Определение критериев подобия процессов, описываемых уравнениями, содержащими неоднородные функции

 

Если часть членов уравнения, описывающего рассматриваемый процесс, неоднородные функции, то масштабные коэффициенты нельзя вынести за знак функции и, следовательно, преобразования приведенные выше - невозможны. В этих случаях у подобных процессов должны быть равны аргументы неоднородных функций.

Уравнения будут тождественны, если

exp [(-R₁/L₁)t₁] = exp [(-R₂/L₂)t₂],

т.е. если

.

Т.е. необходимо потребовать равенства показателей степеней экспоненциальных (неоднородных) функций и принять этот показатель степени в качестве критерия подобия, т.е.:

p₁^’ = R₁t₁/L₁ = R₁t₁/L₁.

После преобразования уравнений для i₁(t) и i₂(t) к безразмерному виду критериями подобия сопоставляемых процессов будут:

,

или, если принять p₁ = (p₁^’)^-1, то как и ранее

,

что и следовало ожидать, так как рассматриваются различные формы математического описания одного и того же физического процесса.

Аналогично для уравнений содержащих тригонометрические функции

если , т.е. необходимо ввести дополнительный критерий подобия

p_доп. = wt.

Преобразование критериев подобия

Возможность преобразования критериев подобия - их важное практическое свойство.

Определение: критерии подобия процесса, представленные в какой-либо форме записи, могут быть преобразованы в критерии подобия иной формы записи посредством перемножения или деления их, возведения в степень или умножения на любой постоянный коэффициент k.

Если, например, совокупность критериев подобия p₁, p₂,...,p_k,..., p_k+j,..., p_m, полностью описывает некоторый физический процесс, то и совокупность критериев подобия p₁^’ = kp₁, p₂^’ = p₂^-1,..., p_k^’ = p_k p_k+j, p^’_k+j = p_k+j/p_m,..., p^’_m = (p_m)^k также будет полностью характеризовать этот процесс, т.к. при

p₁ = idem,..., p₂ = idem,..., p_k = idem,..., p_k+j = idem,..., p_m = idem.

p₁^’ = kp₁ = idem, p₂^’ = 1/p₂ = p₂^-1 = idem,..., p_k^’ = p_k p_k+j = idem,..., p^’_k+j = p_k+j/p_m = idem,..., p^’_m = (p_m)^k = idem.

 

Методика определения критериев подобия способом

Интегральных аналогов

Для определения критериев подобия из уравнения процесса, содержащего n членов, способом интегральных аналогов, необходимо разделить все члены уравнения на какой-либо из них, опустить символы связи между членами уравнения, символы дифференцирования и интегрирования, а также неоднородные функции; к полученным в результате n-1 критериям подобия следует добавить а дополнительных критериев - аргументов неоднородных функций, входящих в члены уравнения.

Общее число критериев подобия, найденных способом интегральных аналогов,

K_j = (n - 1) + a.

Число возможных форм записи n-1 основных критериев, получаемых приведением уравнения к безразмерному виду, равно числу членов уравнения F_j = n.

 

Методика определения критериев подобия способом интегральных аналогов на примере переходного процесса i(t) в последовательной цепи из активного сопротивления R, индуктивности L, конденсатора С, которая включается на напряжение u, меняющееся во времени по синусоидальному закону с угловой скоростью w, уравнение процесса имеет вид:

(3.20)

I. Записать исходное уравнение в виде

II. Опустить символы связи «+», «-» и «=» между членами уравнения:

III. Исключить из выражения для j ₁,..., j_m неоднородные функции, приняв в качестве дополнительных критериев подобия значения их аргументов:

j ₄ = u sin w t ® sin w t ® p_доп= w t; j ^*₄ = u.

IV. Опустить символы дифференцирования, интегрирования, символы grad, div и т.д.

V. Заменить члены уравнения j_i и j_J, преобразованные на этапах III и IV, их аналогами j^*_i, j^*_J и записать выражения для j ₁,..., j^*_i,..., j^*_J,..., j _m:

 

VI. Разделить j ₁,..., j^*_i, j^*_J,..., j _m на какой-либо из них и записать выражения для основных критериев подобия в одной из возможных форм записи:

VII. Дополнить полученную систему основных критериев подобия критериями подобия, полученными на этапе III:

(3.21а)

VIII. Преобразовать (в случае необходимости) полученные выражения для критериев подобия в иную (более удобную по условиям конкретной задачи) форму записи посредством их перемножения, деления, возведения в степень, умножения на постоянный коэффициент, например

(3.21б)

IX. На основании полученных выражений для критериев подобия записать масштабные соотношения Ip₁,..., Ip_m-1, воспользовавшись «симметричностью» их форм записи