Тема 3. Изучение взаимного расположения прямых на плоскости. Параллельность и перпендикулярность прямых. 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Тема 3. Изучение взаимного расположения прямых на плоскости. Параллельность и перпендикулярность прямых.



План.

1. Цели изучения параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

2. Методика изучения параллельности прямых на плоскости в школьном курсе.

3. Изучение перпендикулярности прямых в курсе планиметрии.

Содержание лекции:

1. Выделим следующие основные цели изучения параллельности и перпендикулярности прямых в школьном курсе:

1) через аксиому параллельных в школьный курс вводится евклидова геометрия;

2) материал о параллельности и перпендикулярности необходим в дальнейшем для изучения тем «Четырехугольники», «Координаты», «Векторы», «Геометрические преобразования» и др.

3) позволяет более глубоко осознать роль аксиом при построении курса геометрии;

4) большое практическое значение (самостоятельно привести примеры).

2. В настоящее время практикуются два варианта изложения вопросов о параллельности и перпендикулярности.

1 вариант (учебник Л.С. Атанасяна – 7 класс).

Вначале рассматривается частный случай пересечения прямых – перпендикулярность прямых, затем в отдельную главу вынесен материал о параллельных.

2 вариант (учебник А.В. Погорелова).

Вопросы о параллельности и перпендикулярности прямых рассматриваются вперемежку друг с другом:

а) аксиома параллельных (§1),

б) перпендикулярные прямые (§2),

в) параллельные прямые, признаки параллельности прямых, свойства параллельных прямых, сумма углов треугольника (§4),

г) существование и единственность перпендикуляра к прямой (§4),

д) построение перпендикулярной прямой (§5),

е) 8 класс, тема «Четырехугольники» (§6), параллельный перенос – в теме «Движение» (§9).

При любом варианте изложения данного материала следует начать с вопроса о взаимном расположении двух прямых на плоскости. Это можно осуществить в виде эвристической беседы:

1. Могут ли две прямые иметь одну общую точку?

2. Могут ли две прямые иметь две общие точки?

3. Могут ли иметь бесконечное множество общих точек?

4. Могут ли не иметь общих точек?

Само определение параллельных прямых встречается в двух вариантах:

1) А.Н. Колмогоров: прямые параллельны, если они не пересекаются либо совпадают.

Погорелов, Атанасян: прямые параллельны, если они не пересекаются. После введения определения необходимо доказать существование параллельных прямых. В различных учебниках теорема существования рассматривается по-разному.

Колмогоров: после введения параллельных прямых доказывается теорема: «Центрально-симметричные прямые параллельны», а затем – аксиома параллельных.

Погорелов: в §4, сумма углов треугольника после признаков параллельности, сопоставляя утверждение задачи 8, решение которой рассматривается в учебнике и аксиомы IХ (акс. параллельных), приходят к выводу: «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую, и только одну».

В задаче 8 даны «прямая АВ и точка С, не лежащая на этой прямой. Докажите, что через точку С можно провести прямую, параллельную прямой АВ».

Атанасян: В вопросе о перпендикулярных прямых до аксиомы параллельности рассматривается важное следствие: «две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, не пересекаются». Таким образом, доказывается существование параллельных прямых.

Аксиома параллельных также формулируется по-разному. Если у Погорелова – «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной», а затем доказывается, что такая прямая есть, то у Атанасяна сразу принимается за аксиому, что через точку можно провести единственную прямую, параллельную данной, что является более целесообразным вариантом, поскольку это интуитивно и так понятно.

Методика изучения признаков параллельности прямых.

Вначале целесообразно выяснить вопрос: зачем нужны признаки параллельности? Дело в том, что определение не дает возможности проверки (установления) параллельности прямых. Невозможно на бесконечности проверить пересекаются ли прямые или нет. Поэтому и нужны специальные признаки, по которым можно судить о параллельности.

