Тема 1. Логическое строение школьного курса геометрии.

Тема 1. Логическое строение школьного курса геометрии.

План.

1. Цели изучения и структура школьного курса геометрии.

2. Содержание пропедевтического курса геометрии в 5-6 классах.

3. Различные подходы к построению школьного курса геометрии (логическое строение).

Содержание лекции:

Изучение геометрии в школе преследует все цели обучения математике (обучающие, воспитательные, развивающие), но при этом выделяются некоторые специфические цели:

1) ознакомление учащихся с основными геометрическими фигурами и их свойствами;

2) показ практического приложения изучаемого материала к реальной действительности;

3) развитие логического мышления и пространственного воображения;

4) овладение навыками использования чертежных инструментов и развитие способности к техническому творчеству.

Тема 2. Методика изучения первых разделов (тем) систематического курса геометрии.

План.

1. Основные трудности, встречающиеся на первых уроках планиметрии и пути их преодоления.

2. Методика проведения первых уроков систематического курса геометрии.

Содержание лекции:

Начиная изучать курс планиметрии в 7 классе, учитель сталкивается с определенными трудностями.

1. Совершается резкий переход к необходимости все доказывать. Если в 5-6 классах в основном использовался индуктивный подход, то в систематическом курсе на первый план выходят дедуктивные рассуждения. При этом ученики считают, что многие факты они уже знают (или наглядно очевидны) и незачем их доказывать.

2. Невозможно дать единого метода доказательства теорем и решения задач.

3. Вводится новая символика, много новой терминологии.

4. Очень много рисунков, чертежей, к которым учащиеся еще недостаточно привыкли.

Учитывая указанные сложности, в начале систематического курса учителю не следует резко отходить от конкретно-индуктивного подхода, широко использовать интуицию учащихся с применением различных наглядных пособий. Одновременно необходимо формировать у школьников потребность в доказательстве вводимых утверждений.

Перед изучение первого раздела учителю целесообразно провести беседу о предмете геометрии. Учитель должен продемонстрировать ученикам различные плоские и пространственные фигуры и попросить учащихся описать их свойства. Таким образом, подводим учащихся к выводу, что геометрия изучает свойства различных плоских и пространственных фигур. При этом некоторые свойства фигур очевидны, другие же необходимо обосновать рассуждениями.

После этого переходят к рассмотрению основных понятий и их свойств. Начинают обычно с практической задачи на построение, после чего формулируется свойство, которое затем закрепляется на задачах.

При работе над аксиомами планиметрии возможно использование учителем следующей методической схемы.

1. На первом этапе аксиома может быть предварена рисунком с небольшим комментарием учителя.

2. Формулировка аксиомы учителем

3. Логический анализ формулировки аксиомы.

4. Математический диктант.

5. Закрепление при решении задач.

Задание для самостоятельной работы.

 

Показать возможную реализацию этой методической схемы при изучении основных свойств: I в. – 1; II в. – 2.

Вопросы для самопроверки:

1. Перечислить основные трудности, возникающие у учащихся при изучении геометрии на первых уроках систематического курса.

2. Каковы основные пути преодоления этих трудностей?

3. Какие методические схемы изучения аксиом (основных свойств простейших геометрических фигур) можно выделить?

4. Опишите возможную реализацию каждой из схем при изучении какой либо аксиомы школьного курса планиметрии.

Литература: 4, 6, 10, 14, 16

 

Следующий метод задач на построение – метод координат (8 класс) или алгебраический метод. Он сводится к построению фигур на координатной плоскости, исходя из имеющихся уравнений этих фигур. У школьников он особых проблем не вызывает в силу его алгоритмичности, достаточно широкого знакомства с ним как на уроках алгебры, так и геометрии.

Пример: Построить геометрическое место точек плоскости, для которых .

Метод движений сводится к подбору такого движения, в результате которого образуется некоторая вспомогательная фигура, удовлетворяющая двум условиям:

1) она может быть построена по данным задачи;

2) она связана с искомой так, что ее построение обеспечивает построение искомой фигуры.

