Описание установки и метода Клемана и Дезорма.

Установка состоит из стеклянного баллона Б, поршневого насоса Н, водяного манометра М, клапана-крана К рис. 1. Роль клапана-крана на некоторых установках может выполнять резиновая трубка.

Если при помощи насоса накачать в баллон некоторое количество воздуха, то его давление и температура повысятся. Вследствие теплообмена с окружающей средой температура воздуха в баллоне через некоторое время сравняется с температурой окружающей среды. Давление p₁, установившееся в баллоне, больше атмосферного на величину, определяемую разностью уровней h₁ жидкости в коленах манометра (рис. 1). p и h измеряются в мм водяного столба.

 

p₁ = p_атм + h₁.

Если обозначить через m массу воздуха в баллоне при атмосферном давлении, то при давлении p₁ воздух займет меньший объем, чем объем сосуда. Обозначим этот объем через V₁. Тогда состояние воздуха массой m внутри баллона будет характеризоваться параметрами p₁, V₁, T₁= T_комн.

На рис. 2 данному сoстоянию соответствует точка A.

Если открыть на короткое время кран К, то воздух в баллоне расширится. Давление внутри баллона в конце расширения сравняется с атмосферным (обозначим его через p₂ = p_атм, объем рассматриваемой массы воздуха равен объему сосуда V₂. Так как процесс быстрого расширения воздуха можно считать адиабатическим, то температура газа T₂ станет ниже комнатной.

Следовательно, в конце адиабатического расширения (точка B на рис. 2) параметры газа будут p₂, V₂, T₂.

Применяя к этому состоянию уравнение Пуассона, получим:

 

 

Охладившийся при расширении воздух в баллоне через некоторое время, вследствие теплообмена, нагреется до комнатной температуры (процесс нагревания является изохорическим). Поэтому давление воздуха возрастет до некоторой величины p₃. Это давление будет больше атмосферного на величину, определяемую разностью уровней жидкости в коленах манометра h₂. Параметры этого состояния (точка C на рис. 2):

 

p₃, V₃, T₃= T_комн, p₃ = p₂ + h₂.

 

На графике рис. 2 показаны процессы перехода газа из одного состояния в другое. Линия AB является адиабатой, BC – изохорой, AC – изотермой.

Так как переход газа из состояния A в состояние B происходит адиабатически, то он подчиняется уравнению Пуассона ( ), которое в данном случае удобно записать в форме

 

 

Дальнейший переход из состояния B в состояние C может быть охарактеризован уравнением Гей-Люссака (изохорический процесс):

 

 

Исключив из уравнений (6) и (7) температуру и учтя, что T₁= T₃, получим

 

 

Подставляя в (8) значения давлений p₁ и p₃, выраженные через давление p₂ и разность столбов жидкости в манометре (p₁ = p₂ + h₁, p₃ = p₂ + h₂), получим

 

 

В условиях эксперимента h₁/p₂и h₂/p₂ значительно меньше единицы, поэтому можно ограничиться лишь двумя первыми членами биномов Ньютона, что дает

 

 

Отсюда можно получить расчетную формулу для коэффициента Пуассона:

 

 

Порядок выполнения работы.

 

1. Проверить, нет ли утечки газа из баллона. Для этого с помощью поршневого насоса медленно нагнетают в баллон воздух. За повышением давления воздуха в баллоне наблюдают по разности уровней в коленах манометра. Так как при нагнетании воздуха температура его несколько повысится, следует подождать 2-3 минуты, пока установится тепловое равновесие с окружающей средой. После этого, если показания манометра не изменяются (нет утечки воздуха), записывают значение h₁, соответствующее исходному состоянию (A).

2. Открыть клапан-кран (К), соединяя воздух в баллоне с атмосферой. Как только выровняется давление воздух внутри баллона с атмосферным (прекратится шипение воздуха), клапан-кран быстро закрыть, или при отсутствии клапана-крана пережать резиновую трубку.

Предполагается, что этот процесс соответствует адиабате АВ (рис. 2). Давление воздуха в баллоне понизится до атмосферного, а газ охладится. Однако, в результате теплообмена с окружающей средой через 2-3 минуты после закрытия клапана-крана газ изохорически перейдет в состояние C. Давление воздуха в баллоне возрастет и появится разность уровней h₂в коленах манометра. Указанный эксперимент повторить 5-6 раз. Результаты измерений h₁ и h₂ записать в табл. 1.

3. По формуле (9) вычислить для каждого опыта.

