Лекция 10. Задачи на построение в курсе стереометрии.

План.

I. Методика решения задач на воображаемые построения.

II.Построения на проекционном чертеже.

Содержание лекции:

I. Воображаемые построения (В.п.) – формально-логический метод построения в пространстве с отказом от реальных построений с помощью чертежных инструментов, осуществляются как бы мысленно; рисунок, их сопровождающий, носит чисто иллюстративный характер.

С математической точки зрения В.п. рассматриваются как задачи на доказательство существования фигур, определенных некоторым известными условиями. Само доказательство заключается в сведении процесса построения фигур (или их комбинаций) к конечному числу основных построений, которые определяются аксиоматически. При этом решение (доказательство) может сопровождаться, а может не сопровождаться рисунком.

Учитель обращает внимание учащихся на ряд сложностей, возникающих при осуществлении построений в пространстве (нельзя построить плоскость, многогранник и т.д.). Поэтому необходимо точно условиться: что значит выполнить то или иное построение.

Исходя из аксиом стереометрии, можно предположить возможность следующих основных построений в пространстве:

1) Плоскость может быть построена, если заданы следующие элементы, определяющие ее положение в пространстве:

а) прямая и не лежащая на ней точка,

б) две пересекающиеся прямые,

в) две параллельные прямые,

г) три точки, не лежащие на одной прямой.

2) Прямая в пространстве может быть построена как линия пересечения двух плоскостей.

3) Все планиметрические построения выполнимы в пространстве только на некоторой заданной плоскости.

4) Сфера может быть построена, если задано положение ее центра и радиуса R.

Выполнение всех остальных построений сводится к конечному числу основных.

II. На проекционном чертеже точки и прямые задаются вместе со своими проекциями на некоторую плоскость, которую называют основной.

Проекционные чертежи позволяют конструктивным средствами строить точки и линии пересечения изображаемых на нем фигур. Они имеют очень важное значение для развития пространственного воображения школьников.

С проекционными чертежами рекомендуется ознакомить школьников в 10 классе при изучении параллельной проекции ее свойств. Здесь учитель подводит школьников к выводу о том, что фигуры на чертеже могут задаваться ее проекцией на проекционной плоскости.

При чем, если точка или фигура совпадает со своей проекцией, то данная точка или фигура лежит на проекционной плоскости.

Проекционный чертеж может быть иллюстрирован моделью параллелепипеда, где проекционная плоскость – это плоскость нижнего основания, направление проектирования определяется боковыми ребрами, а проекция верхнего основания – нижнее основание (см. рис.)

Основным видом стереометрических задач на построение на проекционном чертеже являются задачи на построение сечений многогранников. В школе рассматриваются два метода построения сечений:

1) метод следов; 2) метод внутреннего проектирования

(Иногда используют их комбинацию).

В соответствии с методом следов вначале строится след секущей плоскости на проекционной, а затем последовательно находятся линии пересечения секущей плоскости с гранями многогранника.

Основным минусом этого метода является то, что след секущей плоскости может оказаться удаленным от основной части чертеже, следовательно, приходится уменьшать чертеж, что нежелательно.

Метод внутреннего проектирования основывается на соответствии между точками сечения и точками основания многогранника. Все построения – внутри него, но сложнее объяснить логику построения, да и чертеж загроможден.

 

Вопросы для самопроверки:

1) Что такое воображаемые построения?

2) Как с помощью основных построений в пространстве можно задавать плоскость, прямую, сферу?

3) Что понимается под проекционным чертежом?

4) Как можно определить, что такое изображение пространственной фигуры на проекционной плоскости?

5) Какие методы построения сечений фигур рассматриваются в школе? В чем их суть?

Литература: 4, 6, 14, 16.

Дополнительно:

1) «Математика в школе», №5 – 1991, с. 35-40.

Г.И. Саранцев «Обучение решению задач на построение сечений многогранников».

2) Л.М. Лоповок «Изображение фигур в стереометрии»

Преподавание геометрии в 9–10 кл. из серии «Библиотека учителя математики».

Лекция 11. Методика изучения координат, векторов и геометрических преобразований в пространстве в школьном курсе стереометрии.

План.

I. Роль и место материала в курсе стереометрии.

II. Методические особенности его изучения.

Содержание лекции:

Попытки введения более современных, чем традиционный синтетический, методов в курс стереометрии неоднократно предпринимались с конца 19 века в силу следующих соображений:

1) применение более современных методов позволяет существенно упростить и алгоритмизировать решение стереометрических задач и доказательство теорем.

2) необходимо было осовременить школьный курс стереометрии, приблизить его к насущным проблемам действительности.

3) большая прикладная значимость и многообразие межпредметных связей соответствующих разделов: векторы – в физике, координаты – в алгебре, геометрические преобразования – в картографии.

В XX веке были созданы новые курсы геометрии, сориентированные на преимущественное использование алгебраического метода (геометрия Шоке), метода геометрических преобразований – учебное пособие Колмогорова, векторный метод – пособие под ред. Скопеца и др.

