Тема 7. Векторы в школьном курсе математики.

План.

1. Место темы в программе. Анализ содержания и подходов к его изложению.

2. Методика изучения отдельных вопросов.

3. Изучение векторов в курсе стереометрии.

Содержание лекции:

1. Понятие вектора является одним из фундаментальных в современной математике. Важность этого понятия для геометрии была показана Германом Вейлем, предложившим в 1918 году векторную аксиоматику евклидовой геометрии.

Материал о векторах стал изучаться в школьном курсе сравнительно недавно. Необходимость его включения в содержание курса геометрии следовала из следующих соображений.

1. Изучение векторной алгебры важно с точки зрения обогащения идейного содержания учебного курса, приближая его к современной геометрической науке.

2. Знакомство с векторами необходимо ученикам для изучения смежных курсов: физики, астрономии, химии, географии.

3. Векторы дают эффективный и компактный метод решения различных геометрических (аффинных и метрических) задач и доказательства ряда теорем.

4. Углубляется представление учащихся о величинах в том плане, что вектор выступает как связывающее звено между метрикой и направлением.

5. Происходит обобщение знаний учащихся об арифметических и алгебраических операциях.

Рассматриваются 4 варианта введения понятия вектора в школьном курсе:

1) Модернистский Ввести вектор, наряду с точкой и прямой как основное понятие, описываемое соответствующей системой аксиом (по Вейлю). При этом курс геометрии строится на полностью векторной основе.

2) Вектор рассматривать как одно из геометрических преобразований, отождествить ею с параллельным переносом (А.Н. Колмогоров).

3) Рассмотреть вектор как направленный отрезок (А.В. Погорелов, Л.С. Атанасян).

4) Ввести вектор как порядочную пару чисел, то есть на чисто координатной основе (свести геометрию к алгебре), все действия над векторами сводились бы к действиям над числами.

Определение вектора как направленного отрезка было значительно более наглядным для школьников и больше подходила к физическим представлениям о векторе, поэтому в некоторых учебниках используется именно такое определение.

При изложении материала о векторах большое значение имеет обеспечение необходимого «равновесия» между наглядно-геометрическим и координатным подходами к данному вопросу. Если наглядно-геометрический подход более характерен для стиля изложения геометрического материала, то координатный метод упрощает многие доказательства, способствует достижению краткости изложения материала.

В учебнике Погорелова изучение векторов относится к концу 8 класса. Перед этим рассматриваются темы «Движения» и «Декартовы координаты на плоскости». изучение векторов идет по следующему плану: понятие вектора, абсолютная величина и направление вектора, равенство векторов, координаты вектора, операции над векторами, разложение вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам.

Основное понятие для векторов в пространстве рассматриваются аналогично.

В учебнике Атанасяна метод координат рассматривается уже позже введения понятия вектора, поэтому большой блок материала дается на чисто геометрической основе. В большой мере используется наглядно-геометрический подход, чем координатный.

2. При введении понятия «вектор» обычно рассматривают физическую ситуацию.

Учащимся предлагается подействовать на вектор различными движениями и выяснить, изменилось ли направление и абсолютная величина вектора при применении того или иного движения. Делается вывод, что в случае параллельного переноса абсолютная величина и направление не меняются. То есть, если векторы совмещаются параллельным переносом, их называют равными, при этом их абсолютная величина и направления совпадают. Отметим, что здесь возникает кажущееся противоречие с определением равных фигур. Это объясняется тем, что век5тор характеризуется не только своим числовым значением, но и направлением, которое сохраняется только при параллельном переносе.

Центральным вопросом является введение координат вектора.

Можно предложить следующую схему:

1) В системе координат с нанесенной координатной сеткой рассмотрим несколько вопросов: Какие из изображенных векторов равны? Как можно показать, не измеряя отрезков и углов? Попробуйте посчитать клеточки при движении от начала к концу этих векторов (3 клеточки вправо и 2 вверх). Таким образом, мы определили координаты векторов.

2) Задание: В тетрадях постройте точки А (2, 3) и В (4, 7). Аналогично определите координаты вектора АВ и выясните связь между координатами вектора АВ и соответствующими координатами его начала и конца.

3) Итог – определение координат вектора.