4. Вычислить абсолютную и относительную погрешность по формуле:

 

 

Таблица 1

 

Номер опыта	h1i	h2i

 

 

5. Записать конечный результат в виде:

 

 

6. Рассчитать теоретически, считая воздух двухатомным газом. Сравнить экспериментальный результат с теоретическим. Объяснить расхождение результатов.

 

Контрольные вопросы

1. Что называют удельной теплоемкостью и молярной теплоемкостью вещества? Какая связь между ними?

2. Теплоемкость – это функция состояния или функция процесса?

3. Чему равны молярные теплоемкости идеальных газов при изопроцессах?

4. Почему ? Каков физический смысл универсальной газовой постоянной R?

5. Какое практическое значение имеет соотношение .

6. Какой процесс называется адиабатическим и каким уравнением он описывается?

7. Какова связь между параметрами, характеризующими состояние газа при адиабатическом процессе?

8. Изобразите график процессов, происходящих в данной работе, в координатах p и V и назовите эти процессы. Изобразите графики известных вам процессов в координатах p и Т, Т и V.

9. От каких параметров зависит внутренняя энергия идеального газа?

10. Как формулируется первое начало термодинамики и как оно записывается аналитически? Как записать его для различных изопроцессов?

11. Выведите расчетную формулу для вычисления .

12. Почему необходимо выждать некоторое время после того, как накачают воздух в баллон?

13. Почему после выхода воздуха из баллона и перекрытия клапана-крана возникающая разность уровней в коленах манометра зависит от скорости (времени) расширения газа?

14. Каковы отличия между реальным и идеальным газами?

 

Библиографический список

1. Курс физики: Учебник для вузов: в 2-х т. Т. 2 / Под ред. В. Н. Лозовского. – СПб.: Лань, 2006. – Гл. 5.1 § 5.2 – 5.4 Гл. 5.2 § 5.17 – 5.19.

2. Савельев, И.В. Курс общей физики в 3-х т. Т.1 / И.В. Савельев. – СПб.:Лань, 2005. – § 82 – 86.

3. Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2004. – § 50 – 56.

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 18

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ АДИАБАТЫ ВОЗДУХА ПО СКОРОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗВУКА

 

Цель работы: определить показатель адиабаты воздуха по скорости распространения звука в воздухе.

Оборудование: металлическая труба, микрофон, осциллограф, элетродинамический громкоговоритель (динамик), генератор электрических колебаний звуковой частоты.

 

Общие сведения

 

В воздухе, как и во всякой газообразной среде, могут распространяться только продольные волны. Поэтому звуковая волна в воздухе представляет собой чередование сжатий и разрежений. При сжатии увеличивается давление воздуха и, следовательно, возрастает его упругость. При разрeжении упругость воздуха уменьшается. Соответственно, при сжатии воздух нагревается, а при разрежении охлаждается. Эти изменения температуры приводят к добавочному изменению упругости воздуха (возрастание и уменьшение соответственно).

Такие изменения температуры, вызывающие добавочное изменение упругости воздуха, возникают лишь тогда, когда сжатия и разрежение воздуха быстро сменяют друг друга, т.е. когда соседние участки воздуха не успевают обмениваться теплотой и процесс сжатия и разрежения воздуха близок к адиабатическому. Лаплас впервые доказал, что сжатия и разрежения в звуковой волне в воздухе происходят адиабатически и скорость звука в воздухе увеличивается благодаря изменениям температуры, производимым самой звуковой волной. Эти изменения температуры невелики и не влияют на среднюю температуру воздуха.

Определим скорость распространения звука в воздухе, считая его сплошной однородной упругой средой, плотность которой равна ρ. В этой среде мысленно выделим некоторый цилиндрический объем с площадью поперечного сечения S.

Пусть кратковременный импульс силы F (на рис. 1 показан стрелками), равномерно распределенной по сечению S, вызывает смещение вправо частиц среды (воздуха) в узком слое, прилегающему к этому сечению. Вследствие инертности, соседний к нему слой окажется деформированным и в нем возникнут упругие силы, стремящиеся остановить частицы первого слоя и привести в движение частицы второго слоя. В итоге действие упругих сил приведет к исчезновению деформации сжатия в этом слое и к ее возникновению в следующем слое. Таким образом, импульс деформации сжатия передается от слоя к слою с некоторой скоростью , отличной от скорости смещающихся частиц воздуха. Пусть в начале деформация сжатия, охватывает слой воздуха толщиной dx, а средняя плотность среды в нем возрастает до .
Частицы воздуха не перемещаются от слоя к слою вместе с распространяющейся деформацией. Вместе с деформацией от слоя к слою передается уплотнение воздуха:

 

 

Этому уплотнению соответствует масса:

 

 

и импульс:

 

 

где

 

 

скорость распространения импульса деформации сжатия.

