Тема 7. Общие теоремы динамики (теорема об изменении количества движения; теорема об изменении кинетической энергии; вычисление работы; потенциальное силовое поле. Работа потенциальной силы).

Колебательное движение

7.1. Пружину с жёсткостью 140 Н/м сжали до длины 0,1 м и отпустили. Работа силы упругости при восстановлении пружины равно … Дж, если длина недеформированной пружины равна 0,2 м.

Ответ: 0,7

 

7.2. Материальная точка массой m = 0,5 кг брошена с поверхности Земли с начальной скоростью v ₀= 25 м/с и в положении М имеет скорость v = 15 м/с. Определить работу силы тяжести (Дж) при перемещении точки из положения М ₀ в положение М.

Ответ: – 100

7.3. Груз М весом Р = 20 Н, прикреплённый к невесомой нити длиной l = ОМ = 90 см, начинает двигаться из состояния покоя. Определить: 1) работу силы тяжести А (Р) на перемещении М₁М₂; 2) скорость v груза М, когда он займёт положение М₂. Принять g = 10 м/с².

1) = … (Дж), 2) = … (м/с).

Ответы: 9*3

7.4. Груз М весом Р подвешен на невесомой нерастяжимой нити длиной l. В начальный момент времени груз находился в положении М₁.

Определить: 1) работу силы тяжести А (Р) на перемещении груза М₁М₂; 2) какую минимальную скорость v ₁ необходимо сообщить грузу, чтобы он достиг положения М₂. (Начальный угол наклона стержня 30^о)

Ответы: – 0,5*1

7.5. Матер. точка массы m = 2 кг перемещается в вертикальной плоскости Оху. Определить работу А _ОМ (Дж) силы тяжести Р = mּg при перемещении матер. точки по дуге OM полуокружности радиуса R = 10 м (см. рис.). Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с². Результат вычисления округлить до ближайшего целого числа. А _ОМ = … (Дж)

Ответ: – 392

7.6. Матер. точка массы m = 2 кг перемещается в вертикальной плоскости Оху. Определить работу А _ОМ (Дж) силы тяжести Р = mּg при перемещении матер. точки по дуге OM окружности радиуса R = 10 м (см. рис.). Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с². Результат вычисления округлить до ближайшего целого числа. А _ОМ = … (Дж)

Ответ: – 196

7.7. Матер. точка массы m движется в горизонтальной плоскости Oxy под действием силы, пропорциональной смещению точки от точки от центра О и направленной к этому центру , где - радиус-вектор точки, c = 20 Н/см. Вычислить работу А ₁₂ силы при перемещении матер. точки из точки М ₁ в точку М ₂ (см. рис.); а = 8 см.

А ₁₂ = … (Дж).

Ответ: 6,4

7.8. Матер. точка массы m движется в горизонтальной плоскости Oxy под действием силы, пропорциональной смещению точки от точки от центра О и направленной к этому центру , где - радиус-вектор точки, c = 20 Н/см. Вычислить работу А ₁₂ силы при перемещении матер. точки из точки М ₁ в точку М ₂ (см. рис.); а = 10 см.

А ₁₂ = … (Дж).

Ответ: – 10

7.9. Матер. точка массы m движется в горизонтальной плоскости Oxy под действием силы притяжения = – / r ³ к силовому центру О, убывающей по величине обратно пропорционально квадрату расстояния от точки до силового центра О, | F |= k / r ², k = 200 (Н/м²). Вычислить работу А ₁₂ силы при перемещении матер. точки из точки М ₁ в точку М ₂ (см. рис.); M ₂ М ₁ = a = 30 м, ОМ ₂ = b = 40 м.

А ₁₂ = … (Дж).

Ответ: 1

7.10. Матер. точка массы m движется по окружности радиуса r в поле центральной силы. Сила притяжения, убывающая обратно пропорционально квадрату расстояния, по модулю равна F (r) = , где k = const. (Центр окружности совпадает с силовым центром.) Определить значение скорости v точки при следующих числовых данных параметров: k = 16 м³/сек² и r = 4 м. v = … (м/с).

Ответ: 2

 

7.11. Матер. точка массы m движется по окружности радиуса r в поле центральной силы притяжения. Сила притяжения по модулю равна F (r) = c ּ r, где c = const. (Центр окружности совпадает с силовым центром.) Определить значение скорости v точки при следующих числовых данных параметров: m = 0,25 (кг), c = 100 (Н/м) и r = 0,2 (м).

v = … (м/с).