4) Далее закрепляем определение на примерах.

5) Переходим к доказательству этого факта.

Скалярное произведение векторов.

Материал, связанный с векторами разделяется на две большие группы вопросов:

1. Вопросы аффинной геометрии. Здесь в основном решаются задачи на установление параллельности, выполнение отношения отрезков, параллельный перенос, гомотетия, принадлежность трех точек одной прямой, принадлежность четырех точек одной плоскости и т.д.

2. Описывает метрическую часть темы. Это скалярное произведение векторов и его свойства. Здесь решаются задачи на вычисление расстояний, углов, нахождение множества точек.

Таким образом, без изучения скалярного произведения векторов из поля зрения учащихся выпадает большое количество метрических задач и в значительной мере теряется эффективность применения векторного метода..

Однако, скалярное произведение векторов совсем недавно стало изучаться в планиметрии в силу следующих трудностей:

1. Учащиеся привыкли, что умножение –есть операция, ставящая в соответствие двум элементам одного множества элемент того же множества. Скалярное же произведение векторов – есть число, то есть элемент множества, совершенно отличного от множества векторов.

2. Свойства скалярного произведения весьма отличны от свойств ранее изученных произведений.

3. Само определение скалярного произведения громоздко: либо это сумма произведений двух пар соответствующих координат, либо – произведение длин двух векторов на косинус угла между ними.

 

3. Аксиоматика школьного курса планиметрии не предопределяет строго логическую структуру курса стереометрии, то есть аксиоматика стереометрии может по своему характеру отличаться от планиметрической. Соответственно делались попытки изложить курс стереометрии на основе более современных математических методов, в частности, на векторном. При этом бы появилась возможность объединить курсы геометрии и алгебры на координатно-векторной основе. Однако, данный вариант пока не реализован в силу ряда субъективных трудностей:

1) Алгебраизация геометрии не способствует развитию пространственных представление школьников, их геометрической интуиции, не способствует их реальным представлениям.

2) В среднем звене трудно воспитать у школьников высокую алгебраическую культуру и дать четкие представления об аксиоматическом методе, которые необходимы для изучения стереометрии на векторной основе.

3) Не разработана в должной мере соответствующая методика преподавания.

Согласно действующей программе векторы рассматриваются в курсе стереометрии и как объект изучения и как аппарат доказательства теорем и решения задач. Место данной темы в курсе стереометрии может быть различным: 1) изучение векторов идет после параллельности до перпендикулярности в пространстве (Колмогоров, Скопец); 2) векторы рассматриваются после параллельности и перпендикулярности и используются в основном при решении задач на «Многогранник», «Тела вращения» (Погорелов); 3) в конце курса, появляется возможность показать преимущества векторного метода по сравнению с традиционным – геометрическим при решении стандартных задач, однако, теряется возможность использования векторов для первичного доказательства теорем.

Усвоение понятийного аппарата, связанного с векторами, создает предпосылки для овладения учащимися векторным методом решения задач, включающим в себя следующие компоненты:

1. Перевод условия задачи на векторный язык и разложение введенных векторов по базисным (если необходимо).

2. Составление векторного равенства и его преобразование.

3. Замена векторного равенства алгебраическим уравнением и его решение.

4. Объяснение геометрического смысла найденного решения.

Задания для самостоятельной работы.

1. Показать реализацию компонентов векторного метода на примере решения задачи: Найти один из углов между диагональю куба и диагональю какой – либо грани куба.

Вопросы для самопроверки:

1. Чем вызвана необходимость и целесообразность изучения векторов в школьном курсе?

2. Какие возможности введения понятия вектора в школьном курсе можно выделить?

3. Каково содержание данной темы в школьных учебниках?

4. Методика введения понятий «вектор» и «равные векторы».

5. Методика изучения координат вектора и операций над ними.

6. Каковы методические особенности изучения скалярного произведения векторов?

7. Какие варианты изучения векторов возможны в курсе стереометрии? Положительные и отрицательные стороны этих вариантов.

8. Каковы основные компоненты, из которых состоит овладение векторным методом?

Литература: 4, 6, 7, 8, 10, 14, 16, 17.

 

Лекция 8. Методика изучения геометрических величин