Прямоугольная система координат и радиус-вектор.

Если в пространстве выбрана прямоугольная система координат, (рис. 1.4), то координатами точки называются координаты радиус-вектора этой точки.

z   M 0 y   x Рис. 1.4

Если вектор имеет координаты x, y, z, то координатами точки М будут числа x, y, z, что записывается в виде М (x,y,z). Если даны две точки , то и

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1.1. Построить вектор , если известны векторы и .

Решение. Из одного начала строим векторы (рис. 1.5) и . Далее строим параллелограмм со стороной АВ и диагональю АС (рис. 1.6). Тогда по правилу параллелограмма .

С D C

А В A B

Рис. 1.5 Рис. 1.6

Задача 1.2. Векторы и взаимно перпендикулярны, причем Определить и .

Решение. Так как , то параллелограмм, построенный на этих векторах, будет прямоугольником ABCD (рис. 1.7) и D C

или . Из прямоугольного треугольника

АВС имеем или А В

Рис. 1.7

 

Так как модуль вектора есть величина неотрицательная, то .

Ответ. .

Задача 1.3. Векторы и образуют угол , причем . Определить и .

Решение. Векторы и приводим к общему D C

началу и строим параллелограмм ABCD

(рис. 1.8). По условию задачи ; АВ

тогда . Рис. 1.8

Вспомним, что углом между векторами и называется наименьший из двух углов между векторами, приведенными к общему началу, т.е. . По правилу параллелограмма . Из имеем

или

.

Аналогично из имеем

или

Ответ:

 

Задача 1.4. В параллелепипеде (рис. 1.9) заданы векторы, совпадающие с его ребрами: Построить векторы

и .

Решение.

1) Для построения вектора по правилу многоугольника рассмотрим ломаную из векторов : , где . Вектор замыкающий построенную ломаную , будет искомым вектором (рис. 1.9).

2) Вектор будет замыкающим для ломанной ABCM (рис. 1.10), где

Рис. 1.9 Рис. 1.10

3) Для определения вначале строим (по правилу параллелограмма), затем находим разность следовательно, .

Ответ. 1) , 2) , 3) .

 

Задача 1.5. Найти единичный вектор, коллинеарный данному вектору .

Решение. Искомый вектор , так как . Следовательно, имеем два решения.

Ответ. .

Задача 1.6. Векторы и служат сторонами D C

параллелограмма ABCD. Выразить через и M

векторы , где М – точка пересечения А В

диагоналей (рис. 1.11) параллелограмма. Рис. 1.11

Решение. По правилу сложения , используя определение произведения вектора на число, имеем , но . Следовательно, . Аналогично

 

Задача 1.7. В треугольнике ABC проведены медианы AD, BE, CF. Доказать равенство (Вспомним, что нуль-вектор – это вектор, модуль которого равен нулю, а направление не определено).

Решение. Рассмотрим векторы (рис. 1.12). Очевидно, что . Векторы выразим через , , , откуда

С D Е   А F B   Рис. 1.12

 

Задача 1.8. Найти зависимость между векторами и , если

Решение. Так как , то существует число такое, что . Следовательно,

Ответ. .

 

Задача 1.9. Векторы и зависимы с коэффициентами 4, –3, т.е. . Показать, что они коллинеарны.

Решение. .

 

Задача 1.10. Векторы линейно зависимы с коэффициентами 4, 6, –2, т.е. . Показать, что они компланарны.

Решение. Из следует, что . Следовательно, совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах и параллельны одной плоскости, а т.к. то тоже параллельны одной плоскости (компланарны).

 

Задача 1.11. Даны три некомпланарных вектора . Доказать, что векторы , компланарны.

Решение. По условию задачи следует доказать, что существует линейная комбинация векторов такая, что и . Рассмотрим . Используя свойства сложения векторов и умножения вектора на число, последнее равенство запишем в виде:

.

Так как по условию задачи векторы независимы, то их линейная комбинация равна нулю только при нулевых коэффициентах, следовательно,

Откуда имеем , где – произвольная постоянная, отличная от нуля. Таким образом, получим , где .