Можно полагать, что такой импульс будет соответствовать уплотнению во втором и последующих слоях воздуха (среда однородная). Приравняем этот импульс к импульсу внешней силы:

 

 

где dt – промежуток времени, в течение которого деформация сжатия охватывает слой dx.

Изменение давления при деформации:

 

 

Отсюда скорость распространения звуковой волны:

 

 

T. е. скорость распространения звука определяется отношением изменения давления к изменению плотности в любой, сплошной, однородной и упругой среде.

В дифференциальной форме:

 

 

При адиабатическом процессе объем и давление газа связаны уравнением Пуассона:

 

 

где

 

 

отношение теплоемкости газа при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме. Поскольку плотность газа обратно пропорциональна его объему, то:

 

 

Дифференцируя это выражение, получим

 

 

Отсюда:

 

 

Следовательно:

 

 

Это формула Лапласа.

Хотя в последнюю формулу входит давление p, скорость звука от давления не зависит, т.к. изменение давления пропорционально изменению плотности воздуха. Скорость звука в воздухе зависит от температуры. Установим эту зависимость, воспользовавшись формулой Клапейрона-Менделеева для одного моля газа (воздуха):

 

Здесь – объём одного моля газа. Из этой формулы:

 

 

Следовательно,

 

 

т.к.

 

 

Здесь – объём одного моля газа, m – молярная масса воздуха.

Из этой формулы:

 

 

 

Формула (10) является расчетной. Чтобы вычислить по этой формуле, необходимо вначале определить скорость звука в воздухе.

Для определения скорости звука в воздухе в этой работе используется метод стоячей волны.

Процесс распространения колебаний в упругой среде называется волной. Расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебания, называется длиной волны. Длина волны связана с периодом колебания частиц T и скоростью распространения волны соотношением:

 

 

где = 1/T – частота колебания частиц среды.

Если две волны одинаковой частоты и амплитуды распространяются навстречу друг другу, то в результате их наложения при определенных условиях может возникнуть стоячая волна. В среде, где установились стоячие волны, колебания частиц, происходят с различной амплитудой. В определенных точках среды амплитуда колебания равна нулю, эти точки называются узлами; в других точках амплитуда равна сумме амплитуд складываемых колебаний, такие точки называются пучностями. Расстояние между двумя соседними узлами (или пучностями) равно l/2, где l – длина бегущей волны (рис. 2). Стоячая волна может образоваться при наложении падающей и отраженной волн. При этом если отражение происходит от среды во много раз более плотной, чем среда, в которой распространяется волна, то в месте отражения смещение частиц равно нулю, то есть образуется узел. Если волна отражается от среды менее плотной, то из-за слабого задерживающего действия частиц второй среды на границе возникают колебания с удвоенной амплитудой, то есть образуется пучность. В том случае, когда плотности сред мало отличаются друг от друга, наблюдается частичное отражение волн от границы раздела двух сред.

Рассмотрим стоячие волны, которые образуются в трубе с воздухом длиной l, закрытой с двух сторон (рис. 2а). Через небольшое отверстие в одном конце трубы при помощи динамика возбудим колебания звуковой частоты. Тогда в воздухе внутри трубы распространится звуковая волна, которая отразится от другого закрытого конца и побежит обратно. Казалось бы, что должна возникнуть стоячая волна при любой частоте колебаний. Однако, в трубе, закрытой с двух сторон, на концах должны образовываться узлы.

Это условие выполняется, если в трубе укладывается половина длины бегущей волны: l = l/2 (рис. 2б). Здесь амплитуды смещения частиц воздуха отложены по вертикали. Сплошной линией изображена бегущая волна, пунктиром – отраженная. В трубе возможна и такая стоячая волна, где имеется и еще один узел, при этом укладываются две половины длины волны: l = 2l/2 (рис. 2в). Следующая стоячая волна возникает, когда длина бегущей волны удовлетворяет условию l = 3λ/2. Таким образом, в трубе, закрытой с двух сторон, стоячая волна образуется в тех случаях, когда на длине трубы укладывается целое число половин длин волн:

 

 

где k = 1, 2, 3 ... . Выразив l из (12) и подставив в формулу , получим

 

 

Полученная формула выражает собственные частоты колебаний воздушного столба в трубе длиной l, где k = 1 соответствует основному тону, k = 2, 3, … – обертонам. В общем случае колебание столба воздуха может быть представлено как наложение собственных колебаний.

