Представление комплексных чисел

Алгебраическая форма

Запись комплексного числа z в виде x + iy, , называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что i ² = − 1):

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i (b + d);

Тригонометрическая и показательная формы

Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r = | z | и аргумент (x = r cos φ, y = r sin φ), то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

z = r (cos φ + i sin φ).

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:

z = re^{i φ},

где e^{i φ} — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел

Основная статья: Формула Муавра

Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника)

Эта формула позволяет возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

zⁿ = [ r (cos φ + i sin φ)] ⁿ = rⁿ (cos n φ + i sin n φ),

где r — модуль, а — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведенная формуле справедлива при любом целом n, не обязательно положительном.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n -ой степени из ненулевого комплексного числа:

z ^{1 / n} = [ r (cos(φ + 2π k) + i sin(φ + 2π k))]^{1 / n} =

Отметим, что корни n -й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n -угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат (см. рисунок).

ТЕМА 1. Векторная алгебра

Основные понятия

Определение. Множеством называется совокупность объектов любой природы, которые объединены в одну группу (систему, совокупность) по тем или иным признакам (множество городов, множество положительных чисел, множество студентов, множество действительных чисел и т.д.).
Принадлежность элемента х множеству Х обозначается: х є Х.
Способы записи множеств: А={х₁, х₂,…, х_n}, А= {1, 2, 3, …,10}, А= {а є R | |a| ≥1}, Х = {х: |x-a|≤b}.
Определение. Множество U образует линейное пространство, если для любых двух его элементов є U и є U определены операция сложения: и операция умножения любого элемента на число: , удовлетворяющие свойствам:
1) ,
2) ,
3) ,
4) ,
5) ,
6) ,
7) ,
8) ,
где , – нулевой элемент , а коэффициенты α, β, λ, 1 – действительные числа.
Определение. Вектором размерности n называется упорядоченный набор из n действительных чисел. Будем записывать вектор в виде , где - координаты вектора. Размерность вектора определяется числом его координат и является его отличительной характеристикой. Векторы равны, если они одной размерно-сти и имеют равные соответствующие координаты: (2,3,5) = (2,3,5). Нуль-вектор = (0,0,…,0) не следует путать с числом нуль.
Определение. Множество всех векторов размерности n называется арифметическим n -мерным векторным пространством и обозначается Rⁿ.
Экономические величины являются многофакторными (многомерными), и n -мерные векторы служат удобной формой их представления. Например, некоторый набор товаров различных сортов можно охарактеризовать вектором , а соответствующие цены – вектором .

2. Действия над n -мерными векторами

Пусть даны векторы и .
Определение. Суммой векторов и называется вектор , т.е. при сложении векторов их соответствующие координаты складываются: (2, –4) + (–2, 4) = (0, 0); (3,0,1) + (0,1,4)+(–1, –7,0) = (2, –6,5).
Определение. Произведением вектора на число называется вектор т.е. при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число.
Можно проверить, что введенные таким образом операции над векторами удовлетворяют всем свойствам операций в линейном пространстве. Следовательно, арифметическое n -мерное пространство R ⁿ является частным случаем введенного ранее линейного пространства.
Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное сумме произведений соответствующих координат векторов:
Пример: Пусть и .
Тогда .
Скалярное произведение обладает следующими свойствами:
1. , причем , только при
2. ,
3. ,
4. .
Определение. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно 0, т.е. .
Пример. Пусть Тогда ортогональны.
Определение. Линейное пространство с введенным скалярным произведением называется евклидовым n -мерным пространством.
Примеры:
1. Множество трехмерных векторов R³.
2. Множество двумерных векторов R².
3. Множество R¹ = R – множество действительных чисел.