Задача 1.12. В ромбе ABCD , (рис. 1.13). Разложить по векторам и векторы и .

Решение.

.

D   A K C     B   Рис. 1.13

D   Q C A M B   Рис. 1.14

 

Задача 1.13. В треугольной пирамиде ABCD (рис. 1.14), DM – медиана грани DBC. Найти разложение вектора по векторам

Решение. где – половина диагонали параллелограмма, построенного на векторах и . Следовательно, . Таким образом,

Ответ.

 

Задача 1.14. В задаче 1.13 точка Q (рис. 1.14) – точка пересечения медиан грани BCD. Найти координаты вектора в базисе

Решение. Для определения координат вектора разложим его по направлению векторов

Следовательно, координаты в базисе есть . Символически это записывается так:

 

Задача 1.15. Известно разложение векторов и по базису . Найти в данном базисе координаты вектора

Решение. Имеем откуда и Искомый вектор =

Ответ.

 

Задача 1.16. Проверить коллинеарность векторов и

Решение. Так как координаты векторов пропорциональны, то . Из сравнения координат и следует, что следовательно,

Задача 1.17. В треугольнике с вершинами в точках определить расстояние от вершины С до точки пересечения медиан треугольника (точка М на рис. 1.15).

А N M B C Рис. 1.15

Решение. Пусть N – середина стороны AB, тогда Следовательно, искомое расстояние равно модулю вектора:

,

так как

то

.

Ответ.

Все формулы, необходимые для самостоятельного решения задач, приведены в таблице 1, в конце главы.

 

 

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

 

1. По данным векторам и построить каждый из следующих векторов:

1) + ; 2) – ; 3) – ; 4) – – .

2. Векторы и образуют угол , причём и . Определить и .

Ответ. .

3. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы имели место следующие соотношения:

1) , 2) , 3) .

Ответ. 1) Векторы взаимно перпендикулярны.

2) Угол между векторами должен быть острым.

3) Угол между векторами должен быть тупым.

4. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы вектор + делил пополам угол между и .

Ответ. .

5. По данным векторам и построить каждый из следующих векторов:

1) 3 ; 2) ; 3) ; 4) .

6. В параллелепипеде заданы векторы, совпадающие с его рёбрами Построить каждый из следующих векторов:

1) , 2) .

7. Даны два вектора и . Определить проекции на координатные оси следующих векторов:

1) + ; 2) - ; 3) 2 ; 4) ; 5) 2 +3 ; 6) .

Ответ. 1) 2) 3) 4) 5) 6) .

8. Определить при каких a, b векторы и коллинеарны.

Ответ. a =4, b =–1.

9. Принимая в качестве базиса векторы и , совпадающие со сторонами треугольника ABC, определить разложение векторов, приложенных вершинах треугольника и совпадающих с его медианами.

Ответ: , , где M,N,P – середины сторон треугольника АВС.

10. Даны точки А (3,–1,2) и В (–1,2,1). Найти координаты векторов и .

Ответ. , .

11. Проверить коллинеарность векторов и . Установить, какой из них длиннее и во сколько раз, как они направлены: в одну или в противоположные стороны.

Ответ. длиннее в три раза, и направлены в противоположные стороны.

12. Разложить вектор по трём некомпланарным векторам: .

Ответ. .

13. Доказать, что для любых заданных векторов векторы , , компланарны.

14. В тетраэдре OABC медиана AL грани ABC делится точкой М в отношении . Найти координаты вектора в базисе из рёбер .

Ответ. .

15. В тетраэдре ABCD, DM – медиана грани BCD и Q – центр масс этой грани. Найти координаты векторов и в базисе .

Ответ. , .

16. Заданы векторы и . Разложить вектор по базису векторов .

Ответ. .

17. Показать, что тройка векторов , , образует базис в множестве всех векторов пространства. Найти координаты вектора в базисе .

Ответ. .

18. Дан вектор . Найти , если , , .

Ответ. или .