Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5
Рассмотрим несколько векторов . Линейной комбинацией данных векторов называется любой вектор вида , где - некоторые числа. Числа называются коэффициентами линейной комбинации. Говорят также, что в этом случае линейно выражается через данные векторы , т.е. получается из них с помощью линейных действий. Например, если даны три вектора то в качестве их линейной комбинации можно рассматривать векторы: Если вектор представлен как линейная комбинация каких-то векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам. Векторы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не все равные нулю, что . Ясно, что заданные векторы будут линейно зависимыми, если какой-либо из этих векторов линейно выражается через остальные. В противном случае, т.е. когда соотношение выполняется только при , эти векторы называются линейно независимыми. Теорема 1. Любые два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. Доказательство:
Таким образом, теорема утверждает, что линейно независимыми на плоскости могут быть только те векторы, которые неколлинеарны. Аналогично можно доказать следующую теорему. Теорема 2. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны. Доказательство.
Отнесём векторы и к одному началу и проведём через них плоскость. Тогда и будут лежать в той же плоскости, а потому и их сумма, т.е. будет лежать в той же плоскости, т.е. – компланарны.
Если векторы и не коллинеарны, то очевидно, вектор можно предствить в виде . Действительно из рисунка видно, что , где и , а значит найдутся числа и такие, что .
Если же вектор коллинеарен вектору , то один из них линейно выражен через другой, т.е. . Что и требовалось доказать. Таким образом, три некомпланарных вектора всегда линейно независимы. Кроме того, можно показать, что каждые четыре вектора линейно зависимы. БАЗИС Базисом называется совокупность отличных от нулей линейно независимых векторов. Элементы базиса будем обозначать . В предыдущем пункте мы видели, что два неколлинеарных вектора на плоскости линейно независимы. Поэтому согласно теореме 1, из предыдущего пункта, базисом на плоскости являются любые два неколлинеарных вектора на этой плоскости. Аналогично в пространстве линейно независимы любые три некомпланарных вектора. Следовательно, базисом в пространстве назовём три некомпланарных вектора. Справедливо следующее утверждение. Теорема. Пусть в пространстве задан базис . Тогда любой вектор можно представить в виде линейной комбинации , где x, y, z – некоторые числа. Такое разложение единственно. Доказательство.
Допустим, что возможны два представления вектора и . Причём, например, . Тогда должны иметь , т.к. иначе мы имели бы две прямые, проходящие через точку A1 параллельно . Из последнего равенства вытекает, что . Получили противоречие с нашим предположением, что и доказывает теорему.
В качестве частного случая из этой же теоремы можно сформировать следующее утверждение: Если задан базис на плоскости, то любой вектор, компланарный с векторами можно представить в виде , причём такое разложение единственно. Таким образом, базис позволяет однозначно сопоставить каждому вектору тройку чисел – коэффициенты разложения этого вектора по векторам базиса: . Верно и обратное, каждой тройке чисел x, y, z при помощи базиса можно сопоставить вектор, если составить линейную комбинацию . Если базис и , то числа x, y, z называются координатами вектора в данном базисе. Координаты вектора обозначают .
ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ
|
||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; просмотров: 1149; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.144.212.145 (0.012 с.) |