Ответ: 4

7.12. Матер. точка массы m движется по окружности радиуса r под действием центральной силы притяжения , постоянной по модулю (| | = F = const), действующей в области 0,01 м < r < 2 м. (Центр окружности совпадает с силовым центром.) Определить значение скорости v (м/с) точки при следующих числовых данных параметров: F = 1 (Н), m = 0,25 (кг), r = 1 (м). v = … (м/с).

Ответ: 2.

 

7.13. Матер. точка массы m движется в горизонтальной плоскости Oxy под действием силы, пропорциональной смещению точки от точки от центра О и направленной к этому центру , где - радиус-вектор точки, c = 80 Н/см. Вычислить работу А ₁₂ силы при перемещении матер. точки из точки М в точку О (см. рис.); а = 9 см, b = 12 см. А _МО = … (Дж).

Ответ: 90

7.14. Матер. точка массы m движется в горизонтальной плоскости Oxy под действием силы, пропорциональной смещению точки от точки от центра О и направленной к этому центру , где - радиус-вектор точки, c = 80 Н/см. Вычислить работу А ₁₂ силы при перемещении матер. точки из точки О в точку М (см. рис.); а = 9 см, b = 12 см. А _ОМ = … (Дж).

Ответ: – 90

7.15. Матер. точка массы m движется в горизонтальной плоскости Oxy под действием силы, пропорциональной смещению точки от точки от центра О и направленной к этому центру , где - радиус-вектор точки, c = 80 Н/см. Вычислить работу А ₁₂ силы при перемещении матер. точки из точки М ₁ в точку М ₂ (см. рис.); ОМ₁ = b = 12 см, OM₂ = a = 9 см. (Числовой результат определить с точностью до первого знака после запятой включительно.) А ₁₂ = … (Дж).

Ответ: 25,2

7.16. Искусственный спутник Земли движется по круговой орбите на высоте от поверхности Земли h, равной половине радиуса Земли (h = 0,5ּ R). Первая космическая скорость равна v _косм1 = 7910 (м/с). Определить скорость v (м/с) спутника на обозначенной орбите. v = … (м/с).

Ответ: 6459

7.17. На рис. изображена штанга, которая может вращаться вокруг горизонтальной оси шарнира О. Плечи штанги l ₁ = 30 см и l ₂ = 70 см. На концах штанги закреплены точечные грузы с массами m ₁ = 8 кг и m ₂ = 4 кг. Штанга совершает поворот вокруг оси О в вертикальной плоскости на угол 90^о по часовой стрелке.

Вычислить работу силы тяжести при этом повороте. Массой штанги пренебречь. Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с².

А = … (Дж). (Результат вычисления округлить до первого знака после запятой включительно.)

Ответ: 3,9

7.18. На рис. изображена штанга, которая может вращаться вокруг горизонтальной оси шарнира О. Плечи штанги l ₁ = 40 см и l ₂ = 70 см. На концах штанги закреплены точечные грузы с массами m ₁ = 7 кг и m ₂ = 4 кг. Штанга совершает поворот вокруг оси О в вертикальной плоскости на угол 90^о против часовой стрелке.

Вычислить работу силы тяжести при этом повороте. Массой штанги пренебречь. Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с². А = … (Дж).

Ответ: 0

7.19. Груз массой m прикреплён к правому концу пружины, левый конец которой закреплён в стене. В начальном положении пружина не была деформирована. Ось x направлена вдоль оси пружины, причём начало отсчёта находится в правом конце не деформированной пружины.

Проекция силы упругости пружины равна F_x = – cּx – b ּ x ³, где x – удлинение пружины; параметры c и b имеют следующие значения: c = 1000 Н/м, b = 4 Н/м³. Вычислить работу упругой силы пружины при перемещении груза на расстояние s = 1 м. А = … (Дж)

Ответ: – 501

7.20 На двух одинаковых лёгких спиральных пружинках подвешены две гири, отношение масс которых m ₁/ m ₂ = 3. Гири получили толчки в вертикальном направлении и колеблются так, что амплитуда колебаний первого груза А ₁ в 2 раза больше амплитуды колебаний А ₂ второго груза. Как относится энергии их колебаний Е ₁/ Е ₂ ? Е ₁/ Е ₂ = …

Ответ: 4

7.21. Дифференциальное уравнение движения материальной точки имеет вид

4ּ d ² x/dt ² + 12ּ dx/dt + c ּ x = 0.