Первый признак – две прямые, параллельные третьей, параллельны» не вызывает сложностей у школьников.

Вспомнив необходимый материал, учащиеся решают задачу на построение двух прямых b и с, параллельных данной прямой а. выясняется, как соотносятся между собой прямые b и с. предположение противного сразу приводят к противоречию с аксиомой параллельных.

Следующие признаки связаны с рассмотрением углов, получаемых при пересечении двух прямых третьей.

После доказательства одного из признаков формулируются все остальные в виде самостоятельного задания для школьников (или устно).

Задачный материал по теме «Признаки параллельности прямых» целесообразно дополнить поисковыми заданиями без заранее данного чертежа, смысл которых состоит в правильности представления той или иной конфигурации, взгляд на проблему «со стороны». Их выполнение может быть осуществлено в виде лабораторной работы.

Например, задача.

1) Могут ли прямые АВ и СD быть параллельными? Ответ объяснить.

2) Внутренние односторонние углы при двух прямых а и b и секущей с равны α и . Могут ли а и b быть параллельны?

3) Прямые АВ и СD – параллельны. . Чему равен ?

Возможно использование более свободных по характеру выполнения заданий на составление задач по чертежу.

Например: используя рисунок, составьте несколько задач.

1) 2)

 

 

По рис.2: а) СЕ=ЕD, ВЕ=ЕF;

б) ;

в) ;

г) Как построить сумму АD + ВС?

Вопросы для самопроверки:

1. Какова роль материала о параллельных и перпендикулярных прямых в школьном курсе планиметрии?

2. С чего целесообразно начинать изучение этого материала в школьном курсе геометрии?

3. Какие варианты определения параллельных прямых встречаются в школьных учебниках?

4. Как решается вопрос о существовании параллельных прямых в действующих школьных учебниках геометрии?

5. Какие идеи лежат в основе доказательства признака параллельности прямых (через равенство накрест лежащих углов) в школьных учебниках?

Литература: 4, 6, 7, 14, 16, 17

 

Тема 4. Геометрические построения в курсе планиметрии. Методика обучения решению задач на построение.

План.

1. Роль и место геометрических построений в школьном курсе.

2. Методика обучения решению задач на построение.

3. Основные методы решения задач на построение в школьном курсе и некоторые рекомендации по их использованию.

Содержание лекции:

1) Задачи на построение – это задачи, в которых требуется построить некоторую геометрическую фигуру по заранее заданным данным с помощью ограниченного набора чертежных инструментов (чаще всего – линейки и циркуля).

Роль задач на построение в школьном курсе:

1. Способствует развитию воображения школьников, так как еще до решения данной задачи приходится отчетливо представить искомый образ.

2. Развивают конструктивные способности учащихся и закрепляют соответствующие чертежные навыки.

3. Анализ и исследование полученного решения, рассмотрение взаимосвязей между данными и искомыми элементами содействуют развитию логического мышления школьников, в частности – мыслительных операций: анализа, синтеза, абстрагирования; пробуждают их инициативу.

4. Способствуют прочному закреплению теоретического материала курса.

2) Тематическое планирование материала, связанного с геометрическими построениями, предполагает следующее его распределение по этапам:

1. Ознакомительный этап (1-4 кл.). Здесь школьники впервые знакомятся с чертежными инструментами – линейкой, циркулем, треугольником и решают простейшие задачи на построение прямой, отрезка, окружности, угла.

2. Пропедевтический этап (5-6 кл.). более значительное внимание к геометрическим построениям подготавливает учащихся к решению более сложных задач систематического курса. Используются линейка, циркуль, транспортир, треугольник. Рассматривается построение параллельных и перпендикулярных прямых с помощью угольника и линейки; треугольника с помощью линейки, циркуля и транспортира; окружности, квадрата, прямоугольника.

3. Систематический курс геометрии (7-11 кл.).

