Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Смешанное произведение векторов ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5
Основные теоретические сведения Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов называют число (векторно-скалярное произведение). Свойства смешанного произведения: 1. . Это свойство позволяет ввести для смешанного произведения обозначение . 2. Циклическая перестановка векторов не меняет величины смешанного произведения, т.е. 3. где V – объем параллелепипеда, построенного на векторах , а – объем пирамиды, построенной на векторах . 4. Для того чтобы векторы были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю. Замечание. Из определения смешанного произведения следует, что смешанное произведение равно нулю, если среди сомножителей хотя бы два вектора коллинеарны. Если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе : , то их смешанное произведение вычисляется в виде . 5. Если – тройка векторов называется правой, – левой. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 4.1. Вычислить смешанное произведение векторов . Решение. Способ 1. или Способ 2. Ответ. –2
Задача 4.2. Упростить выражение: Решение. Ответ. 3.
Задача 4.3. Векторы образуют правую тройку, взаимно перпендикулярны и Вычислить . Решение. по определению скалярного произведения векторов и . Из определения векторного произведения векторов и следует, что . Следовательно, угол между векторами и равен нулю и косинус этого угла равен 1. Тогда Ответ. 24.
Задача 4.4. Дано: и . Вычислить . Решение. . Ответ. –7. Замечание. Векторы образуют левую тройку.
Задача 4.5. Установить, образуют ли векторы и базис в множестве всех векторов. Решение. Смешанное произведение векторов оказалось равным нулю, следовательно, эти вектора компланарны, а значит, базисом в множестве всех векторов они быть не могут. Ответ. Не образуют.
Задача 4.6. Доказать тождество . Решение. Все слагаемые – смешанные произведения; те из слагаемых, в которых два вектора совпадают, равны нулю. Задача 4.7. Доказать, что если , причем хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то векторы – компланарны. Решение. Пусть . Умножим обе части данного равенства скалярно на вектор . Получим – компланарны. Что и требовалось доказать.
Задача 4.8. Вычислить объем тетраэдра OABC, если . Решение. Объем тетраэдра равен шестой части объема параллелепипеда, следовательно: Ответ.
Задача 4.9. В тетраэдре с вершинами в точках A (1,1,1) B (2,0,2), C (2,2,2) и D вычислить высоту .
Ответ. . Задача 4.10. Доказать, что четыре точки A (1,2,–1), B (0,1,5), C (–1,2,1) и D (2,1,3) лежат в одной плоскости. Решение. Достаточно убедиться в том, что, например, векторы и компланарны: Что и требовалось доказать.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1.Определить, какой является тройка (правой или левой), если 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . Ответ. 1) правая; 2) левая; 3) левая; 4) правая; 5) векторы коллинеарны; 6) левая. 2. Вектор перпендикулярен к векторам и , угол между ними равен . Зная, что , вычислить . Ответ. . 3. Доказать, что . В каком случае здесь может иметь место знак равенства? Ответ. В том случае, когда векторы , и взаимно перпендикулярны. 4. Доказать тождество , где l и m– какие угодно числа. 5. Показать, что четырехугольник с вершинами , , и есть квадрат. 6. Установить, компланарны ли векторы , если , , . Ответ. Да. 7. Установить, лежат ли в одной плоскости точки , , и . Ответ. Да. 8. В тетраэдре с вершинами , , и найти площадь грани АВСD и длину высоты, проведенной к этой грани. Ответ. кв. ед.; . 9. Объем тетраэдра , три его вершины находятся в точках , , . Найти координаты четвертой вершины , если известно, что она лежит на оси Оу. Ответ. , . 10. Объем тетраэдра равен 2. Вершины лежат в т. , и . Найти коэффициенты вершины , если известно, что она лежит на оси абсцисс и тройка векторов , , – левая. Найти высоту тетраэдра, опущенную из вершины . Ответ. ; .
Таблица 1
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-22; просмотров: 2263; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.204.42.89 (0.014 с.) |