Модель экономического роста Солоу

После работ А. Смита, Д. Рикардо, Т. Мальтуса сформировалась классическая модель экономического роста, которая под давлением критики сменилась неоклассической моделью, чья последующая критика приводит в 1986-1988 годах к формированию эндогенных моделей (П. Ромер, Р. Лукас, С. Ребело и др.) долгосрочный экономический рост формируется уже внутри модели, модели стали эндогенными.

Неоклассические модели роста преодолевали ряд ограничений кейнсианских моделей (Е. Домара, Р. Харрода и др.), позволив более точно описать особенности макроэкономических процессов.

Модель Солоу (Солоу – Свана) – неоклассическая модель, основанная на производственной функции с замещением факторов производства с учетом экзогенного нейтрального технического прогресса, труда и капитала как факторов экономического роста.

Р. Солоу показал, что нестабильность динамического равновесия в кейнсианских моделях была следствием невзаимозаменяемости факторов производства. Вместо функции Леонтьева с жестко фиксированными пропорциями использования факторов производства Y = min{aX₁, bX₂} он использовал в своей модели производственную функцию Кобба-Дугласа Y = F(K, L), в которой труд L и капитал K являются субститутами (заменителями). Другими предпосылками анализа в модели Солоу являются: убывающая предельная производительность капитала, постоянная отдача от масштаба, постоянная норма выбытия, отсутствие инвестиционных лагов.

Взаимозаменяемость факторов (изменение капиталовооруженности) объясняется не только технологическими условиями, но и неоклассической предпосылкой о совершенной конкуренции на рынках факторов.

Необходимым условием равновесия экономической системы является равенство совокупного спроса и предложения. Предложение описывается производственной функцией с постоянной отдачей от масштаба , и для любого положительного z верно: zF(K, L) = F(zK, zL). Тогда если z = 1/L, то Y/L = F(K/L). Получаем производственную функцию удельного выпуска на одного работника.

Обозначим Y/L через у, а К/L через k и перепишем исходную функцию в форме взаимосвязи между производительностью и фондовооруженностью (капиталовооруженностью) работника: у = f(k) (рис. 2.16).

 

Рисунок 2.16 – Модель Солоу

 

Тангенс угла наклона данной производственной функции соответствует предельному продукту капитала (МРК), который убывает по мере роста фондовооруженности (k).

Совокупный спрос в модели Солоу определяется инвестициями и потреблением:

 

y = i + c, (2.36)

 

где i и с – инвестиции и потребление в расчете на одного занятого.

 

Доход делится между потреблением и сбережениями в соответствии с нормой сбережения, так что потребление можно представить как

 

c = (l – s)∙y, (2.37)

 

где s – норма сбережения (накопления).

 

Тогда у = с + i = (1 – s)∙y + i, откуда i = s∙y. В условиях равновесия инвестиции равны сбережениям и пропорциональны доходу.

Условия равенства спроса и предложения могут быть представлены как

 

f(k) = c + i или f(k) = (1 – s)∙y + i. (2.38)

 

Производственная функция определяет предложение на рынке товаров, а накопление капитала – спрос на произведенный продукт.

Динамика объема выпуска зависит от объема капитала (в нашем случае – капитала в расчете на одного занятого, или капиталовооруженности). Объем капитала меняется под воздействием инвестиций и выбытия: инвестиции увеличивают запас капитала, выбытие – уменьшает.

Инвестиции зависят от фондовооруженности и нормы накопления, что следует из условия равенства спроса и предложения в экономике: i = s∙f(k). Норма накопления определяет деление продукта на инвестиции и потребление при любом значении k (см. рис. 2.16): y = f(k) => i = s∙f(k), c = (1 – s)∙f(k).

Амортизационные отчисления учитываются следующим образом: если принять, что ежегодно вследствие износа капитала выбывает его фиксированная часть d (норма выбытия), то величина выбытия будет пропорциональна объему капитала и равна d∙k. На графике эта связь отражается прямой, выходящей из точки начала координат, с угловым коэффициентом d (рис. 2.17).