7 класс. Здесь впервые учащиеся встречаются с основным требованием, предъявляемым к геометрическим чертежам – все построения должны выполняться только при помощи циркуля и линейки. Это требование вытекает из двух постулатов Евклида в «Началах»: а) от всякой точки до всякой точки можно провести прямую; б) из всякого центра любым раствором циркуля можно описать круг. При этом возникает необходимость доказательства того, что построенная фигура удовлетворяет требованиям задачи. В 7 классе учащиеся знакомятся с элементарными задачами на построение, построение окружности, вписанной и описанной около треугольника; кроме того, учащиеся усваивают первый общий метод решения задач на построение – метод геометрических мест (метод пересечений).

8 класс. В теме «Четырехугольники» решаются соответствующие задачи на построение методом геометрических мест; в теме «Движения» – используются все виды движения для решения задач на построение; в теме «Декартовы координаты на плоскости» рассматриваются построения на координатной плоскости (построение прямой, окружности, точек пересечения).

9 класс. В теме «Подобные фигуры» - задачи на построение с использованием гомотетии и преобразования подобия; в теме «Правильные многоугольники» – задачи на построение вписанных и описанных правильных многоугольников.

(10-11 классы). В стереометрии рассматриваются два вида геометрических построений: а) воображаемые построения, основывающиеся только на аксиомах стереометрии (часто используются при решении конструктивных задач типа «Докажите, что через точку вне плоскости можно провести…»; б) построения на проекционном чертеже, когда указываются кроме точек фигуры их проекции на проекционной плоскости.

3) Решение задач на построение выполняет свои указанные выше функции лишь при условии, когда школьники отчетливо поймут и прочно усвоят известный процесс решения этих задач, состоящий из четырех этапов, с которыми учащиеся знакомятся еще в 7 классе:

1) анализ; 2) построение (синтез); 3) доказательство; 4)исследование.

Не все указанные этапы с самого начала обязательно должны явно присутствовать при решении задач на построение. В простейших конструктивных задачах, где алгоритм построения очевиден, допустимо не проводить анализ задачи в явном виде; если же доказательство непосредственно следует из построения, его можно также опустить (например, при построении в 7-8 классах обычно либо отсутствует, либо ограничивается проверкой выполнимости каждой операции и нахождением количества решений (если возможно).

Рассмотрим на примере следующей задачи на построение реализацию указанных этапов.

Задача. Построить треугольник по данному периметру и двум его внутренним углам α и γ.

4) После рассмотрения основных элементарных задач на построение, навыки, в решении которых обрабатываются до автоматизма, учащиеся приступают к знакомству с первым общим методом решения задач на построение, предварительно рассмотрев понятие геометрического места точек (Г.М.Т.). При введении понятия Г.М.Т. необходимо обратить внимание школьников на следующий факт: при определении того, является ли данная фигура геометрическим местом точек, обладающих определенным свойством, необходимо фактически проверить два взаимно обратных утверждения:

1) любая точка фигуры обладает указанным свойством;

2) любая точка, обладающая данным свойством принадлежит этой фигуре.

Метод геометрических мест сводится к отысканию некоторого множества точек, характеризуемого условием, имеющим вид конъюнкции , где Р1 (х) – фигура, удовлетворяющая первому условию, Р2 (х) – фигура, удовлетворяющая второму условию и т.д.

В качестве первой задачи, решаемой М.Г.М. целесообразно предложить школьникам задачу, уже известную им – построение треугольника по трем сторонам. Построив одну из заданных сторон, находим третью вершину, предварительно выделив условия, каким она удовлетворяет:

а) находится на расстоянии b от точки А (это окружность с центром в точке А и радиусом b);

б) на расстоянии а от точки В.

Точка С будет являться пересечением этих двух геометрических мест точек (окружностей). Правда, здесь надо еще одно Г.М.Т. рассмотреть – заданную полуплоскость относительно прямой АВ. Далее переходим к решению задач М.Г.М. типа№32: построить треугольник по стороне и проведенным к ней медиане и высоте.

