Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Векторное произведение векторов
Основные теоретические сведения Определение. Векторным произведение вектора на вектор называется такой вектор , который удовлетворяет следующим трем условиям: 1. и , т.е. вектор перпендикулярен плоскости, в которой можно расположить векторы и ; 2. т.е. длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и ; 3. упорядоченная тройка векторов – правая, т.е. если привести векторы к общему началу и смотреть с конца вектора , то кратчайший поворот от к должен быть виден против часовой стрелки (рис. в табл.1). Векторное произведение обозначают или . Из определения векторного произведения следует, например, что при , т.е. необходимым и достаточным условием равенства нулю векторного произведения является коллинеарность векторов. Алгебраические свойства векторного произведения 1) ; 2) ; 3) .
Если векторы и заданы своими координатами в ортонормированном базисе (в декартовой системе координат) , то векторное произведение в том же базисе вычисляется так: , . Векторное произведение векторов широко используется в геометрии, механике, физике, теории поля и т.д.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 3.1. Дано: ; и . Вычислить: 1. ; 2. ; 3. . Решение. 1. По определению . Ответ. . 2. Используя свойства векторного произведения, преобразуем произведение . Следовательно, . Ответ. . 3. Аналогично . Ответ. . Задача 3.2. Дано: , и . Вычислить . Решение. По определению скалярного произведения . По условию , следовательно, . Тогда . Таким образом, . Ответ. . Задача 3.3. Какому условию должны удовлетворять ненулевые векторы и , чтобы векторы и были коллинеарны? Решение. Если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю, т.е. . Следовательно, по свойствам векторного произведения векторы и коллинеарны (сонаправлены или противонаправлены). Замечание. К такому же выводу можно прийти, если вспомнить, что сумма и разность двух векторов – это векторы, совпадающие с диагоналями параллелограмма, построенного на исходных векторах. Ответ. .
Задача 3.4. Упростить выражения: 1. ; 2. ; 3. . Решение. 1. , т.к. вектор совпадает по определению с вектором , а с вектором . Ответ. . 2. . Ответ. . 3. . Здесь мы воспользовались свойством скалярного квадрата вектора.
Ответ. 3.
Задача 3.5. Дано: . Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах и . Решение. Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на тех же векторах. Следовательно: , , . Ответ. .
Задача 3.6. Дано: , . Найти координаты векторов: 1. ; 2. . Решение. Способ 1. , тогда . Ответ. . 2. . Тогда . Ответ. . Способ 2. Можно, воспользовавшись свойствами векторного произведения, сначала преобразовать искомое произведение (как мы это делали в задача 3.3 и 3.4): 1. . 2. Этот пункт решается аналогично.
Задача 3.7. В треугольнике с вершинами , и найти . Решение. Из определения векторного произведения имеем (рис. 1.18). С другой стороны, . Следовательно, , .
Рис. 1.18 Аналогично , ; , . Таким образом, . Ответ. 5.
Задача 3.8. Сила приложена к точке . Определить момент этой силы относительно точки . Решение. Если вектор изображает силу, приложенную к какой-либо точке А, а вектор имеет начало в точке О и конец в точке А, то вектор представляет собой момент силы относительно точки О. Таким образом, нам необходимо вычислить . Ответ. . Задача 3.9. Найти координаты вектора , если известно, что он перпендикулярен векторам и , образует с ортом тупой угол и . Решение. По условию , : . Вектор , , причем , т.к. вектор так же, как и вектор , образует с ортом тупой угол (проекция вектора на направление орта равна отрицательному числу -12). Следовательно, . Итак, . Ответ. . Задача 3.10. Найти площадь параллелограмма, диагонали которого и . Угол между диагоналями . Решение. По свойствам параллелограмма, известно: , а . Тогда по условиям задачи , . Складывая и вычитая полученные уравнения, будем иметь , . Найдем векторное произведение, используя его свойства. . Площадь параллелограмма: . Ответ. . Задача 3.11. Даны векторы и , приложенные к общей точке. Найти орт биссектрисы угла между векторами и . Решение. Найдем длины векторов и : и . Биссектриса совпадает с диагональю ромба, поэтому найдем орты векторов и , и сложим их: . . Длина вектора: . Орт вектора : . Ответ: . Задача 3.12. Вектор перпендикулярный к оси и вектору , образует острый угол с осью . Зная, что . Найти его координаты.
Решение. Способ 1: Пусть . по условию, т.к. , т.к. – острый угол; , т.е. . Составим систему уравнений и решим ее. , , , , , , не подходит, т.к. по условию. Итак, . Способ 2. Используем векторное произведение. , , , . , вычислим вектор : . Получили , по условию . , подходит , т.к. по условию. Итак, . Ответ: .
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Векторы и образуют угол . Зная, что вычислить . Ответ. 15. 2. Даны , . Вычислить . Ответ. 16. 3. Векторы и взаимно перпендикулярны. Зная, что , вычислить 1) , 2) . Ответ. 1) 24, 2) 60. 4. Векторы и образуют угол . Зная, что , вычислить 1) , 2) , 3) . Ответ. 1) 3, 2) 27, 3) 300. 5. Найти орт , перпендикулярный векторам и . Ответ. . 6. Вычислить площадь треугольника с вершинами , и . Ответ. 14 кв. ед. 7. Сила приложена к точке . Найти момент этой силы относительно начала координат. Указание: если – сила, прилаженная к точке М, то момент этой силы относительно точки А равен векторному произведению векторов и . Ответ. . 8. Дана сила и точки ее приложения . Найти момент этой силы относительно точки и углы, составляемые им с координатными осями. Ответ. ; , , . 9. Даны векторы и . Найти векторное произведение . Ответ. . 10. Дан треугольник с вершинами , и . Найти длину его высоты, проведенной из вершины С. Ответ. 10.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-22; просмотров: 376; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.210.236.0 (0.078 с.) |