Определение критериев подобия при известном

математическом описании

Пусть объект описывается уравнением (уравнение – размерная величина).

Любую размерную величину можно представить в виде произведения степенного комплекса размерной величины и безразмерной функции этих же величин.

Ф(p₁p₂…p_n) = 0

Из свойств степенных комплексов безразмерная функция размерных величин может быть представлена в виде функции безразмерных степенных комплексов:

Ф(p₁p₂…p_n) = j(p₁p₂…p_n), где j(p₁p₂…p_n) = 0 критериальное уравнение.

Если математическое описание группы заведомо подобных процессов известно и выглядит, например, как линейное дифференциальное уравнение,

(3.1)

решение которого (общий интеграл имеет вид):

(3.2)

Для конкретного процесса u_c(t) изменения напряжения u_c во времени t на конденсаторе С в последовательной цепи из конденсатора и активного сопротивления R, которая включается на постоянное напряжение Е, при нулевых начальных условиях. При различных значениях R, C, и Е процессы u_c(t) заведомо будут иметь качественно одинаковый характер, что позволяет рассматривать их как группу подобных процессов. Переходный процесс описывается линейным дифференциальным уравнением:

(3.1а)

Решение которого имеет вид:

(3.2а)

Согласно правилу Фурье все члены уравнения, описывающего какой - либо физический процесс, имеют одинаковую размерность. Поэтому уравнение можно привести к безразмерному виду, если разделить его на один из членов, здесь u_c:

,

если обозначить и , то формула примет вид:

(3.3а)

Для подобных процессов соотношения пропорциональности справедливы и для «точечных» значений и для малых отклонений от этих параметров D:

mu = u_1c / u_2c = Du_1c / Du_2c; m_t = t₁ / t₂ = Dt₁ / Dt₂ (3.4a).

С учетом (3.4a) можно записать p₁’ и p₂’ в виде:

(3.5а)

Выражения для p₁ и p₂, имеющие вид безразмерных степенных комплексов параметров, характеризующих рассматриваемый процесс, называются критериями подобия; критерии подобия численно одинаковы для сходственных точек подобных процессов.

Аналогично приводится к безразмерному виду (3.1) путем деления на первый член:

(3.3)

Преобразования аналогичные (3.5а), с учетом (3.4а) позволяют получить для (3.3) систему критериев подобия вида:

(3.4)

P₁,..., P_m - параметры рассматриваемого процесса, (P_i = x); c_j, a_j,..., w _j - безразмерные числа, принимающие некоторые действительные, в том числе нулевые, значения.

Критерии подобия имеют вид безразмерных степенных комплексов параметров, которые характеризуют процесс.

Пример: Пусть процесс, происходящий в цепи представленной на рис.11 описывается уравнением:

Рис. 11 График процесса, происходящего в цепи

1 .

Тогда параметры, описывающие систему L, c, R, ω, i, u, t, и .

С точки зрения подобия (для вывода критерия подобия)

; .

Замена называется “способ интегральных оценок”.

 

Способ интегральных оценок - способ определения критериев подобия по известному математическому описанию процесса путем приведения его к безразмерному виду, при котором символы дифференцирования и интегрирования в выражениях для определения критериев подобия опускаются.

Вообще, существует две системы критериев подобия: первая - получаемая из дифференциального уравнения, вторая - из решения (общего интеграла) дифференциального уравнения. Однако обе системы критериев подобия идентичны, т.к. имеют одинаковый физический смысл.

Таким образом, интеграл дифференциального уравнения можно представить в виде функции критериев подобия, но при этом констатируется только факт возможности получения такой зависимости, вид связей критериев не устанавливается.

Следовательно, в описании системы - лишние параметры, тогда полный набор параметров P = {i, u, t, L, c, R, ω}, n=7.

Для определения количества критериев запишем размерность каждого параметра через основные единицы измерения L, M, T, I:

откидываем как независимую строку

(т.к. ранг матрицы определяется количеством независимых параметров).

Откидываем как зависимые строки: (6) [(4)-(3) = (6)], [(2)-(1).3+(3)=(4)],

а также 2-ой столбец, тогда максимальный возможный ранг матрицы = 3.

Так как определитель матрицы ≠ 0, тогда ранг матрицы 3, соответственно количество независимых параметров k = 3, тогда количество критериев

m = (n-k) = (7-3) = 4.

Исходное уравнение перепишем с учетом способа интегральных оценок:

,

где каждое из слагаемых имеет одинаковую размерность.

Поделим уравнение на 2-ое слагаемое, получим:

,

тогда критерии имеют вид:

Критериальное уравнение:

 

Определение критериев подобия с использованием теории размерности

(при неизвестном математическом описании)

1 шаг: Выявление параметров Р_i, характеризующих процесс, .

2 шаг: Составление полной матрицы размерности параметров Р_i (матрица А).

3 шаг: Определение количества зависимых и независимых параметров (k, m = n-k).

4 шаг: Любой зависимый параметр может быть представлен как

2 .