Следующий метод задач на построение – метод координат (8 класс) или алгебраический метод. Он сводится к построению фигур на координатной плоскости, исходя из имеющихся уравнений этих фигур. У школьников он особых проблем не вызывает в силу его алгоритмичности, достаточно широкого знакомства с ним как на уроках алгебры, так и геометрии.

Пример: Построить геометрическое место точек плоскости, для которых .

Метод движений сводится к подбору такого движения, в результате которого образуется некоторая вспомогательная фигура, удовлетворяющая двум условиям:

1) она может быть построена по данным задачи;

2) она связана с искомой так, что ее построение обеспечивает построение искомой фигуры.

Наибольшие затруднения у школьников вызывают задачи на построение, решаемые методом подобия (9 кл.) хотя непосредственно таких задач немного, учителю следует в эвристической беседе при решении одной из задач на этапе анализа подвести школьников к выводу, что условие соответствующих задач целесообразно разбить на две части, одна из которых определяет «форму» искомой фигуры (то есть определяет ее с точностью до подобия), а другая – ее размеры. По первой части строят фигуру, подобную искомой, а затем преобразовывают ее в искомую с учетом второй части.

 

Вопросы для самопроверки:

1) Что такое задача на построение? Когда она считается решенной?

2) Какова роль задач на построение в школьном курсе?

3) Какие геометрические построения осуществляются в курсе математики: а) начальной школы; б) пропедевтическом курсе 5-6 классов; в) в систематическом курсе геометрии 7-11 классов?

4) В чем суть основных этапов решения задач на построение?

5) Какие основные методы решения задач на построение Вы знаете? В чем их сущность? Какие из этих методов используются в школьном курсе геометрии?

Литература: 4, 6, 7, 14, 16, 17

Дополнительно: Аргунов Б.И., Балк Т.Б. Геометрические построения на плоскости. Учпедгиз, 1955.

 

Тема 1. Методика изучения многоугольников в школьном курсе планиметрии.

План.

1. Роль материала о многоугольниках в обучении математике.

2. Обзор содержания материала о многоугольниках в школьном курсе математики.

3. Методические рекомендации по изучению многоугольников.

Содержание лекции:

Роль темы «Многоугольники» в обучении обусловлена следующим:

1. Многоугольники и их свойства непосредственно являются основным объектом изучения геометрии, позволяющим развить воображение учащихся.

2. Знания, умения и навыки, связанные с данной темой, необходимы для изучения смежных дисциплин (физики, черчения, труда и других) и в реальной жизни.

3. Учение о многоугольниках дает основу для использования соответствующего аппарата решения задач и доказательства теорем школьного курса стереометрии и естественным образом способствует развитию логического мышления.

4. Многоугольники являются полигоном для раскрытия материала о декартовых координатах, геометрических преобразованиях, векторах и др.

5. Материал важен в мировоззренческом аспекте, в историческом и прикладном ракурсах.

В систематическом курсе планиметрии материал о многоугольниках можно разбить на 3 основных блока.

1. Учение о треугольниках (7-8 классы) является базовым материалом всей темы, поскольку дальнейшее ее изучение основывается на применении различных свойств треугольников (в частности используются цепочки равных треугольников для доказательства равенства каких либо отрезков, углов при изучении многоугольников. К этому блоку относится следующий материал:

1) определение треугольника, сопутствующих понятий,

2) равнобедренный треугольник,

3) равенство треугольников, аксиома существования треугольника, равного данному,

4) зависимость между элементами треугольника,

5) подобие треугольников,

6) площадь треугольника,

7) комбинации треугольника с окружностью.

2. Учение о четырехугольниках (8 класс):

1) определение четырехугольника и сопутствующих понятий,

2) частные виды четырехугольников и их свойства (параллелограмм и его виды: прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция),

3) площади четырехугольников.