Определить максимальное значение коэффициента жёсткости с пружины, при котором движение будет апериодическим; с = …

Отметьте правильный ответ.

Ответ: 9

7.22. Дифференциальное уравнение движения материальной точки имеет вид

d ² x/dt ²+100ּ x = 15ּ sin 5 ּt.

Определить амплитуду вынужденных колебаний А _вынужд; (результат вычисления округлить с точностью до первого знака после запятой); А _вынужд = ….

Ответ: 0,2

 

7.23. Тело массой m = 0,1 кг движется прямолинейно по закону x = 2ּ sin (5 ּt) (м) под действием силы F. Определить наибольшее значение этой силы;

| F | = …(H).

Ответ: 5

 

7.24. Дифференциальное уравнение движения материальной точки имеет вид

2ּ d ² x/dt ² + b ּ dx/dt + 2ּ x = 0.

Определить минимальное значение b _min точки, при котором движение будет апериодическим: b _min = …

Ответ: 4

7.25. Дифференциальное уравнение движения материальной точки имеет вид

d ² x/dt ²+ 6ּ dx/dt + 25ּ x = 0.

Определить условный период Т затухающих колебаний. Т = … (сек).

Ответ: 2 π ּ0,25

7.26. Дифференциальное уравнение движения материальной точки имеет вид

m ּ d ² x/dt ²+2ּ dx/dt +5ּ x = 0.

Определить максимальное значение массы m _max точки, при котором движение будет апериодическим: m _max = … (Результат вычисления определить с точностью до первого знака после запятой);

Ответ: 0,2

7.27. Дифференциальное уравнение движения материальной точки имеет вид

d ² x/dt ²+8ּ dx/dt +25ּ x = 0.

Определить, каким будет движение: равномерным, равноускоренным, колебательным или апериодическим.

Отметьте правильный ответ.

-: Равномерное

-: Равноускоренное

+: Колебательное

-: Апериодическое

 

7.28. Дифференциальное уравнение движения материальной точки имеет вид

2ּ d ² x/dt ²+8ּ dx/dt +7ּ x = 0.

Определить, каким будет движение: равномерным, равноускоренным, колебательным или апериодическим.

Отметьте правильный ответ.

-: Равномерное

-: Равноускоренное

-: Колебательное

+: Апериодическое

7.29. Груз массой m = 0,2 кг подвешен к пружине, коэффициентом жёсткости которой с = 20 Н/м, и выведен из состояния равновесия. Сила сопротивления движению R = - 4 ּv (Н).

Определить, каким будет движение: равномерным, колебательным или апериодическим.

Отметьте правильный ответ.

-: Равномерное

-: Равнозамедленное

-: Колебательное

+: Апериодическое

 

7.30. Дифференциальное уравнение движения материальной точки имеет вид

7ּ d ² x/dt ² + 28ּ dx/dt + c ּ x = 0.

Определить наибольшее значение коэффициента жёсткости с пружины, при котором движение будет апериодическим; c = …

Ответ: 28.

7.3I. Дифференциальное уравнение движения материальной точки имеет вид

d ² x/dt ² + b ּ dx/dt + 100ּ x = 0.

Определить минимальное значение b _min точки, при котором движение будет апериодическим; b _min = …

Ответ: 20

7.32. Маятник представляет собой шарнирно соединённую со штативом лёгкую жёсткую спицу с закреплёнными на ней двумя небольшими по размерам грузами массы m каждый (см. рис.). Расстояния между точкой крепления О и верхним грузом и между грузами равны 0,5ּ l. Определить период колебаний.

(g – ускорение свободного падения).

Ответ: Т = 2 ּπּ 0,91 ּ

7.33. Тело массы m = 0,4 кг совершает колебания на пружине так, что наибольшее значение скорости v _макс = 120 см/сек, наибольшее отклонение от положения равновесия x _макс = 4 см Определить коэффициент жёсткости c (Н/м) пружины.

 

Ответ: 360

7.34. Через неподвижный блок с массой m ₁ = 200 г перекинута нить, к концу которой подвешен груз массы m ₂ = 390 г. Другой конец нити привязан к пружинке с закреплённым нижним концом (см. рис.). Коэффициент жёсткости пружины c = 100 (Н/м). Вычислить период колебаний груза Т (сек.). Нить не может скользить по поверхности блока; блок однородный цилиндр; трение в оси блока отсутствует.