Наибольшие затруднения у школьников вызывают задачи на построение, решаемые методом подобия (9 кл.) хотя непосредственно таких задач немного, учителю следует в эвристической беседе при решении одной из задач на этапе анализа подвести школьников к выводу, что условие соответствующих задач целесообразно разбить на две части, одна из которых определяет «форму» искомой фигуры (то есть определяет ее с точностью до подобия), а другая – ее размеры. По первой части строят фигуру, подобную искомой, а затем преобразовывают ее в искомую с учетом второй части.

 

Вопросы для самопроверки:

1) Что такое задача на построение? Когда она считается решенной?

2) Какова роль задач на построение в школьном курсе?

3) Какие геометрические построения осуществляются в курсе математики: а) начальной школы; б) пропедевтическом курсе 5-6 классов; в) в систематическом курсе геометрии 7-11 классов?

4) В чем суть основных этапов решения задач на построение?

5) Какие основные методы решения задач на построение Вы знаете? В чем их сущность? Какие из этих методов используются в школьном курсе геометрии?

Литература: 4, 6, 7, 14, 16, 17

Дополнительно: Аргунов Б.И., Балк Т.Б. Геометрические построения на плоскости. Учпедгиз, 1955.

 

Тема 1. Методика изучения многоугольников в школьном курсе планиметрии.

План.

1. Роль материала о многоугольниках в обучении математике.

2. Обзор содержания материала о многоугольниках в школьном курсе математики.

3. Методические рекомендации по изучению многоугольников.

Содержание лекции:

Роль темы «Многоугольники» в обучении обусловлена следующим:

1. Многоугольники и их свойства непосредственно являются основным объектом изучения геометрии, позволяющим развить воображение учащихся.

2. Знания, умения и навыки, связанные с данной темой, необходимы для изучения смежных дисциплин (физики, черчения, труда и других) и в реальной жизни.

3. Учение о многоугольниках дает основу для использования соответствующего аппарата решения задач и доказательства теорем школьного курса стереометрии и естественным образом способствует развитию логического мышления.

4. Многоугольники являются полигоном для раскрытия материала о декартовых координатах, геометрических преобразованиях, векторах и др.

5. Материал важен в мировоззренческом аспекте, в историческом и прикладном ракурсах.

В систематическом курсе планиметрии материал о многоугольниках можно разбить на 3 основных блока.

1. Учение о треугольниках (7-8 классы) является базовым материалом всей темы, поскольку дальнейшее ее изучение основывается на применении различных свойств треугольников (в частности используются цепочки равных треугольников для доказательства равенства каких либо отрезков, углов при изучении многоугольников. К этому блоку относится следующий материал:

1) определение треугольника, сопутствующих понятий,

2) равнобедренный треугольник,

3) равенство треугольников, аксиома существования треугольника, равного данному,

4) зависимость между элементами треугольника,

5) подобие треугольников,

6) площадь треугольника,

7) комбинации треугольника с окружностью.

2. Учение о четырехугольниках (8 класс):

1) определение четырехугольника и сопутствующих понятий,

2) частные виды четырехугольников и их свойства (параллелограмм и его виды: прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция),

3) площади четырехугольников.

3. Учение о многоугольниках (9 класс).

1) общее понятие о многоугольниках,

2) правильные многоугольники и их построение,

3) комбинации правильных многоугольников с окружностью.

В учебнике А.В. Погорелов: сначала треугольники (7 класс), четырехугольники (8 класс), многоугольники (9 класс). Происходит постепенное обобщение материала, позволяющее учащимся последовательно установить естественные взаимосвязи между предыдущим и последующими темами.

В учебнике Л.С. Атанасяна смешанный подход: треугольники (7 класс), многоугольники (обзор, 8 класс), четырехугольники, правильные многоугольники (9 класс).

Само определение многоугольника (и его частных видов) производится в основном с двух позиций:

а) как одномерного объекта – простая замкнутая ломанная,

б) как двумерного объекта – плоского многоугольника, включающего в себя кроме простого многоугольника его внутреннюю область.

Оба подхода имеют как достоинства, и так и недостатки. Если мы вводим понятие многоугольника как одномерного объекта, то здесь имеем возможность вывести данное определение из основных понятий – точек и отрезков прямой, то есть четко показать преемственность вводимых понятий. Определяя же многоугольник как плоский, мы имеем возможность в дальнейшем рассмотреть сопутствующие элементы – медиану, высоту и биссектрису треугольника как объекты, принадлежащие треугольнику, а так же ввести понятие площади многоугольника.

