Тема 5. Прямая задача динамики

 

5.1. Материальная точка массы m = 1 кг движется согласно закону

,

где – радиус-вектор точки относительно инерциальной системы отсчёта O xyz (r – в метрах; t – в секундах, F – в ньютонах). Найти модуль действующей на точку силы F ₀ в начальный момент времени t ₀ = 0.

Ответ:

 

5.2. Три постоянные силы , модули которых удовлетворяют соотношению F ₁ : F ₂ : F ₃ = 1: 2: 3, действуют на точку массы т = 4 кг в одном и том же направлении и сообщают ему ускорение а = 3 м/с². Найти модули этих сил;

F ₁ = … (Н); F ₂ = … (Н); F ₃ = … (Н).

Ответы: 2*4*6

5.3. При выстреле из орудия снаряд вылетает с горизонтальной скоростью 570 м/с. Масса снаряда 6 кг. Как велика сила Р (кН) (1 килоньютон = 10³ Н) среднего давления пороховых газов, если снаряд проходит внутри орудия 2 м?

Р = … (кН) (Результат вычисления округлить до целого числа.)

Ответ: 487

 

5.4. Груз М массы 1,05 кг подвешен к тросу и совершает вместе с тросом колебания согласно уравнению

φ = ּ sin ( ּ t), где φ – угол отклонения троса от вертикали в радианах, t – время в секундах. Определить натяжение троса Т _max в нижнем положении груза (Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8м/с² ; результат вычисления округлить до ближайшего целого числа.)

Т _max = … (Н).

Ответ: 13

5.5. Семь одинаковых грузов по 70 г каждый прикреплены к концам нити перекинутой через блок (см. рис.). Определить натяжение нити при движении грузов. Массой блока пренебречь, трение в блоке отсутствует. Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с². Результат округлить до второго десятичного знака после запятой.

Т = … (Н).

Ответ: 2,35

5.6. С какой силой нужно F (Н) нужно действовать на тело массы т = 5 кг, чтобы оно падало вниз с ускорением а = 15 м/с² ? Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с². F = …

Ответ: 25

5.7. Автомобиль массой 5 тонн трогается с места с ускорением 0,6 м/с². Найти силу (Н) тяги, если коэффициент сопротивления движению равен 0,04. Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с². Сила тяги = … (Н)

Ответ: 5000

 

5.8. Два одинаковых бруска по 2 кг каждый, связанных невесомой нерастяжимой нитью, движутся вдоль горизонтальной плоскости при действии неравных противоположно направленных горизонтальных сил F ₁ и F ₂; F ₁ = 8 (Н), F ₂ = 6 (Н) (см. рис.). Пренебрегая трением, определить внутреннее усилие S в связывающей бруски нити;

S = … (Н).

Ответ: 7

5.9. Парашютист движется при раскрытом парашюте движется со скоростью v = 2 м/с. Какая минимальная сила сопротивления f воздуха действует на парашютиста и парашют общей массы m = 75 кг при полностью раскрытом парашюте? (Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с².) f = … (Н).

Ответ: 735

 

5.10. Мальчик, скатившись на санках с ледяной горки, проехал по горизонтальной дороге до остановки путь 20 м за 10 сек. Определить коэффициент трения f. (Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с²). f = …

Ответ: 0,04

5.11. Система двух одинаковых грузов, связанных нерастяжимой верёвкой, переброшенной через идеальный блок, движется с ускорением а = 0,45ּ g (см. рис.). Определить коэффициент трения скольжения f между горизонтальной опорной плоскостью и движущимися по ней грузами; f = …

Ответ: 0,1

5.12. Система четырёх одинаковых грузов массы m = 0,7 кг каждый, связанных невесомой нерастяжимой нитью, приводится в движение вдоль горизонтальной плоскости тяжёлой гирей, подвешенной к переброшенному через идеальный блок свободному концу каната. Определить, какова должна быть масса М этой гири при движении грузов с заданным ускорением а = 0,3ּ g (g – ускорение свободного падения), если коэффициент трения скольжения грузов по опорной плоскости равен f = 0,2;

М = … (кг).

Ответ: 2

5.13. Через блок переброшена нить, к концам которой подвешены гири по 300 г каждая (см рис.). Какую вертикальную силу нужно приложить к одной из гирь, чтобы гири стали двигаться с ускорением 50 см/с²?