Ответ: 0,44

7.35. Груз, подвешенный к пружине, при медленном его опускании вызвал удлинение её на Δ l = 6 см. Определить период Т (сек.) собственных колебаний пружинного маятника. (g = 9,8 м/с²)

Ответ: 0,49

7.36. Человек массы m = 60 кг переходит с носа на корму лодки. На какое расстояние по величине | s |переместится лодка длины l = 4 м, если её масса M = 140 кг?

| s | = … (м).

Ответ: 1,2

7.37. Колесо радиуса R = 0,5 м, массы m = 10 кг и моментом инерции относительно оси вращения J = 1,5 кгּм² катится без скольжения по горизонтальной прямой под действием приложенной к нему силы F в центре масс С колеса горизонтально, F = 8 Н. Определить ускорение a _C (м/с²) центра масс C колеса. a _C = …

Ответ: 0,5

7.38. Шкив 1 массы М = 10 кг и радиуса R = 0,3 м, вращаясь с угловой скоростью ω = 4,0 рад/с, поднимает груз 2 массы m = 15 кг. Определить модуль количества движения | Q | механизма;

| Q | = … (кгּм/с).

Ответ: 18

7.39. Масса каждого из тёх звеньев шарнирного параллелограмма ОАВС (ОА, АВ, СВ)равна 2 кг. Длина кривошипа ОА равна 0,5 м. Кривошип ОА вращается равномерно с угловой скоростью ω = 5 рад/с.

Определить модуль количества движения | Q | механизма; | Q | = … (кгּм/с).

Ответ: 10

 

7.44. Цилиндр 1 вращается с угловой скоростью ω = 20 рад/с. Его момент инерции относительно оси вращения Ј = 10 кгּм², радиус r = 0,4 м. Груз 2 имеет массу m ₂ = 2 кг.

Определить модуль количества движения | Q | механизма;

| Q | = … (кгּм/с).

Ответ: 16

7.45. В кривошипно-шатунном механизме ОАВ, расположенном в горизонтальной плоскости, кривошип ОА и шатун АВ имеют каждый массу m = 2 кг, а ползун В имеет массу m /2 = 1 кг. Длина кривошипа OA l = 0,5 м, длина шатуна AB 2ּ l = 1,0 м. Угловая скорость кривошипа равна ω = 6 рад/с.

Определить модуль количества движения | Q | механизма в тот момент, когда угол φ = π /2;

| Q | = … (кгּм/с).

Ответ: 2

7.46. В кривошипно-шатунном механизме ОАВ, расположенном в горизонтальной плоскости, кривошип ОА и шатун АВ имеют каждый массу m = 2 кг и длину l = 0,5 м, а ползун В имеет массу m /2 = 1 кг. Угловая скорость кривошипа равна ω = 6 рад/с.

Определить модуль количества движения | Q | механизма в тот момент, когда угол α = 0;

| Q | = … (кгּм/с).

Ответ: 6

 

7.47. Сплошной однородный цилиндр 1 массы m ₁ = 10 кг и радиуса r = 0,5 м вращается с угловой скоростью ω = 10 + 2ּ t (рад/сек). Груз 2 имеет массу m ₂ = 20 кг.

Определить модуль главного вектора внешних сил

| F ^(e) | = … (Н), действующих на тело 2.

 

 

Ответ: 20

7.47. Поезд массы m = 600 тонн после прекращения тяги тепловоза останавливается под действием силы трения F _тр = 0,2 МН (мега-ньютон) через время t = 45 сек. С какой скоростью v шёл поезд до момента прекращения тяги тепловоза? v = …(м/с)

Ответ: 15

 

7.48. Масса платформы с орудием и боеприпасами составляет M = 20 тонн. С этой платформы, движущейся со скоростью u = 2,5 м/с, производится выстрел из орудия. Снаряд массы m = 25 кг вылетает из ствола орудия со скоростью v = 800 м/с (относительно орудия). Найти скорость платформы u ₁ (м/с) непосредственно после выстрела, если направления движения платформы и выстрела совпадают.

Ответ: 1,5

7.49. Масса платформы с орудием и боеприпасами составляет M = 20 тонн. С этой платформы, движущейся со скоростью u = 2,5 м/с, производится выстрел из орудия. Снаряд массы m = 25 кг вылетает из ствола орудия со скоростью v = 800 м/с (относительно орудия). Найти скорость платформы u ₁ (м/с) непосредственно после выстрела, если направления движения платформы и выстрела противоположны.

