П.3. Лінійна залежність векторів .

П.3. Лінійна залежність векторів.

Вираз вигляду , де – числа, називається лінійною комбінацією векторів

Вектори називаються лінійно незалежними, якщо їх лінійна комбінація дорівнює нулю тільки тоді, коли c ₁ = c ₂ =…= c_n = 0:

(4.2)

Якщо хоча б одне із чисел с_k ¹ 0, то вектори називаються лінійно залежними, оскільки принаймні один із векторів можна подати у вигляді лінійної комбінації інших, наприклад, при с ₁ ¹ 0:

(4.3)

Максимальна кількість лінійно незалежних векторів простору називається розмірністю простору.

 

Мають місце наступні твердження:

1. Будь-які два колінеарні вектори лінійно залежні (рис. 4.7).

2. Будь-які три компланарні вектори лінійно залежні (рис. 4.8).

3. Будь-які чотири вектори у тривимірному просторі лінійно залежні.

 

Рис. 4.7 Рис. 4. 8

П.4. Базис. Розклад вектора за базисом.

Упорядкована сукупність n лінійно незалежних векторів n -вимір­ного простору Rⁿ називається базисом, тобто базисом векторного простору називається така система векторів, яка:задана в певному порядку; лінійно незалежна; будь-який вектор простору є лінійною комбінацією цієї системи векторів.

Приклади базисів:

1. Базисом на прямій (у R¹) є будь-який ненульовий вектор.

2. Базисом на площині (у R²) є два упорядковані неколінеарні вектори.

3. Базисом у тривимірному просторі (R³) є три упорядковані некомпланарні вектори.

Якщо базисні вектори взаємно перпендикулярні (ортогональні), базис називають ортогональним. Ортонормованим називають ортогональний базис, утворений одиничними векторами.

Якщо вектор поданий у вигляді лінійної комбінації базисних векторів:

, (4.4)

то кажуть, що він розкладений за базисом Вектори називають складовими (компонентами) вектора , а числа - його координатами в базисі Зазвичай пишуть так:

На рис. 4.9 наведено приклад розкладу вектора за базисом Координатами вектора є числа (3, 2), а складовими - вектори і

Рис. 4.9. Розклад вектора за базисом

Умови колінеарності та лінійної залежності векторів

Через їх координати

Два вектори і колінеарні, тоді і тільки тоді коли їх координати пропорційні.

Система векторів є лінійно незалежною, якщо визначник

і лінійно залежною, якщо

П.6 Скалярний, векторний та мішаний добутки векторів.

Скалярний добуток та його властивості

Скалярним добутком двох векторів і називається число, що дорівнює добутку довжин векторів на косинус кута j між ними:

(4.10)

Відмітимо, що добуток | |∙cos α являє собою алгебраїчне значення ортогональної проекції вектора на напрямок вектора (позначають =| |∙cos α). Тому мають місце рівності:

∙ = | |∙ = | |∙ . (4.11)

Алгебраїчні властивості скалярного добутку

1) 2)

3) 4)

Деякі важливі формули

· косинус кута між векторами і

(4.13)

· необхідна й достатня умова перпендикулярності двох векторів:

Û (4.14)

· проекція вектора на вектор (рис. 4.11): (4.15)

Рис. 4.11

Приклад 2. Вектори і утворюють кут Знайти:

1) 2) 3) 4)

< 1) 2)

3)

4) <

Приклад 3. Дано вершини трикутника А (1, -3, 0); В (0, -1, –2);
С (–1, -2, 2). Визначити його внутрішній кут j при вершині B.

< Знайдемо вектори = (1, –2, 2), = (–1, –1, 4) та їх довжини:

За формулою (4.13) обчислимо косинус кута j між векторами:

<

Приклад 4. При якому m вектори взаємно перпендикулярні?

< Необхідна й достатня умова перпендикулярності двох векторів:

<

Векторний добуток векторів.

Права трійка Ліва трійка Рис. 4.12	Упорядкована трійка некомпланарних векторів називається правою (лівою), якщо після зведення до спільного початку найкоротший поворот від вектора до вектора , що спостерігається з кінця вектора , здійснюється проти обертання стрілки (за стрілкою) годинника (рис. 4.12).
Рис. 4.13 Векторний добуток векторів і	Векторним добутком векторів і називається вектор , що задовольняє умови (рис. 4.13): 1) довжина вектора дорівнює добутку довжин векторів і на синус кута між ними (); 2) вектор перпендикулярний кожному із векторів і тобто 3) вектор напрямлений так, що вектори утворюють праву трійку.

Мішаний добуток векторів.

 

Мішаним добутком трьох векторів називається число, яке дорівнює векторному добутку , помноженому скалярно на вектор

П.3. Лінійна залежність векторів.

Вираз вигляду , де – числа, називається лінійною комбінацією векторів

Вектори називаються лінійно незалежними, якщо їх лінійна комбінація дорівнює нулю тільки тоді, коли c ₁ = c ₂ =…= c_n = 0:

(4.2)

Якщо хоча б одне із чисел с_k ¹ 0, то вектори називаються лінійно залежними, оскільки принаймні один із векторів можна подати у вигляді лінійної комбінації інших, наприклад, при с ₁ ¹ 0:

(4.3)

Максимальна кількість лінійно незалежних векторів простору називається розмірністю простору.

 

Мають місце наступні твердження:

1. Будь-які два колінеарні вектори лінійно залежні (рис. 4.7).

2. Будь-які три компланарні вектори лінійно залежні (рис. 4.8).

3. Будь-які чотири вектори у тривимірному просторі лінійно залежні.

 

Рис. 4.7 Рис. 4. 8