F = …(Н).

Ответ: 0,3

5.14. Тело массы т = 40 г, брошенное вертикально вверх с начальной скоростью v _o = 30 м/с, достигло высшей точки спустя t = 2,5 с. Найти среднюю силу сопротивления f (Н) воздуха, действовавшую на тело во время движения. (Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с².)

Ответ: 0,088

5.15. Материальная точка массы m = 1 кг движется по окружности радиуса r = 1 м в соответствии с уравнением s = 1,5ּ t ² – 4ּ t (s – значение дуговой координаты по дуге окружности, s – в метрах, t – в секундах). Определить модуль силы | | (Н), действующей на точку в момент времени t = 2 сек. (Результат вычисления округлить до ближайшего целого числа.)

Ответ: 5

5.16. Материальная точка массы m = 1 кг движется по окружности радиуса r = 1 м в соответствии с уравнением s = 1,5ּ t ² – t + 1 (s – значение дуговой координаты по дуге окружности, s – в метрах, t – в секундах). Определить модуль силы | | (Н), действующей на точку в момент времени t = 1 сек.

Ответ: 5

5.17. Материальная точка массы т = 0,5 кг движется по окружности радиуса R = 8 м согласно уравнению s = 2ּ t ² (s – в метрах, t – в секундах). Определить модуль действующей на точку силы равен F (Н) в момент времени t = 2 сек.

Ответ: 2ּ

 

5.18. Жёсткий невесомый стержень длиной l приварен под углом α к вертикальному равномерно вращающемуся валу. К свободному концу стержня прикреплен точечный груз массы m. Установить, при какой угловой скорости ω вращения вала сила, c которой стержень действует на груз, будет направлена вдоль этого стержня?

Ответ:

5.19. Верёвка выдерживает груз массы m ₁ = 120 кг при подъёме его с некоторым ускорением, направленным вверх, и груз массы m ₂ = 480 кг при опускании его с таким же по модулю ускорением. Какова максимальная масса m (кг) груза, который можно поднять на этой верёвке, двигая его с постоянной скоростью?

Ответ: 192

5.20. Материальная точка массой m = 0,5 кг движется в горизонтальной плоскости с ускорением r = (3ּ t ²+ 2ּ t) ּi + (4ּ t ²+ 3ּ t) ּj (м). Определить модуль силы (Н), действующей на неё в плоскости движения.

Ответ: 5

5.21. Материальная точка массой m = 1 кг движется в плоскости Оху согласно уравнениям x = t ³ + t ² + t, y = t ³ – 3 ּt ² – t. Определить модуль равнодействующей сил (Н), приложенных к точке, в момент времени t = 1 сек. (Результат вычисления округлить до целого числа.)

Ответ: 8

5.22. Материальная точка массой т = 2 кг движется по окружности радиуса R = 8 м согласно уравнению s = t ² (s – в метрах, t – в секундах). Определить проекцию равнодействующей сил F _n (Н), приложенных к точке, на главную нормаль к траектории в момент времени t = 2 сек. F _n = … (Н)

Ответ: 4

5.23. Материальная точка массой m = 2 кг движется по горизонтальной прямой в соответствии с уравнением s = ּ t ³ + ּ t ² + t (м). Определить модуль силы F (Н), действующей на точку в направлении её движения в момент времени t = 3 с.

F = … (Н),

Ответ: 8

5.24. Тело массой m = 10 кг, подвешенное на тросе, поднимается вертикально в соответствии с уравнением z = 9,8ּ(– ּ t ³ + ּ t ²) (м). Определить силу натяжения T (Н) троса в момент времени t = 4 сек. (Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с²; результат вычисления округлить до первого знака после запятой.) T = … (Н)

Ответ: 0

5.25. Сила сопротивления f, действующая на раскрытый парашют, пропорциональна квадрату скорости (коэффициент пропорциональности h = 20 Нּс²/м²). Масса парашютиста m = 72 кг. С какой высоты должен спрыгнуть человек без парашюта, чтобы скорость его приземления равнялась скорости приземления парашютиста, прыгающего с большой высоты? (Результат вычисления округлить до первого знака после запятой включительно) h = … (м).