Но введение в школу этих учебников не увенчались успехом из-за:

1) отрицательного влияния на развитие пространственных представлений школьников, их геометрической интуиции;

2) сложности перехода к новой аксиоматике (векторной или метрической);

3) не совсем достаточно удачного методического решения проблемы создания новых учебников, а также неподготовленности учителей к этому переходу.

В силу указанных причин авторы действующих в настоящее время учебников попытались найти оптимальное сочетание традиционно-синтетических и более современных подходов. При этом координаты, векторы и преобразования стали рассматриваться скорее как объекты изучения, чем как мощные методы решения задач и доказательства теорем.

Место данной темы в курсе стереометрии может быть различным:

а) В начале курса. При этом существенно облегчаются доказательства многих теорем традиционных разделов.

б) После рассмотрения параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве. Основное применение в темах многогранниках и телах вращения. (Как в учебнике Погорелова и частично в учебнике Атанасяна).

в) В конце курса стереометрии. При этом появляется возможность показа преимущества рассматриваемых методов перед традиционным при решении задач.

Однако, как правило, здесь не хватает времени на вторичное прохождение материала и возникает опасность путаницы в понятиях.

В учебнике А.В.Погорелова реализована следующая схема:

 

В учебнике Л.С. Атанасяна:

 

полигон аппарат

векторы координаты преобразования

(движения)

В учебнике Л.С. Атанасяна наименьшее внимание уделено геометрическим преобразованиям, в учебнике А.В. Погорелова – векторам.

 

II. Материал о координатах, векторах и преобразованиях в стереометрии подчеркнуть повторяет соответствующий планиметрический материал в действующих учебниках. При этом повторение планиметрии затруднено из-за недостатка времени. Следовательно, такое повторение целесообразно осуществлять в процессе ознакомления с соответствующими стереометрическими фактами и их доказательстве.

Например, при выводе формулы расстояния между точками, как в планиметрии, так и в стереометрии строится прямоугольный треугольник и применяется теорема Пифагора.

Таким образом, в стереометрии эти вопросы изучаются аналогично + этап сведения к планиметрическому аналогу. Поэтому можно использовать следующую методическую схему ее вида этой формулы:

1) Актуализация планиметрической формулы и идеи ее вывода.

2) При решении стереометрической задачи на интуитивном уровне записывается пространственный аналог.

3) Обсуждается возможность переноса идеи вывода планиметрической формулы на стереометрический факт.

4) Сведения пространственной конфигурации к плоскостной.

5) Осуществление доказательства по составленному плану:

а) сведения к планиметрическому анализу;

б) применение планиметрической идеи;

6)Закрепление доказательства в соответствии с известными этапами.

В действующих учебниках рассматриваются по существу только основной аппарат метода координат и векторной алгебры. При этом возможности применения этих методов при решении содержательных стереометрических задач и задач из других разделов весьма незначительны, и это оказывает отрицательное воздействие на осознание сущности данных методов в целом.

Учителю необходимо на материале стереометрии закрепить приобретенные ранее представления о существующих методах и их компонентах на основе использования системы специальных упражнений.

В конце изучения данной темы «Координаты, векторы, преобразования» целесообразно провести спаренный урок-семинар (лучше урок-практикум) по одновременному решению задач всеми методами и их сопоставительному анализу.

При этом отдельным группам учеников может быть предложена задача, которую необходимо решить одним из методов (либо на уроке, либо как домашнее задание). В процессе обсуждения решения со всем классом выделяются критерии применимости того или иного метода в данной ситуации, а также его плюсы и минусы.

На практике при решении содержательных стереометрических задач чаще приходится пользоваться более универсальным координатно-векторным методом.

Его использование наглядно можно увидеть при решении следующей задачи:

В треугольной пирамиде ДАВС плоские углы при вершине Д равны по 90 ⁰. Боковые ребра ДА = 6, ДВ = 8, ДС = 24. точка М равноудалена от всех вершин пирамиды. Найти расстояние ДМ. (Решать самостоятельно).

Задания для самостоятельной работы:

1. Провести сравнительный анализ содержания данного материала по учебникам: а) А.В. Погорелова; б) Л.С. Атанасяна и др.; в) И.М. Смирновой и В.А. Смирнова.

2. Составить конспект статьи А.Д. Александрова «Так что же такое вектор?» «Математика в школе», № 5 – 1984г., с.39-46.

3. Показать суть координатно-векторного метода при решении задачи:

4. В треугольной пирамиде ДАВС плоские углы при вершине Д равны по 90 ⁰. Боковые ребра ДА = 6, ДВ = 8, ДС = 24. точка М равноудалена от всех вершин пирамиды. Найти расстояние ДМ.

Вопросы для самопроверки:

1. Чем вызвана необходимость введения новых содержательных линий в школьный курс стереометрии?

2. Почему их введение в школьный курс завершилось неудачей?

3. Какие схемы изучения координат, векторов и геометрических преобразований реализованы в действующих учебниках?

4. Какую методическую схему введения фактов аналитической геометрии в пространстве целесообразно использовать в курсе стереометрии?

5. Как осуществить аналогию при изучении данного материала в курсе стереометрии с планиметрией?