Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Определение критериев подобия при известном

Поиск

математическом описании

Пусть объект описывается уравнением (уравнение – размерная величина).

Любую размерную величину можно представить в виде произведения степенного комплекса размерной величины и безразмерной функции этих же величин.

Ф(p1p2…pn) = 0

Из свойств степенных комплексов безразмерная функция размерных величин может быть представлена в виде функции безразмерных степенных комплексов:

Ф(p1p2…pn) = j(p1p2…pn), где j(p1p2…pn) = 0 критериальное уравнение.

Если математическое описание группы заведомо подобных процессов известно и выглядит, например, как линейное дифференциальное уравнение,

(3.1)

решение которого (общий интеграл имеет вид):

(3.2)

Для конкретного процесса uc(t) изменения напряжения uc во времени t на конденсаторе С в последовательной цепи из конденсатора и активного сопротивления R, которая включается на постоянное напряжение Е, при нулевых начальных условиях. При различных значениях R, C, и Е процессы uc(t) заведомо будут иметь качественно одинаковый характер, что позволяет рассматривать их как группу подобных процессов. Переходный процесс описывается линейным дифференциальным уравнением:

(3.1а)

Решение которого имеет вид:

(3.2а)

Согласно правилу Фурье все члены уравнения, описывающего какой - либо физический процесс, имеют одинаковую размерность. Поэтому уравнение можно привести к безразмерному виду, если разделить его на один из членов, здесь uc:

,

если обозначить и , то формула примет вид:

(3.3а)

Для подобных процессов соотношения пропорциональности справедливы и для «точечных» значений и для малых отклонений от этих параметров D:

mu = u1c / u2c = Du1c / Du2c; mt = t1 / t2 = Dt1 / Dt2 (3.4a).

С учетом (3.4a) можно записать p1’ и p2’ в виде:

(3.5а)

Выражения для p1 и p2, имеющие вид безразмерных степенных комплексов параметров, характеризующих рассматриваемый процесс, называются критериями подобия; критерии подобия численно одинаковы для сходственных точек подобных процессов.

Аналогично приводится к безразмерному виду (3.1) путем деления на первый член:

(3.3)

Преобразования аналогичные (3.5а), с учетом (3.4а) позволяют получить для (3.3) систему критериев подобия вида:

(3.4)

P1,..., Pm - параметры рассматриваемого процесса, (Pi = x); cj, aj,..., w j - безразмерные числа, принимающие некоторые действительные, в том числе нулевые, значения.

Критерии подобия имеют вид безразмерных степенных комплексов параметров, которые характеризуют процесс.


Пример: Пусть процесс, происходящий в цепи представленной на рис.11 описывается уравнением:

Рис. 11 График процесса, происходящего в цепи

1 .

Тогда параметры, описывающие систему L, c, R, ω, i, u, t, и .

С точки зрения подобия (для вывода критерия подобия)

; .

Замена называется “способ интегральных оценок”.

 

Способ интегральных оценок - способ определения критериев подобия по известному математическому описанию процесса путем приведения его к безразмерному виду, при котором символы дифференцирования и интегрирования в выражениях для определения критериев подобия опускаются.

Вообще, существует две системы критериев подобия: первая - получаемая из дифференциального уравнения, вторая - из решения (общего интеграла) дифференциального уравнения. Однако обе системы критериев подобия идентичны, т.к. имеют одинаковый физический смысл.

Таким образом, интеграл дифференциального уравнения можно представить в виде функции критериев подобия, но при этом констатируется только факт возможности получения такой зависимости, вид связей критериев не устанавливается.

Следовательно, в описании системы - лишние параметры, тогда полный набор параметров P = {i, u, t, L, c, R, ω}, n=7.

Для определения количества критериев запишем размерность каждого параметра через основные единицы измерения L, M, T, I:

откидываем как независимую строку

(т.к. ранг матрицы определяется количеством независимых параметров).

Откидываем как зависимые строки: (6) [(4)-(3) = (6)], [(2)-(1).3+(3)=(4)],

а также 2-ой столбец, тогда максимальный возможный ранг матрицы = 3.

Так как определитель матрицы ≠ 0, тогда ранг матрицы 3, соответственно количество независимых параметров k = 3, тогда количество критериев

m = (n-k) = (7-3) = 4.

Исходное уравнение перепишем с учетом способа интегральных оценок:

,

где каждое из слагаемых имеет одинаковую размерность.

Поделим уравнение на 2-ое слагаемое, получим:

,

тогда критерии имеют вид:

Критериальное уравнение:

 

Определение критериев подобия с использованием теории размерности

(при неизвестном математическом описании)

1 шаг: Выявление параметров Рi, характеризующих процесс, .

2 шаг: Составление полной матрицы размерности параметров Рi (матрица А).

3 шаг: Определение количества зависимых и независимых параметров (k, m = n-k).

4 шаг: Любой зависимый параметр может быть представлен как

2 .

