П. 4. Базис. Розклад вектора за базисом.

Упорядкована сукупність n лінійно незалежних векторів n -вимір­ного простору Rⁿ називається базисом, тобто базисом векторного простору називається така система векторів, яка:задана в певному порядку; лінійно незалежна; будь-який вектор простору є лінійною комбінацією цієї системи векторів.

Приклади базисів:

1. Базисом на прямій (у R¹) є будь-який ненульовий вектор.

2. Базисом на площині (у R²) є два упорядковані неколінеарні вектори.

3. Базисом у тривимірному просторі (R³) є три упорядковані некомпланарні вектори.

Якщо базисні вектори взаємно перпендикулярні (ортогональні), базис називають ортогональним. Ортонормованим називають ортогональний базис, утворений одиничними векторами.

Якщо вектор поданий у вигляді лінійної комбінації базисних векторів:

, (4.4)

то кажуть, що він розкладений за базисом Вектори називають складовими (компонентами) вектора , а числа - його координатами в базисі Зазвичай пишуть так:

На рис. 4.9 наведено приклад розкладу вектора за базисом Координатами вектора є числа (3, 2), а складовими - вектори і

Рис. 4.9. Розклад вектора за базисом

Умови колінеарності та лінійної залежності векторів

Через їх координати

Два вектори і колінеарні, тоді і тільки тоді коли їх координати пропорційні.

Система векторів є лінійно незалежною, якщо визначник

і лінійно залежною, якщо

П. 5. Координати вектора на площині та в просторі. Довжина вектора.

У декартовій системі координат базисні вектори, що пов’язані з осями Ox, Oy, Oz, позначають . Якщо – координати вектора в базисі , то:

(7.6)

Рис. 4.10. Розклад вектора за базисом

Якщо в базисі , , задані координати початку й кінця вектора : А (х ₁, у ₁, z ₁), В (x ₂, y ₂, z ₂) (рис. 4.10), то

 

= (х ₂ – х ₁) + (у ₂ – у ₁) + (z ₂ – z ₁) = (х ₂ – х ₁, у ₂ – у ₁, z ₂ – z ₁) (4.5)

Лінійні операції над векторами в базисі

Лінійні операції над векторами визначаються так:

(4.6)

(4.7)

Приклад 1. Дано вектори Знайти

<

<

Довжина вектора

· довжина вектора

(4.8)

· якщо маємо вектора : А (х ₁, у ₁, z ₁), В (x ₂, y ₂, z ₂), то його довжина

(4.9)

П.6 Скалярний, векторний та мішаний добутки векторів.

Скалярний добуток та його властивості

Скалярним добутком двох векторів і називається число, що дорівнює добутку довжин векторів на косинус кута j між ними:

(4.10)

Відмітимо, що добуток | |∙cos α являє собою алгебраїчне значення ортогональної проекції вектора на напрямок вектора (позначають =| |∙cos α). Тому мають місце рівності:

∙ = | |∙ = | |∙ . (4.11)

Алгебраїчні властивості скалярного добутку

1) 2)

3) 4)

Геометричні властивості скалярного добутку

1) = 0 – умова перпендикулярності векторів;

2) > 0 – гострий кут;

3) < 0 – тупий кут.

Скалярний добуток в ортонормованому базисі

У базисі скалярний добуток векторів

дорівнює сумі добутків їх відповідних координат:

(4.12)

Деякі важливі формули

· косинус кута між векторами і

(4.13)

· необхідна й достатня умова перпендикулярності двох векторів:

Û (4.14)

· проекція вектора на вектор (рис. 4.11): (4.15)

Рис. 4.11

Приклад 2. Вектори і утворюють кут Знайти:

1) 2) 3) 4)

< 1) 2)

3)

4) <

Приклад 3. Дано вершини трикутника А (1, -3, 0); В (0, -1, –2);
С (–1, -2, 2). Визначити його внутрішній кут j при вершині B.

< Знайдемо вектори = (1, –2, 2), = (–1, –1, 4) та їх довжини:

За формулою (4.13) обчислимо косинус кута j між векторами:

<

Приклад 4. При якому m вектори взаємно перпендикулярні?

< Необхідна й достатня умова перпендикулярності двох векторів:

<

Векторний добуток векторів.