Методические особенности изучения многоугольников рассмотрим на примере наиболее характерной темы данного материала «Четырехугольники»

Схема изучения данной темы:

1. Определение четырехугольника и выделение различных их видов.

2. Доказательства существования каждого вида.

3. Свойства и признаки каждого вида.

4. В конце изучения – классификация.

Изучение признаков и свойств параллелограмма связано с формулировкой необходимого и достаточного условия того, что четырехугольник является параллелограммом. Данный материал в учебнике А.В. Погорелова изучается вперемежку, по учебнику Л.С. Атанасяна сначала рассматриваются свойства, а затем признаки, как обратные теоремы. Свойства параллелограмма обычно вводятся с помощью практической работы вида: начертить ряд параллелограммов, измерить противолежащие стороны и углы. Сделать вывод.

В конце изучения темы целесообразно провести классификацию выпуклых четырехугольников, изучаемых в школе. Данная классификация зависит от того, как определить трапецию. Возможны два подхода:

1) трапеция, есть четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие непараллельны (Киселев, Погорелов, Атанасян). Здесь понятия трапеции и параллелограмма – несовместимы (объемы этих понятий не пересекаются)

2) трапеция, есть четырехугольник, у которого две стороны параллельны (Бескин Н.М.). здесь параллелограмм является одним из видов трапеции. Первое определение не позволяет последовательно рассмотреть цепочку частных видов четырехугольников, классификация четырехугольников при этом менее четкая логически.

При изучении материала о многоугольниках важное место занимает теорема о сумме углов выпуклого n – угольника.

В действующих школьных учебниках при доказательстве предлагают обычно разбить данный многоугольник на треугольники, соединив диагоналями одну из вершин (фиксированную) со всеми остальными вершинами.

Учитель может предложит другой способ разбиения n – угольника на треугольники, взяв точку О внутри многоугольника и соединив ее со всеми вершинами многоугольника.

Методически оправданы такие подходы при доказательстве теорем, которые отличны от подходов, используемых в действующих школьных учебниках.

Вопросы для самопроверки:

1. Каково значение темы «Многоугольники» в школьном курсе геометрии?

2. Какие три содержательных блока можно выделить в данной теме?

3. Какие подходы к определению понятия «многоугольник» существуют в учебно-методической литературе?

4. Какую методическую схему изучения темы «Четырехугольники» можно составить?

5. Каковы методические особенности изучения признаков и свойств параллелограмма?

6. Приведите различные доказательства теоремы о сумме углов n – угольника и обоснуйте методическую ценность каждого из доказательств.

Литература: 4, 6, 7, 10, 14, 16, 17.

Тема 6. Геометрические преобразования в школьном курсе геометрии.

План.

1. Общая характеристика материала. Различные подходы к изучению геометрических преобразований в школе.

2. Методические особенности изложения отдельных вопросов.

3. Метод геометрических преобразований и возможности его использования при решении задач.

Содержание лекции:

1. Применение преобразований (а частности, движений) к установлению геометрических фактов связывают с именем Фалеса Милетского. Фалес с помощью перегибаний и поворотов чертежа показал справедливость таких фактов, как равенство вертикальных углов, равенство вписанного угла, опирающегося на диаметр окружности, прямому углу и т.д.

Мощный толчок развитию идеи геометрических преобразований, дал немецкий математик Феликс Клейн в своей Эрлангенской программе. По Клейну предмет геометрии составляет теория инвариантов некоторой группы геометрических преобразований каждой из которых соответствует своя ветвь геометрии.

С этих позиций геометрия, определяемая группой преобразований подобия, и является предметом изучения в средней школе.

Впервые значительное внимание этому материалу было уделено известным отечественным математиком и методистом А.Н. Колмогоровым. В его курсе геометрии (1968-1980) преобразования занимали центральное место и служили основой доказательства многих теорем.

В учебниках Погорелова и Атанасяна движения и преобразования подобия стали рассматриваться скорее как объект изучения, чем универсальный аппарат для решения задач.