Если неизвестны математические описания процессов, критерии также можно получить. Для этого функциональную зависимость, полученную из эксперимента или расчета и имеющую в размерных физических величинах P₁,..., P_j,..., P_m вид:

F(P₁,..., P_j,..., P_m) = 0

Или, для рассмотренного примера F(u_c, t, R, C, E) = 0 можно представить как

F_p(p₁, p₂,..., p_m-k)

или

F_p(p₁ = RC/t, p₂, = E/u_c) = 0,

где p₁, p₂,..., p_{m- k} - критерии подобия.

Для определения критериев подобия в данном случае применяется метод анализа размерностей физических величин P_j, определяющих характер процесса. Возможность установления критериев подобия, когда вид функциональной зависимости неизвестен, создает предпосылки для представления данных экспериментального исследования в обобщенной форме и распространения результатов единичного эксперимента на группу или класс подобных процессов.

Допустим, что в качестве основных единиц измерения выбраны [a b …q], тогда

размерность 1-го параметра ,

2-го параметра ,

 

n-го параметра , где l- количество единиц измерения.

Рассмотрим уравнение 2 с точки зрения размерности.

- уравнение для p₁,

где - известные, - неизвестные величины.

 

g₁ = a₁x₁ + b₁y₁ +… + s₁z₁

g₂ = a₂x₁ + b₂y₁ +… + s₂z₁

g_l = a_lx₁ + b_ly₁ +… + s_lz₁

Решив эти уравнения, находим критерии подобия по формулам:

, , … .

 

Пример: Математическое описание не известно.

1.Определим по методике вектор параметров

2,3 пункты см. выше k =3, m =4.

Группа независимых параметров (можно выбрать любые): [ U, R, c ].

Группа зависимых параметров [ I, t, L, w ].

По формуле находим 4 критерия подобия:

 

, , , .

Определим p₁:

Получим систему уравнений

 

2x₁ + 2y₁ - 2z₁ = 0 – степени при L

x₁ + y₁ - z₁ = 0 – при M

-3x₁ - 3y₁ + 4z₁ = 0 – при T

-x₁ - 2y₁ + 2z₁ = 1 – при I

 

Так как 1 и 2 уравнения зависимые, то получим следующую совместную систему:

x₁ + y₁ - z₁ = 0 x₁ = 1

-3x₁ 3y₁ + 4z₁ = 0 Þ y₁ = -1

-x₁ - 2y₁ + 2z₁ = 1 z₁ = 0

 

Определим p₂:

Получим систему уравнений

 

2x₂ + 2y₂ - 2z₂ = 0

x₂ + y₂ - z₂ = 0

-3x₂ - 3y₂ + 4z₂ = 1

-x₂ - 2y₂ + 2z₂ = 0

 

Так как 1 и 2 уравнения зависимые, то получим следующую совместную систему:

 

x₂ + y₂ - z₂ = 0 x₂ = 0

-3x₂ 3y₂ + 4z₂ = 1 Þ y₂ = 1

-x₂ - 2y₂ + 2z₂ = 0 z₂ = 1

 

Определим p₃:

Получим систему уравнений

 

2x₃ + 2y₃ - 2z₃ = 2

x₃ + y₃ - z₃ = 1

-3x₃ - 3y₃ + 4z₃ = -2

-x₃ - 2y₃ + 2z₃ = -2

 

Так как 1 и 2 уравнения зависимые, то получим следующую совместную систему:

 

x₃ + y₃ - z₃ = 1 x₃ = 0

-3x₃ 3y₃ + 4z₃ = -2 Þ y₃ = 2

-x₃ - 2y₃ + 2z₃ = -2 z₃ = 1

 

Определим p₄:

Получим систему уравнений

 

2x₄ + 2y₄ - 2z₄ = 0

x₄ + y₄ - z₄ = 0

-3x₄ - 3y₄ + 4z₄ = -1

-x₄ - 2y₄ + 2z₄ = 0

 

Так как 1 и 2 уравнения зависимые, то получим следующую совместную систему:

 

x₄ + y₄ - z₄ = 0 x₄ = 0

-3x₄ - 3y₄ + 4z₄ = -1 Þ y₄ = -1

-x₄ - 2y₄ + 2z₄ = 0 z₄ = -1

 

Найдем виды критериев по формуле:

,

1) x₁ = 1, y₁ = -1, z₁ = 0

2) x₂ = 0, y₂ = 1, z₂ = 1

3) x₃ = 0, y₃ = 2, z₃ = 1

4) x₄ = 0, y₄ = -1, z₄ = -1

.

 

Рассмотренные положения относятся к случаю заведомо подобных процессов, т.е. определяют необходимые условия существования подобия. В связи с этим возникает вопрос об условиях, не только необходимых, но и достаточных для существования подобия. Такие обстоятельства, кроме равенства критериев, включают в себя требования подобия начальных и граничных условий сопоставляемых процессов.

Положения относительно необходимых и достаточных условий подобия изложены в виде первой, второй и третьей теорем о подобии, первые две - определяют необходимые, третья - необходимые и достаточные условия подобия.

 

Основные теоремы теории подобия

 

Теория подобия включает три основные теоремы: 1-ая теорема подобия (Теорема Ньютона-Бертранса) о небходимом условии подобия, 2-ая теорема подобия (Пи-теорема), 3-ая теорема подобия (Теорема Кирпичова-Гухмана) о необходимом и достаточном условии подобия.