Ответ: 1,8

5.26. Материальная точка массой m = 1,5 кг движется прямолинейно согласно уравнению х = – ּ t ³ + 4ּ t ²+ 3ּ t (м). Определить модуль равнодействующей сил F (Н), приложенных к точке в момент времени t = 8 сек. F = … (Н)

Ответ: 0

5.27. Материальная точка массой m = 5 кг движется по окружности радиуса R = 10 м согласно уравнению s = ln (t) (м). Определить проекцию равнодействующей сил (H), приложенных к точке, на нормаль к траектории в момент времени t = 0,5 с.

Ответ: 2

5.28. Материальная точка массой m = 1 кг движется по окружности радиуса R = 20 м согласно уравнению s = 0,3ּ t ² – 2ּ t (м). Определить модуль равнодействующей сил (H), действующих на точку, в момент времени t = 10 с.

Отметьте правильный ответ.

Ответ: 1

 

5.29. Гиря массы 0,396 кг подвешена к концу нити длины 2 м; вследствие толчка гиря получила горизонтальную скорость 6 м/с. Найти натяжение Т нити непосредственно после толчка. (Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с²; результат округлить до ближайшего целого числа.). Т = … (Н).

Ответ: 11

5.30. Груз М массы 0,265 кг, подвешенный на нити длины 30 см в неподвижной точке О, представляет собой конический маятник, т.е. описывает окружность в горизонтальной плоскости, причём нить составляет с вертикалью угол α = 30^о (см. рис.). Определить натяжение Т нити (ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с²; результат округлить до ближайшего целого числа.)

Т = … (Н).

Ответ: 3

5.31. Автомобиль массы 1000 кг движется по выпуклому мосту со скоростью v = 12 м/с. Радиус кривизны в середине моста ρ = 60 м. Определить силу давления N автомобиля на мост в момент прохождения его через середину моста (ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с²); N = … (Н)

Ответ: 7400

 

5.32. Два тела с массами т ₁= 50 г и т ₂ = 100 г связаны нитью и лежат на гладкой горизонтальной плоскости. С какой силой F (H) можно тянуть первое тело, чтобы нить, способная выдержать силу натяжения Т _max = 5 Н, не оборвалась? (Числовой результат определить до первого знака после запятой включительно.) F = … (Н).

Ответ: 7,5

5.33. Два тела с массами т ₁= 100 г и т ₂ = 50 г связаны нитью и лежат на гладкой горизонтальной плоскости. С какой силой F (H) можно тянуть первое тело, чтобы нить, способная выдержать силу натяжения Т _max = 5 Н, не оборвалась? F = … (Н).

Ответ: 15

5.34. Тело массы 100 г, падая с высоты 9 м, приобрело скорость 12 м/с. Найти среднюю силу (Н) сопротивления воздуха. (Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с².)

Ответ: 0,18

5.35. С высоты 25 м кусок дерева падал в течение 2,5 сек. Какую часть составляет средняя сила сопротивления воздуха от силы тяжести F _сопр/(mg)? (Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с².)

Ответ: 0,20

5.36. Масса поезда без локомотива равна m = 2ּ10⁵ кг. Двигаясь по горизонтальному пути равноускоренно, поезд через Δ t = 60 с после начала движения приобрёл скорость v = 12 м/с. Сила трения равна 0,005 веса поезда. Определить натяжение Т между поездом и локомотивом в период разгона. (Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с².) Т = … (Н).

Ответ: 50 000

 

5.37.

S: Тело массы 50 г, падая с высоты 10 м, приобрело скорость 10 м/с. Найти среднюю силу (Н) сопротивления воздуха. (Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с².) Принять, что при движении самолёта по дуге окружности величина скорости сохраняется равной 240 м/с.

Ответ: 0,25

 

5.38. Маятник отклонён в горизонтальное положение (ОА) и отпущен без начальной скорости. Определить натяжение нити в нижем положении маятника (ОС).

 

Ответ: 3ּ mּg

 

5.39. Воздушный шар массы М опускается с постоянной скоростью. Какой массы т балласт нужно выбросить, чтобы шар поднимался с той же скоростью? Подъёмная сила воздушного шара Q известна. (Ускорение свободного падения g)

Ответ: m = 2ּ(M – Q/g)