы m = 1 кг движется вдоль горизонтальной оси Ox под действием силы сопротивления, пропорциональной скорости v (F _сопр = kּv, k = 0,05 Нּсек/м). За какое время t ₁ от начала движения скорость точки уменьшится в 2 раза? Начальная скорость точки равна v ₀ = 12 м/с. (Результат вычисления округлить до целого числа.) Отметьте правильный ответ.

Ответ: 14

6.56. Матер. точка массы m = 1 кг с начальной скоростью v ₀ = 12 м/с движется вдоль горизонтальной оси Ox под действием силы сопротивления, пропорциональной скорости v (F _сопр = kּv, k = 0,2 Нּсек/м). Какое расстояние s пройдёт матер. точка до полной остановки? s = … (м).

Ответ: 60

 

6.57. Матер. точка массы m = 1 кг движется из начала координат вдоль горизонтальной оси Ох, имея начальную скорость v ₀ = 2 м/с и испытывая силу сопротивления движению, пропорциональную квадрату скорости: (Н), где k = 0,1 Нּс/м. Определить время от начала движения t ₁ (сек.), на которое скорость матер. точки уменьшится в два раза. t ₁ = … (сек).

Ответ: 5,0

6.58. Матер. точка массы m = 1 кг движется вдоль горизонтальной оси Ox под действием силы F_х = 3ּ (Н). Начальная скорость точки равна v ₀ = 1 м/с. Определить расстояние s (м), на которое переместится точка за время 2 сек. (Результат вычисления округлить до целого числа.)

Ответ: 47

6.59. Матер. точка массы m движется в горизонтальной плоскости Oxy под действием силы, пропорциональной смещению точки от центра О и направленной к этому центру , где - радиус-вектор точки, c - коэффициент пропорциональности. В начальный момент матер. точка находилась в точке М ₀ с координатами х = х ₀ и у = 0 и ей сообщили начальную скорость ₀, направленную параллельно оси Oy т.е. v _{0 x} = 0, v _{0 y} = v ₀. Найти уравнение траектории матер. точки.

Ответ: + ּ = 1

6.60. Матер. точка массы m движется в горизонтальной плоскости Oxy под действием силы отталкивания от неподвижного центра О, изменяющейся по закону пропорциональной смещению точки от центра О и направленной к этому центру = k ² ּmּ , где - радиус-вектор точки. В начальный момент точка находилась в М ₀ с координатами х = х ₀ и у = 0 и ей сообщили начальную скорость ₀, направленную параллельно оси Oy т.е. v _{0 x} = 0, v _{0 y} = v ₀. Найти уравнение траектории точки.

Ответ: – ּ = 1

6.61. Матер. точка массы m движется с начальной скоростью v ₀ = 1 м/с в среде с сопротивлением. Сила сопротивления пропорциональна кубичному корню скорости матер. точки и по величине равна kּ , k = 0,1 ּm – коэффициент сопротивления. Определить расстояние s, которое пройдёт матер. точка до остановки; s = … (м).

Ответ: 6

6.62. Матер. точка массы m движется с начальной скоростью v ₀ = 1 м/с в среде с сопротивлением. Сила сопротивления пропорциональна кубичному корню скорости матер. точки и по величине равна kּ , k = 0,1 ּm – коэффициент сопротивления. Определить время t ₁, за которое пройдёт матер. точка до остановки; t ₁ = … (сек.).

Ответ: 15

6.63. Два геометрически равных и однородных шара сделаны из различных материалов – 1) из железа и 2) керамики. Плотности материалов соответственно: железа ρ ₁ = 7,874ּ10³ кг/м³, керамики ρ ₂ = 1,960ּ10³ кг/м³. Оба шара падают в воздухе. Сопротивление среды пропорционально квадрату скорости (R = kּv ²). Определить отношение максимальных скоростей шаров. (Результат вычисления округлить до первого знака после запятой включительно.)

v _1max / v _2max = …

Ответ: 2,0