 

Рисунок 2.17 – Равновесие в модели Солоу с учетом выбытия капитала

 

Влияние инвестиций и выбытия на динамику запасов капитала можно представить уравнением

∆k = i – d∙k, (2.39)

 

или, используя равенство инвестиций и сбережений, ∆k = s∙f(k) – d∙k.

Запас капитала (k) будет увеличиваться (∆k > 0) до уровня, при котором инвестиции будут равны величине выбытия, т.е. s∙f(k) = d∙k. После этого запас капитала на одного занятого (фондовооруженность) не будет меняться во времени, поскольку две действующие на него силы уравновесят друг друга (∆k = 0).

Уровень запаса капитала, при котором инвестиции равны выбытию, называется равновесным (устойчивым) уровнем фондовооруженности труда и обозначается k^*. При достижении k^* экономика находится в состоянии долгосрочного равновесия.

Равновесие является устойчивым, поскольку независимо от исходного значения k экономика будет стремиться к равновесному состоянию k^*. Если начальное k₁ ниже k^*, то валовые инвестиции будут больше выбытия (s∙f(k) > d∙k) и запас капитала будет возрастать на величину чистых инвестиций. Если k₂ > k^*, это означает, что инвестиции меньше, чем износ, а значит запас капитала будет сокращаться, приближаясь к уровню k^* (см. рис. 2.17).

Норма накопления (сбережения) непосредственно влияет на устойчивый уровень фондовооруженности. Рост нормы сбережения с s₁ до s₂ сдвигает кривую инвестиций вверх из положения s₁∙f(k) до s₂∙(k) (рис. 2.18).

В исходном состоянии экономика имела устойчивый запас капитала k₁^*, при котором инвестиции равнялись выбытию. После повышения нормы сбережения инвестиции выросли на (i’₁ – i₁), а запас капитала (k₁^*) и выбытие (d∙k) остались прежними. В этих условиях инвестиции начинают превышать выбытие, что вызывает рост запаса капитала до уровня нового равновесия k₂^*, которое характеризуется более высокими значениями фондовооруженности и производительности труда (выпуск на одного занятого y).

Рисунок 2.18 – Модель Солоу с учетом роста нормы сбережений

 

Таким образом, чем выше норма сбережения (накопления), тем более высокий уровень выпуска и запаса капитала может быть достигнут в состоянии устойчивого равновесия. Однако повышение нормы накопления ведет к ускорению экономического роста в краткосрочном периоде, до тех пор, пока экономика не достигнет точки нового устойчивого равновесия.

Очевидно, что ни сам процесс накопления, ни увеличение нормы сбережения не могут объяснить механизм непрерывного экономического роста. Они показывают лишь переход от одного состояния равновесия к другому.

Для дальнейшего развития модели Солоу поочередно снимаются две предпосылки моделирования, отраженного на рис. 2.16-2.18, – неизменность численности населения и его занятой части (их динамика предполагается одинаковой) и отсутствие технического прогресса. Вначале модель описывает, как система приходит в равновесие при отсутствии учета технического прогресса (т.е. при нейтральности технического прогресса) и постоянной отдаче от масштаба, затем в нее вводятся технологические сдвиги посредством изменения нормы накопления капитала и убывающей отдачи от масштаба.

Пусть население растет с постоянным темпом n. Это фактор, влияющий вместе с инвестициями и выбытием на фондовооруженность. Теперь уравнение, показывающее изменение запаса капитала на одного работника (2.39), будет выглядеть как:

 

∆k = i – d∙k – n∙k = i – (d + n)∙k. (2.40)

 

Рост населения, как и выбытие, снижает фондовооруженность, хотя и по-другому – не через уменьшение наличного запаса капитала, а путем распределения его между возросшим числом занятых. В данных условиях необходим такой объем инвестиций, который не только бы покрыл выбытие капитала, но и позволил бы обеспечить капиталом новых рабочих в прежнем объеме. Произведение n∙k показывает, сколько требуется дополнительного капитала в расчете на одного занятого, чтобы капиталовооруженность новых рабочих была на том же уровне, что и прежних.

Условие устойчивого равновесия в экономике при неизменной фондовооруженности k^* можно будет записать теперь так:

 

∆k = s∙f(k) – (d + n) k = 0 или s∙f(k) = (d + n)∙k. (2.41)

 

Данное состояние характеризуется полной занятостью ресурсов труда и капитала (рис. 2.19).