Ответ: 3,5

7.50. Ядро, летевшее со скоростью v = 200 м/с, разорвалось на два осколка с массами m ₁ = 10 кг и m ₂ = 5 кг. Скорость первого осколка v ₁ = 250 м/с и направлена так же, как и скорость ядра до разрыва. Найти скорость v ₂ второго (меньшего) осколка; v ₂ = … (м/с).

Ответ: 100

7.51. Кривошипно-ползунный механизм прикреплён к станине массы M, установленной на гладком горизонтальном фундаменте. Масса ползуна B механизма равна m, масса станины M = 4ּ m. Длины звеньев OA и AB: OA = l, AB = 2ּ l, их массами пренебречь. Кривошип вращается с постоянной угловой скоростью ω и при t = 0 угол φ = 0 и в этот момент скорость станины равна нулю. Определить максимальное значение v _max скорости станины.

Ответ: 0,20 ּωּl

7.52. Орудие, имеющее массу ствола М = 400 кг, стреляет в горизонтальном направлении. Масса снаряда m = 4 кг, его начальная скорость v = 500 м/с. При выстреле ствол откатывается на расстояние s = 40 см. Найти среднюю силу торможения F (кН), возникающую в механизме, тормозящем ствол.

Ответ: 12,5

7.53. Тело массы M = 990 г лежит на горизонтальной поверхности. В него попадает пуля массы m = 10 г и застревает в нём. Скорость пули v = 600 м/с и направлена горизонтально. Какой путь s (м) пройдет тело до остановки? Коэффициент трения между телом и поверхностью k = 0,1. (g = 10 м/с²)

Ответ: 18

 

7.54. Стержень представляет собой шарнирно соединённую со штативом лёгкую жёсткую спицу с закреплёнными на ней двумя небольшими по размерам грузами массы m каждый (см. рис.); расстояния между точкой крепления О и верхним грузом и между грузами равны l. Первоначально стержень был отклонён в верхнее вертикальное положение, а затем лёгким толчком был выведен из этого положения.(g – ускорение свободного падения).

Определить угловую скорость ω стержня в момент прохождения им нижнего положения.

Ответ: 1,55 ּ

7.55. Масса каждого из тёх звеньев шарнирного параллелограмма ОАВС (ОА, АВ, СВ)равна m = 2 кг. Длина кривошипа ОА равна 0,6 м. Кривошип ОА вращается равномерно с угловой скоростью ω = 10 рад/с.

Момент инерции стержня ОА относительно шарнира О (или стержня СВ относительно шарнира С) равен

J = (1/3)ּ m ּ(ОА)² = (1/3)ּ m ּ(CB)².

Определить кинетическую энергию T механизма. T = … (Дж)

Ответ: 60

7.56. Цилиндр 1 вращается с угловой скоростью ω = 10 рад/с. Его момент инерции относительно оси вращения Ј = 2 кгּм², радиус r = 0,5 м. Груз 2 имеет массу m ₂ = 10 кг.

Определить кинетическую энергию T механизма;

T = … (Дж)

Ответ: 225

7.57. К концу троса, намотанного на барабан, прикреплён груз 1 массы m ₁. К барабану ворота 2 радиуса r и массы m ₂ приложен постоянный вращающий момент M. Барабан однородный диск.

m ₁ = m, m ₂ = (2/9)ּ m.

Определить ускорение тела 1.

Ответ: 0,90 ּ

7.58. Дано: m ₁, колесо массы m ₂ – однородный цилиндр, причем m ₂ = 8 ּm ₁. Пренебрегая массой блока и каната, также проскальзыванием колеса и силой трения, определить ускорение груза 1.

Ответ: 0,25 ּg

7.59. Дано: груз массы m ₁, колесо массы m ₂ – однородный цилиндр, причем m ₂ = ּm ₁. Пренебрегая массой блока и каната, также проскальзыванием колеса и силой трения в блоке, определить ускорение груза 1.

Ответ: 0,30 ּg

7.60. Дано: масса груза m ₁, угол α, каток массы m ₂ – однородный цилиндр, причем m ₂ = 1,6 ּm ₁. Пренебрегая массой блока и каната, также проскальзыванием катка и силой трения в блоке, определить ускорение груза 1.

Ответ: 0,50 ּgּsinα

 

“Нулевой” вариант заданий экзаменационных тестов ЦКТ Механике; 2013/2014 учебный год

С т а т и к а

 

Тема 8. Основные понятия, аксиомы и основная теорема статики.