Роль материала:

1) Введение в школьный курс линии геометрических преобразований позволило дать «аппаратное», «рабочее» истолкование равенства и подобия фигур. Если в учебнике Погорелова первоначально вводятся равные треугольники через равные элементы, то аналогичное определение равенства (подобия) для произвольных фигур ввести затруднительно – нужны геометрические преобразования. По Атанасяну же равенство вводилось через наложение, что не давало эффективного аппарата для решения задач на построение.

2) Геометрические преобразования позволили ввести в школьный курс динамику, преодолеть некоторую статичность традиционного синтетического подхода. При этом появилась возможность уделить особое внимание развитию определенных сторон пространственного воображения школьников.

3) Геометрические преобразования дают новый эффективный метод решения задач, позволяющий во многих случаях облегчить доказательство теорем и решения задач.

4) Геометрические преобразования способствуют реализации внутрипредметных связей с алгеброй (функциональная зависимость, преобразования графиков функций), межпредметных –с физикой (механическое поступательное движение и т.д.). отметим, что в физике исследуется в основном сам процесс движения, в геометрии – фиксированные положения фигуры, подвергшейся движению (исходное, конечное и иногда промежуточное).

5) Геометрические преобразования привносят в школьную математику эстетику, изящество. Идея симметрии – орнаменты, снежинки, архитектурные сооружения являются воплощением этой идеи, являясь одним из важнейших средств гуманитаризации обучения математике.

Теория геометрических преобразований в школе может быть построена традиционным – синтетическим, а так же аналитическим методами. Наибольшее распространение получил смешенный: аналитико-синтетический подход, использующийся в действующих учебниках. Это позволяет упростить изложение, а так же формировать у школьников представление о возможности использования различных способов задания геометрических преобразований.

В учебнике Погорелова (теоретико-групповой подход) материал представлен в виде двух отдельных тем: «Движения» (8 кл.) и «Преобразования подобия» (9 кл.). Обе темы начинаются с общих вопросов: вводится общее понятие, дается два общих групповых свойства, рассматриваются свойства этих видов преобразований, их виды и специфические свойства каждого вида.

Учебник Атанасяна (реально-практический подход) предусматривает вначале описательное знакомство с симметрией (8 кл.). В конце 9 класса рассматривается общее понятие движения и его свойства, затем отдельно изучаются параллельный перенос и поворот.

2. Рассмотрение частных видов движений осуществляется по следующему примерному плану:

1. Выполняется построение и одновременно проговаривается определение того или иного вида движений (определение – генетическое); вводятся сопутствующие понятия.

2. Предлагаются задания на построение фигур, полученных путем, воздействия движением на данные фигуры.

3. Неявно вводится тождественное преобразование как преобразование, переводящее фигуру саму в себя.

4. Упражнения на распознавание.

5. Доказательство того, что данное преобразование является движением (преобразованием подобия) обычно предваряется задачей на построение и последующее измерение или вычисление расстояний.

6. Доказательство специфических свойств данного вида преобразований.

При изучении преобразований подобия и признаков подобия треугольников можно порекомендовать использование аналогии с движениями. Это можно реализовать на вводной лекции введения понятия преобразования подобия и гомотетии. Одновременно повторяя пройденный материал по теме «Движения» и «Признаки равенства треугольников», учащиеся формулируют соответствующие утверждения, относящиеся к теме «Подобие». Все сведения заносятся в таблицу, и соответствующие факты затем доказываются.

С материалом о геометрических преобразованиях тесно связано рассмотрение признаков подобия треугольников, являющихся основой для решения большого количества задач в синтетической геометрии. Формулировка признаков подобия аналогична формулировке признаков равенства и может быть дана самими учениками в процессе выполнения соответствующих заданий исследовательского характера.

По учебнику Погорелова доказательство признаков подобия треугольников основывается на свойствах гомотетии и допускает использование одного и того же чертежа. Работа по доказательству всех признаков может осуществляться относительно единовременно, крупноблочно, со значительным участием самих учеников. Доказательство признаков подобия треугольников осуществляется последовательно (один признак вытекает из другого).

В частности, выписав соответствующие формулы для всех углов, получим пропорциональность соответствующих сторон.