Рисунок 2.19 – Равновесие в модели Солоу с учетом выбытия капитала и роста населения

 

 

В устойчивом состоянии экономики капитал и выпуск на одного занятого, т.е. фондовооруженность (k) и производительность труда (у) остаются неизменными. Но чтобы фондовооруженность оставалась постоянной и при росте населения, капитал должен возрастать с тем же темпом, что и население, т.е.:

(2.42)

 

Таким образом, рост населения становится одной из причин непрерывного экономического роста в условиях равновесия.

Отметим, что с увеличением темпа роста населения возрастает угловой коэффициент кривой (d + n)∙k, что приводит к уменьшению равновесного уровня фондовооруженности (k^*), а следовательно, к падению у.

Учет в модели Солоу технологического прогресса видоизменяет исходную производственную функцию, так как предполагается трудосберегающая форма технологического прогресса. Производственная функция будет иметь вид Y = F(К, L∙E), где Е – эффективность труда, a (L∙E) – численность условных единиц труда с постоянной эффективностью Е. Чем выше Е, тем больше продукции может быть произведено данным числом работников. Предполагается, что технологический прогресс осуществляется путем роста эффективности труда Е с постоянным темпом g. Рост эффективности труда в данном случае аналогичен по результатам росту численности занятых: если технологический прогресс имеет темп g = 2 %, то, например, 100 рабочих могут произвести столько же продукции, сколько ранее производили 102 рабочих. Если теперь численность занятых (L) растет с темпом n, а эффективность труда растет с темпом g, то (L∙E) будет увеличиваться с темпом (n + g).

Включение технологического прогресса несколько меняет и анализ состояния устойчивого равновесия, хотя ход рассуждений сохраняется. Если определить k как количество капитала в расчете на единицу труда с постоянной эффективностью, то результаты роста эффективных единиц труда, аналогичны росту численности занятых (увеличение количества единиц труда с постоянной эффективностью снижает величину капитала, приходящегося на одну такую единицу). В состоянии устойчивого равновесия (см. рис. 2.19) уровень фондовооруженности k* уравновешивает, с одной стороны, влияние инвестиций, повышающих фондовооруженность, а с другой стороны, воздействие выбытия, роста числа занятых и технологического прогресса, снижающих уровень капитала в расчете на эффективную единицу труда:

 

s∙∆k = (d + n + g)∙k. (2.43)

 

В устойчивом состоянии (k*) при наличии технологического прогресса общий объем капитала (К) и выпуска (Y) будут расти с темпом (n + g). Но в отличие от случая роста населения, теперь будут расти с темпом g фондовооруженность K/L и выпуск Y/L в расчете на одного занятого; последнее может служить основой для повышения благосостояния населения. Технологический прогресс в модели Солоу является, следовательно, единственным условием непрерывного роста уровня жизни, поскольку лишь при его наличии наблюдается устойчивый рост выпуска на душу населения (у).

Таким образом, в модели Солоу найдено объяснение механизма непрерывного экономического роста в режиме равновесия при полной занятости ресурсов.

Как известно, в кейнсианских моделях (Р. Харрод, Е. Домар) норма сбережения задавалось экзогенно и определяла величину равновесного темпа роста дохода. В неоклассической модели Солоу при любой норме сбережения рыночная экономика стремится к соответствующему устойчивому уровню фондовооруженности (k^*) и сбалансированному росту, когда доход и капитал растут с темпом (n + g). Величина нормы сбережения (накопления) является объектом экономической политики и важна при оценке различных программ экономического роста.

Поскольку равновесный экономический рост совместим с различными нормами сбережения (увеличение s лишь на короткое время ускоряло рост экономики, в длительном же периоде экономика возвращалась к устойчивому равновесию и постоянному темпу роста в зависимости от значения n и g), возникает проблема выбора оптимальной нормы сбережения.

Оптимальная норма накопления, соответствующая «золотому правилу» Э. Фелпса, обеспечивает равновесный экономический рост с максимальным уровнем потребления. Устойчивый уровень фондовооруженности, соответствующий этой норме накопления, обозначим k^**, а потребления – с^**.

