Лекция 13. Методика изучения многогранников, фигур вращения в школьном курсе стереометрии.

План.

I. Роль и место данного материала в школьном курсе. Цели его изучения.

II. Содержание материала в действующих учебниках.

III.Методические особенности изучения геометрических тел в школьном курсе.

Содержание лекции:

I. Темы «Многогранники» и «Тела и вращения» являются центральными в курсе стереометрии средней школы.

1) В процессе их изучения систематизируются знания учащихся их планиметрии: о многоугольниках, окружностях и круге, вписанном и описанном многоугольниках и их основных свойствах, а также знания о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве из курса стереометрии 10-го класса.

2) В процессе изучения многогранников и тел вращения продолжается работа по дальнейшему развитию пространственных представлений и воображение учащихся.

3) Знакомство с многогранниками и телами вращения играет важную роль в подготовке учащихся к практической жизни, к труду (например, многие детали машин, приборов, архитектурные сооружения, предметы быта имеют форму тел вращения).

4) Дальнейшие развитие получает при изучении этого материала логическое мышление учащихся (вводится много новых понятий, теорем)

Основная цель – дать учащимся систематические сведения об основных видах многогранников, познакомить с простейшими телами вращения и их свойствами.

II. Тему «Многогранники» можно разделить на следующие части:

1. Многогранник. Элементы многогранника. Выпуклый многогранник.

2. Призмы. Параллелепипеды.

3. Пирамиды. Усеченные пирамиды.

4. Правильные многогранники.

5. Объемы многогранников.

Последовательность изложения и место этих вопросов в действующих учебниках А.В. Погорелова и Л.С. Атанасяна (раздел о сечениях.).

Весь круг вопросов по теме «Тела вращения» можно условно разделить на 2 группы:

1. Цилиндр и конус: а) определение, поверхность, симметрия, касательная плоскость, сечение осевое и перпендикулярное оси, вписанные и описанные многогранники; б) объем; в) площадь боковой поверхности.

2. Шар и сфера: а) определение, симметрия, сечение, касательная плоскость; б) объем шара; в) площадь сферы.

III. Рассмотрим некоторые методические особенности изучения геометрических тел в школьном курсе стереометрии:

1. Изучение данного материала начинается с введения понятия многогранника. Существуют различные подходы к его определению. Чаще многогранник трактуется как ограниченное геометрическое тело с определенными характерными свойствами (Погорелов, Клопский, Скопец; Александров и др.). (Например, в учебнике А.В. Погорелова – многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.)

В учебнике Атанасяна многогранник рассматривается как поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. Правда, в дальнейшем добавлено, что «тело, ограниченное многогранником, часто называют также многогранником».

Руководясь принципом педагогической целесообразности, понятие многогранника можно вводить без предварительного введения формально-логических определений понятий «геометрического тела», «поверхности», считая их интуитивно ясными для учащихся из их опыта и наглядных представлений.

2. Изложение материала о каждом геометрическом теле осуществляется по единому плану:

1) Определение, сопутствующие элементы и некоторые простейшие свойства, вытекающие сразу из определения.

2) Через построение изображения тела показывается его существование. (Предупреждать возможные ошибки в изображениях пространственных фигур).

3) Рассматриваются сечения многогранника или тела вращения (начинать с наглядных пособий, кодограмм).

4) Частные виды, их свойства и классификация (для многогранников).

5) Рассмотрение площади поверхности и объема данного тела.

3. При изучении большинства вопросов необходима постоянная актуализация ранее изученного материала, широкое использование пространственно-плоскостного аналога.

Например, свойства параллелограмма – свойства параллелепипеда, площадь прямоугольника – объем прямоугольного параллелепипеда и т.д.

4. Широко используются модели геометрических тел и другие средства наглядности. Легко организовать работу учащихся по их изготовлению во внеурочное время. Помимо положительного влияния на усвоение курса математики такая работа содействует развитию творческих способностей учащихся, расширяет кругозор, содействует повышению эффективности урока.

К 11 классу уже нельзя злоупотреблять демонстрацией наглядных пособий.

5. Большинство задач по данным темам – вычислительного характера, решение которых сводится к последовательному решению цикла элементарных планиметрических задач. Активно используются свойства треугольника, четырехугольника, комбинации треугольников с окружностью.

Можно выделить следующие виды задач:

– на нахождение элементов геометрических тел (длин отрезков, углов)

– построение сечений геометрических тел и нахождение площади сечения.

– нахождение площадей поверхностей и объемов многогранников и тел вращения.

6. Наиболее сложным является материал (задачи) о комбинациях многогранников и тел вращения. Теоретический материал в основном рассматриваются на наглядно-интуитивном уровне, не ставится задача обучения школьников построению изображения комбинаций. Поэтому необходимо больше использовать готовые чертежи той или иной комбинации и соответствующие модели. На основе их анализа учащиеся должны уметь выделять необходимые для решения сечения данной комбинации и строить их на «выносном» чертеже. Часто вместо комбинаций геометрических тел получаем на таком чертеже известные планиметрические комбинации (треугольник вписанный или описанный около окружности, прямоугольник вписанный или описанный около окружности и т.д.)

Вопросы для самопроверки.

1. Какова роль материала о геометрических телах в школьном курсе геометрии?

2. Основная цель изучения этого материала.

3. Какие вопросы рассматриваются в действующих школьных учебниках?

4. Какие подходы к определению понятия «многогранник» можно выделить?

5. По какому единому плану осуществляется изложение материала о каждом геометрическом теле?

6. Выделить основные виды задач, имеющиеся в школьных учебниках по данной теме?

Литература: 4, 6, 7, 14, 16, 17.