3. Учение о многоугольниках (9 класс).

1) общее понятие о многоугольниках,

2) правильные многоугольники и их построение,

3) комбинации правильных многоугольников с окружностью.

В учебнике А.В. Погорелов: сначала треугольники (7 класс), четырехугольники (8 класс), многоугольники (9 класс). Происходит постепенное обобщение материала, позволяющее учащимся последовательно установить естественные взаимосвязи между предыдущим и последующими темами.

В учебнике Л.С. Атанасяна смешанный подход: треугольники (7 класс), многоугольники (обзор, 8 класс), четырехугольники, правильные многоугольники (9 класс).

Само определение многоугольника (и его частных видов) производится в основном с двух позиций:

а) как одномерного объекта – простая замкнутая ломанная,

б) как двумерного объекта – плоского многоугольника, включающего в себя кроме простого многоугольника его внутреннюю область.

Оба подхода имеют как достоинства, и так и недостатки. Если мы вводим понятие многоугольника как одномерного объекта, то здесь имеем возможность вывести данное определение из основных понятий – точек и отрезков прямой, то есть четко показать преемственность вводимых понятий. Определяя же многоугольник как плоский, мы имеем возможность в дальнейшем рассмотреть сопутствующие элементы – медиану, высоту и биссектрису треугольника как объекты, принадлежащие треугольнику, а так же ввести понятие площади многоугольника.

Методические особенности изучения многоугольников рассмотрим на примере наиболее характерной темы данного материала «Четырехугольники»

Схема изучения данной темы:

1. Определение четырехугольника и выделение различных их видов.

2. Доказательства существования каждого вида.

3. Свойства и признаки каждого вида.

4. В конце изучения – классификация.

Изучение признаков и свойств параллелограмма связано с формулировкой необходимого и достаточного условия того, что четырехугольник является параллелограммом. Данный материал в учебнике А.В. Погорелова изучается вперемежку, по учебнику Л.С. Атанасяна сначала рассматриваются свойства, а затем признаки, как обратные теоремы. Свойства параллелограмма обычно вводятся с помощью практической работы вида: начертить ряд параллелограммов, измерить противолежащие стороны и углы. Сделать вывод.

В конце изучения темы целесообразно провести классификацию выпуклых четырехугольников, изучаемых в школе. Данная классификация зависит от того, как определить трапецию. Возможны два подхода:

1) трапеция, есть четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие непараллельны (Киселев, Погорелов, Атанасян). Здесь понятия трапеции и параллелограмма – несовместимы (объемы этих понятий не пересекаются)

2) трапеция, есть четырехугольник, у которого две стороны параллельны (Бескин Н.М.). здесь параллелограмм является одним из видов трапеции. Первое определение не позволяет последовательно рассмотреть цепочку частных видов четырехугольников, классификация четырехугольников при этом менее четкая логически.

При изучении материала о многоугольниках важное место занимает теорема о сумме углов выпуклого n – угольника.

В действующих школьных учебниках при доказательстве предлагают обычно разбить данный многоугольник на треугольники, соединив диагоналями одну из вершин (фиксированную) со всеми остальными вершинами.

Учитель может предложит другой способ разбиения n – угольника на треугольники, взяв точку О внутри многоугольника и соединив ее со всеми вершинами многоугольника.

Методически оправданы такие подходы при доказательстве теорем, которые отличны от подходов, используемых в действующих школьных учебниках.

Вопросы для самопроверки:

1. Каково значение темы «Многоугольники» в школьном курсе геометрии?

2. Какие три содержательных блока можно выделить в данной теме?

3. Какие подходы к определению понятия «многоугольник» существуют в учебно-методической литературе?

4. Какую методическую схему изучения темы «Четырехугольники» можно составить?

5. Каковы методические особенности изучения признаков и свойств параллелограмма?