Уровень потребления в расчете на одного занятого при любом устойчивом значении фондовооруженности определяется путем ряда преобразований исходного тождества: у = с + i. Выражаем потребление с через у и i и подставляем значения данных параметров, которые они принимают в устойчивом состоянии:

 

c = y – i, с^* = f(k^*) – d∙k^*, (2.44)

 

где с^* – потребление в состоянии устойчивого роста.

 

По определению устойчивого уровня фондовооруженности i = s∙f(k) = d∙k. Теперь из различных устойчивых уровней фондовооруженности (k^*), соответствующих разным значениям s, необходимо выбрать такой, при котором потребление достигает максимума (рис. 2.20).

 

Рисунок 2.20 – «Золотое правило» Фелпса в модели Солоу

 

Если выбрано k^* < k^**, то объем выпуска увеличивается в большей степени, чем величина выбытия (линия f(k^*) на графике круче, чем d∙k^*), а значит, разница между ними, равная потреблению, растет. При k^* > k^** увеличение объема выпуска меньше роста выбытия, т.е. потребление падает. Рост потребления возможен лишь до точки k^**, где оно достигает максимума (производственная функция и кривая d∙k^* имеют здесь одинаковый наклон). В этой точке увеличение запаса капитала на единицу даст прирост выпуска, равный предельному продукту капитала (МРК), и увеличит выбытие на величину d (износ на единицу капитала). Роста потребления не будет, если весь прирост выпуска будет использован на увеличение инвестиций для покрытия выбытия капитала. Таким образом, при уровне фондовооруженности, соответствующем «золотому правилу» (k^**), должно выполняться условие: МРК = d (предельный продукт капитала равен норме выбытия), а с учетом роста населения и технологического прогресса: МРК = d + n + g.

Если экономика в исходном состоянии имеет запас капитала, больший, чем следует по «золотому правилу», необходима программа по снижению нормы накопления. Эта программа обусловливает увеличение потребления и снижение инвестиций. При этом экономика выходит из состояния равновесия и вновь достигает его при пропорциях, соответствующих «золотому правилу».

Если экономика в исходном состоянии имеет запас капитала меньше, чем k^**, необходима программа, направленная на повышение нормы сбережения. Эта программа первоначально приводит к росту инвестиций и падению потребления, но по мере накопления капитала с определенного момента потребление вновь начинает расти. В результате экономика достигает нового равновесия, но уже в соответствии с «золотым правилом», где потребление превышает исходный уровень.

Данная программа обычно считается непопулярной в связи с наличием «переходного периода», характеризующегося падением потребления, поэтому ее принятие зависит от межвременных предпочтений политиков, их ориентации на краткосрочный или долгосрочный результат.

Рассмотренная модель Солоу позволяет описать механизм долгосрочного экономического роста, сохраняющий равновесие и полную занятость факторов производства. Она выделяет технический прогресс как единственную основу устойчивого роста благосостояния и позволяет найти оптимальный вариант роста, обеспечивающий максимум потребления.

Представленная модель не свободна и от недостатков. Модель анализирует состояния устойчивого равновесия, достигаемые в долгосрочной перспективе, тогда как для экономической политики важна и краткосрочная динамика производства и уровня жизни. Многие экзогенные переменные модели Солоу (s, δ, n, g) было бы предпочтительнее определять внутри модели, поскольку они тесно связаны с другими ее параметрами и могут видоизменять конечный результат. Так, в модели существует возможность динамической неэффективности, т. е. возможность избыточного накопления капитала по сравнению с уровнем «золотого правила»; этот результат является следствием экзогенного задания нормы сбережения. Также модель не включает также целый ряд ограничителей роста, существенных в современных условиях, – ресурсных, экологических, социальных. Используемая в модели функция Кобба-Дугласа, описывая лишь определенный тип взаимодействия факторов производства, не всегда отражает реальную ситуацию в экономике. Эти и другие недостатки пытаются преодолеть современные теории экономического роста.

Современные теории эндогенного роста пытаются определить устойчивый темп роста в самой модели (т.е. эндогенно), связывая его со всеми возможными количественными и качественными факторами: ресурсными, институциональными.