Еще один подход, в соответствии с которым признаки подобия могут быть доказаны на основе теорем косинусов и синусов.

3. Геометрические преобразования лежат в основе мощного метода, значительно упрощающего решение многих задач планиметрии и стереометрии. Овладение этим методом предполагает сформированность у учащихся умений выполнять ряд специфических действий.

Умения:

1) Строить образы фигур при том или ином геометрическом преобразовании.

2) Распознавание точек и фигур, определяющих это преобразование.

3) Использование свойств преобразований для обоснования наличия определенного соотношения между рассматриваемыми геометрическими фигурами.

4) Выбор вида преобразования, который целесообразно использовать при решении данной конкретной задачи.

Овладение методом геометрических преобразований предусматривает несколько этапов:

1) подготовительный, 2) ознакомительный, 3) формирующий; 4) совершенствующий.

Задания для самостоятельной работы:

1) Обоснуйте выбор геометрического преобразования для решения следующих задач, и решить задачу выбранным методом.

2) Доказать признаки подобия треугольников с использованием теорем синусов и косинусов и продумать возможность использования данного подхода применительно и действующим школьным учебникам.

Вопросы для самопроверки:

1. В чем суть Эрлангенской программы Ф. Клейна?

2. Что является предметом изучения геометрии в средней школе с точки зрения Эрлангенской программы?

3. Какова роль материала о геометрических преобразованиях в школьном курсе?

4. Как представлена данная содержательная линия в действующих учебниках по геометрии?

5. Какова методическая схема изучения частных видов движений в школьном курсе?

6. Каковы методические особенности изучения преобразований подобия?

7. Опишите возможную методику изучения всех признаков подобия треугольников на одном уровне.

8. Докажите признаки подобия треугольников с использованием подходов, отличных от имеющихся в действующих учебниках.

9. Какие этапы овладения методом геометрических преобразований можно выделить? В чем суть каждого из этих этапов?

Литература: 4, 6, 7, 10, 14, 16, 17.

Вопросы для самопроверки.

1. Каковы основные задачи изучения курса стереометрии?

2. Что составляет содержание школьного курса стереометрии?

3. Перечислить основные методические особенности изучения курса стереометрии.

4. Что означает выражение «формирование пространственных представлений школьников»?

5. Какова схема формирования пространственных представлений на каждом из четырех этапов?

6. Какие требования обычно предъявляются и геометрическим чертежам?

Литература: 4, 6, 7, 10, 14, 16, 17.

Вопросы для самопроверки.

1. Какова основная цель изучения параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в курсе стереометрии?

2. Какие блоки можно выделить в материале о параллельности прямых и плоскостей в пространстве, перпендикулярности прямых и плоскостей.

3. Какую методическую схему изучения понятий этой темы можно использовать?

4. Какую методическую схему можно предложить для изучения теорем, выражающих признаки параллельности (перпендикулярности) прямых и плоскостей?

5. Какие задачи преобладают в учебниках при изучении данной темы?

Литература: 4, 6, 7, 14, 16.

 

Вопросы для самопроверки.

1. Какова роль материала о геометрических телах в школьном курсе геометрии?

2. Основная цель изучения этого материала.

3. Какие вопросы рассматриваются в действующих школьных учебниках?

4. Какие подходы к определению понятия «многогранник» можно выделить?

5. По какому единому плану осуществляется изложение материала о каждом геометрическом теле?

6. Выделить основные виды задач, имеющиеся в школьных учебниках по данной теме?

Литература: 4, 6, 7, 14, 16, 17.

 

Тема 1. Логическое строение школьного курса геометрии.

План.

1. Цели изучения и структура школьного курса геометрии.

2. Содержание пропедевтического курса геометрии в 5-6 классах.

3. Различные подходы к построению школьного курса геометрии (логическое строение).

Содержание лекции:

Изучение геометрии в школе преследует все цели обучения математике (обучающие, воспитательные, развивающие), но при этом выделяются некоторые специфические цели:

1) ознакомление учащихся с основными геометрическими фигурами и их свойствами;

2) показ практического приложения изучаемого материала к реальной действительности;

3) развитие логического мышления и пространственного воображения;

4) овладение навыками использования чертежных инструментов и развитие способности к техническому творчеству.