6. Приведите различные доказательства теоремы о сумме углов n – угольника и обоснуйте методическую ценность каждого из доказательств.

Литература: 4, 6, 7, 10, 14, 16, 17.

Тема 6. Геометрические преобразования в школьном курсе геометрии.

План.

1. Общая характеристика материала. Различные подходы к изучению геометрических преобразований в школе.

2. Методические особенности изложения отдельных вопросов.

3. Метод геометрических преобразований и возможности его использования при решении задач.

Содержание лекции:

1. Применение преобразований (а частности, движений) к установлению геометрических фактов связывают с именем Фалеса Милетского. Фалес с помощью перегибаний и поворотов чертежа показал справедливость таких фактов, как равенство вертикальных углов, равенство вписанного угла, опирающегося на диаметр окружности, прямому углу и т.д.

Мощный толчок развитию идеи геометрических преобразований, дал немецкий математик Феликс Клейн в своей Эрлангенской программе. По Клейну предмет геометрии составляет теория инвариантов некоторой группы геометрических преобразований каждой из которых соответствует своя ветвь геометрии.

С этих позиций геометрия, определяемая группой преобразований подобия, и является предметом изучения в средней школе.

Впервые значительное внимание этому материалу было уделено известным отечественным математиком и методистом А.Н. Колмогоровым. В его курсе геометрии (1968-1980) преобразования занимали центральное место и служили основой доказательства многих теорем.

В учебниках Погорелова и Атанасяна движения и преобразования подобия стали рассматриваться скорее как объект изучения, чем универсальный аппарат для решения задач.

Роль материала:

1) Введение в школьный курс линии геометрических преобразований позволило дать «аппаратное», «рабочее» истолкование равенства и подобия фигур. Если в учебнике Погорелова первоначально вводятся равные треугольники через равные элементы, то аналогичное определение равенства (подобия) для произвольных фигур ввести затруднительно – нужны геометрические преобразования. По Атанасяну же равенство вводилось через наложение, что не давало эффективного аппарата для решения задач на построение.

2) Геометрические преобразования позволили ввести в школьный курс динамику, преодолеть некоторую статичность традиционного синтетического подхода. При этом появилась возможность уделить особое внимание развитию определенных сторон пространственного воображения школьников.

3) Геометрические преобразования дают новый эффективный метод решения задач, позволяющий во многих случаях облегчить доказательство теорем и решения задач.

4) Геометрические преобразования способствуют реализации внутрипредметных связей с алгеброй (функциональная зависимость, преобразования графиков функций), межпредметных –с физикой (механическое поступательное движение и т.д.). отметим, что в физике исследуется в основном сам процесс движения, в геометрии – фиксированные положения фигуры, подвергшейся движению (исходное, конечное и иногда промежуточное).

5) Геометрические преобразования привносят в школьную математику эстетику, изящество. Идея симметрии – орнаменты, снежинки, архитектурные сооружения являются воплощением этой идеи, являясь одним из важнейших средств гуманитаризации обучения математике.

Теория геометрических преобразований в школе может быть построена традиционным – синтетическим, а так же аналитическим методами. Наибольшее распространение получил смешенный: аналитико-синтетический подход, использующийся в действующих учебниках. Это позволяет упростить изложение, а так же формировать у школьников представление о возможности использования различных способов задания геометрических преобразований.

В учебнике Погорелова (теоретико-групповой подход) материал представлен в виде двух отдельных тем: «Движения» (8 кл.) и «Преобразования подобия» (9 кл.). Обе темы начинаются с общих вопросов: вводится общее понятие, дается два общих групповых свойства, рассматриваются свойства этих видов преобразований, их виды и специфические свойства каждого вида.

Учебник Атанасяна (реально-практический подход) предусматривает вначале описательное знакомство с симметрией (8 кл.). В конце 9 класса рассматривается общее понятие движения и его свойства, затем отдельно изучаются параллельный перенос и поворот.