Если неизвестны математические описания процессов, критерии также можно получить. Для этого функциональную зависимость, полученную из эксперимента или расчета и имеющую в размерных физических величинах P1,..., Pj,..., Pm вид:

F(P1,..., Pj,..., Pm) = 0

Или, для рассмотренного примера F(uc, t, R, C, E) = 0 можно представить как

Fp(p1, p2,..., pm-k)

или

Fp(p1 = RC/t, p2, = E/uc) = 0,

где p1, p2,..., pm- k - критерии подобия.

Для определения критериев подобия в данном случае применяется метод анализа размерностей физических величин Pj, определяющих характер процесса. Возможность установления критериев подобия, когда вид функциональной зависимости неизвестен, создает предпосылки для представления данных экспериментального исследования в обобщенной форме и распространения результатов единичного эксперимента на группу или класс подобных процессов.

Допустим, что в качестве основных единиц измерения выбраны [a b …q], тогда

размерность 1-го параметра ,

2-го параметра ,

 

n-го параметра , где l- количество единиц измерения.

Рассмотрим уравнение 2 с точки зрения размерности.

- уравнение для p1,

где - известные, - неизвестные величины.

 

g1 = a1x1 + b1y1 +… + s1z1

g2 = a2x1 + b2y1 +… + s2z1


gl = alx1 + bly1 +… + slz1

Решив эти уравнения, находим критерии подобия по формулам:

, , … .

 

Пример: Математическое описание не известно.

1.Определим по методике вектор параметров

2,3 пункты см. выше k =3, m =4.

Группа независимых параметров (можно выбрать любые): [ U, R, c ].

Группа зависимых параметров [ I, t, L, w ].

По формуле находим 4 критерия подобия:

 

, , , .

Определим p1:

Получим систему уравнений

 


2x1 + 2y1 - 2z1 = 0 – степени при L

x1 + y1 - z1 = 0 – при M

-3x1 - 3y1 + 4z1 = 0 – при T

-x1 - 2y1 + 2z1 = 1 – при I

 

Так как 1 и 2 уравнения зависимые, то получим следующую совместную систему:

x1 + y1 - z1 = 0 x1 = 1

-3x1 3y1 + 4z1 = 0 Þ y1 = -1

-x1 - 2y1 + 2z1 = 1 z1 = 0

 

Определим p2:

Получим систему уравнений

 


2x2 + 2y2 - 2z2 = 0

x2 + y2 - z2 = 0

-3x2 - 3y2 + 4z2 = 1

-x2 - 2y2 + 2z2 = 0

 

Так как 1 и 2 уравнения зависимые, то получим следующую совместную систему:

 

x2 + y2 - z2 = 0 x2 = 0

-3x2 3y2 + 4z2 = 1 Þ y2 = 1

-x2 - 2y2 + 2z2 = 0 z2 = 1

 

Определим p3:

Получим систему уравнений

 


2x3 + 2y3 - 2z3 = 2

x3 + y3 - z3 = 1

-3x3 - 3y3 + 4z3 = -2

-x3 - 2y3 + 2z3 = -2

 

Так как 1 и 2 уравнения зависимые, то получим следующую совместную систему:

 

x3 + y3 - z3 = 1 x3 = 0

-3x3 3y3 + 4z3 = -2 Þ y3 = 2

-x3 - 2y3 + 2z3 = -2 z3 = 1

 

Определим p4:

Получим систему уравнений

 


2x4 + 2y4 - 2z4 = 0

x4 + y4 - z4 = 0

-3x4 - 3y4 + 4z4 = -1

-x4 - 2y4 + 2z4 = 0

 

Так как 1 и 2 уравнения зависимые, то получим следующую совместную систему:

 

x4 + y4 - z4 = 0 x4 = 0

-3x4 - 3y4 + 4z4 = -1 Þ y4 = -1

-x4 - 2y4 + 2z4 = 0 z4 = -1

 

Найдем виды критериев по формуле:

,

1) x1 = 1, y1 = -1, z1 = 0

2) x2 = 0, y2 = 1, z2 = 1

3) x3 = 0, y3 = 2, z3 = 1

4) x4 = 0, y4 = -1, z4 = -1

.

 

Рассмотренные положения относятся к случаю заведомо подобных процессов, т.е. определяют необходимые условия существования подобия. В связи с этим возникает вопрос об условиях, не только необходимых, но и достаточных для существования подобия. Такие обстоятельства, кроме равенства критериев, включают в себя требования подобия начальных и граничных условий сопоставляемых процессов.

Положения относительно необходимых и достаточных условий подобия изложены в виде первой, второй и третьей теорем о подобии, первые две - определяют необходимые, третья - необходимые и достаточные условия подобия.

 

Основные теоремы теории подобия

 

Теория подобия включает три основные теоремы: 1-ая теорема подобия (Теорема Ньютона-Бертранса) о небходимом условии подобия, 2-ая теорема подобия (Пи-теорема), 3-ая теорема подобия (Теорема Кирпичова-Гухмана) о необходимом и достаточном условии подобия.



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 300; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.222.98.91 (0.007 с.)