 

Описание установки

 

Общий вид установки показан на рис. 3. На конце металлической трубы 1 жестко закреплен микрофон 2. Вдоль трубы при помощи стержня 3 может свободно перемещаться электродинамический громкоговоритель 4. От генератора электрические колебания звуковой частоты подаются на динамик. Динамик возбуждает колебания воздуха определенной частоты.

Звуковая волна, дойдя до микрофона, отражается от него (как от стенки). Сигнал от микрофона подается на осциллограф 6 для визуального наблюдения амплитуды звуковых колебаний воздушного столба в трубе.

Если с помощью генератора волн предельной частоты возбудить колебания воздуха в трубе, то при совпадении частоты генератора с одной из собственных частот воздушного столба наступает резонанс – в трубе установится стоячая волна. Это обнаруживается по увеличению громкости звука и максимальной амплитуде сигнала на экране осциллографа. Поскольку на закрытых концах трубы образуются узлы, а расстояние между соседними узлами равно l/2 (рис. 2), то усиление звука будет возникать всякий раз, как длина воздушного столба изменится на l/2. Следовательно, если при изменении столба воздуха на величину наблюдалось n усилений звука, то

 

 

Откуда

 

 

Скорость звука . Тогда, с учетом (14), получим конечную формулу для расчета скорости звука

 

 

Измерив в ходе опыта расстояния l₁ и l₂ при помощи линейки, закрепленной на трубе, и зная частоту n звукового генератора, по формуле (15) можно найти скорость звука в воздухе.

Порядок выполнения работы

 

1. Подключить динамик к генератору электрических колебаний звуковой частоты, а микрофон – к осциллографу. Включить генератор и осциллограф в сеть. Частоту генератора задавать примерно 2-4 кГц.

2. При помощи стержня приблизить динамик вплотную к микрофону.

3. Медленно выдвигая стержень, по шкале, имеющейся на трубе, замерить длину воздушного столба l₁, соответствующую какому-либо максимуму звучания и максимальному значению амплитуды сигнала на экране осциллографа. Этот максимум принять за нулевой.

Увеличивая далее расстояние между динамиком и микрофоном, считая последующие максимумы, взять отсчет длинны столба для некоторого n-го максимума (n брать порядка 4-6). Опыт повторить пять раз. Результаты записать в табл. 1.

4. По формуле (14) вычислить длину волны, а по (15) – скорость звука в воздухе. Найти среднее значение скорости .

5. Среднее значение скорости, найденное по формуле (15), подставить в выражение (13) и вычислить .

 

 

Таблица 1

 

= ..., Гц
i	l1i, м	l1i, м	n	li, м	i, м/с	, м/с

 

Контрольные вопросы

1. Что называется волной?

2. Какие волны называются продольными и какие поперечными?

3. От чего зависит скорость распространения продольных и поперечных волн?

4. Написать и пояснить уравнение плоской бегущей волны.

5. Вывести уравнение стоячей волны.

6. Какие точки называются узлами, а какие пучностями?

7. В каких случаях в месте отражения получается узел, а в каких пучность?

8. Объяснить явление резонанса в воздушной трубе, закрытой с двух сторон.

9. Дать определение адиабатическому процессу. Привести пример.

10.Что такое постоянная адиабаты и какова ее связь со степенями свободы молекул.

11. Найти работу газа при адиабатическом процессе.

12. Вывести уравнения Лапласа.

13. Вывести связь между постоянной адиабаты и скоростью распространения звука в воздухе.

Библиографический список

1. Курс физики: Учебник для вузов: в 2-х т. Т. 1 / Под ред. В. Н. Лозовского. – СПб.: Лань, 2006. – Гл. 3.5 § 3.15, 3.18. Т.2 Гл. 5.1 § 5.2 – 5.4 Гл. 5.2 § 5.17 – 5.19

2. Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: Высш. шк., 1999. – § 29.1 – 29.4.

3. Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2004. – § 140, 141, 153 – 158.

4. Савельев, И.В. Курс общей физики в 3-х т. Т.1 / И.В. Савельев. – СПб.: Лань, 2005. – § 82 – 83, 86 – 88.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 19