2. Рассмотрение частных видов движений осуществляется по следующему примерному плану:

1. Выполняется построение и одновременно проговаривается определение того или иного вида движений (определение – генетическое); вводятся сопутствующие понятия.

2. Предлагаются задания на построение фигур, полученных путем, воздействия движением на данные фигуры.

3. Неявно вводится тождественное преобразование как преобразование, переводящее фигуру саму в себя.

4. Упражнения на распознавание.

5. Доказательство того, что данное преобразование является движением (преобразованием подобия) обычно предваряется задачей на построение и последующее измерение или вычисление расстояний.

6. Доказательство специфических свойств данного вида преобразований.

При изучении преобразований подобия и признаков подобия треугольников можно порекомендовать использование аналогии с движениями. Это можно реализовать на вводной лекции введения понятия преобразования подобия и гомотетии. Одновременно повторяя пройденный материал по теме «Движения» и «Признаки равенства треугольников», учащиеся формулируют соответствующие утверждения, относящиеся к теме «Подобие». Все сведения заносятся в таблицу, и соответствующие факты затем доказываются.

С материалом о геометрических преобразованиях тесно связано рассмотрение признаков подобия треугольников, являющихся основой для решения большого количества задач в синтетической геометрии. Формулировка признаков подобия аналогична формулировке признаков равенства и может быть дана самими учениками в процессе выполнения соответствующих заданий исследовательского характера.

По учебнику Погорелова доказательство признаков подобия треугольников основывается на свойствах гомотетии и допускает использование одного и того же чертежа. Работа по доказательству всех признаков может осуществляться относительно единовременно, крупноблочно, со значительным участием самих учеников. Доказательство признаков подобия треугольников осуществляется последовательно (один признак вытекает из другого).

В частности, выписав соответствующие формулы для всех углов, получим пропорциональность соответствующих сторон.

Еще один подход, в соответствии с которым признаки подобия могут быть доказаны на основе теорем косинусов и синусов.

3. Геометрические преобразования лежат в основе мощного метода, значительно упрощающего решение многих задач планиметрии и стереометрии. Овладение этим методом предполагает сформированность у учащихся умений выполнять ряд специфических действий.

Умения:

1) Строить образы фигур при том или ином геометрическом преобразовании.

2) Распознавание точек и фигур, определяющих это преобразование.

3) Использование свойств преобразований для обоснования наличия определенного соотношения между рассматриваемыми геометрическими фигурами.

4) Выбор вида преобразования, который целесообразно использовать при решении данной конкретной задачи.

Овладение методом геометрических преобразований предусматривает несколько этапов:

1) подготовительный, 2) ознакомительный, 3) формирующий; 4) совершенствующий.

Задания для самостоятельной работы:

1) Обоснуйте выбор геометрического преобразования для решения следующих задач, и решить задачу выбранным методом.

2) Доказать признаки подобия треугольников с использованием теорем синусов и косинусов и продумать возможность использования данного подхода применительно и действующим школьным учебникам.

Вопросы для самопроверки:

1. В чем суть Эрлангенской программы Ф. Клейна?

2. Что является предметом изучения геометрии в средней школе с точки зрения Эрлангенской программы?

3. Какова роль материала о геометрических преобразованиях в школьном курсе?

4. Как представлена данная содержательная линия в действующих учебниках по геометрии?

5. Какова методическая схема изучения частных видов движений в школьном курсе?

6. Каковы методические особенности изучения преобразований подобия?

7. Опишите возможную методику изучения всех признаков подобия треугольников на одном уровне.

8. Докажите признаки подобия треугольников с использованием подходов, отличных от имеющихся в действующих учебниках.

9. Какие этапы овладения методом геометрических преобразований можно выделить? В чем суть каждого из этих этапов?

Литература: 4, 6, 7, 10, 14, 16, 17.



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 1587; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 54.211.203.45 (0.133 с.)