Вторая теорема подобия и ее применение при определении

критериев подобия (p-теорема)

 

Всякое полное физическое уравнение физического процесса, записанное в определенной системе единиц измерения, может быть представлено функциональной зависимостью между критериями подобия, полученными из участвующих в процессе параметров.

Доказательство второй теоремы основано на свойствах степенных рядов (см. критериальные уравнения). Дополнение к теореме:

1. Если математическое описание известно, то критериальное уравнение получается на основе подстановки критериев в основное уравнение.

Пример:

Т.о. согласно второй теореме, количество независимых критериев равно

m – 1 или n – k – 1, где n – количество всех параметров, k – количество независимых параметров.

2. Когда математическое описание не известно, критериальное уравнение записывается в форме:

p – теорема показывает, что среди m критериев всегда найдется один критерий, который является функцией остальных критериев. Количество независимых критериев n – k – 1.

Эта теорема утверждает, что полное уравнение физического процесса, записанное в определенной системе единиц, может быть представлено зависимостью между критериями подобия, т.е. зависимостью, связывающей безразмерные величины, определенным образом полученные из участвующих в процессе параметров.

Вторая теорема (как и первая) основывается на предпосылке, что факт подобия между процессами известен. Она устанавливает число критериев подобия и существование однозначной зависимости между ними. Выражение для критериев подобия могут быть получены, если известен состав параметров процесса, но неизвестно его математическое описание.

Однако, вторая теорема (как и первая) не указывает способов выявления подобия между сопоставляемыми процессами и способов реализации подобия при построении моделей.

p - теорема позволяет заменять переменные, сократив их число с m размерных величин до m - k безразмерных величин, и тем самым записывать уравнения процессов в критериальной форме. При этом облегчается обработка аналитических и экспериментальных исследований, так как связи между безразмерными p - критериями подобия выявляются, как правило, проще, чем связи меду именованными величинами.

 

Методика определения критериев подобия на основе анализа размерностей

Анализ размерностей параметров, участвующих в процессе, позволяет получить выражения для критериев подобия в наиболее общем случае, когда математическое описание этого процесса неизвестно.

Исходные положения:

1. Полное физическое уравнение f(P₁, P₂, P₃, P₄,..., P_i,..., P_m) =0 учитывает все связи между входящими в него величинами P₁,..., P_m и справедливо при изменении системы единиц измерения этих величин.

Неполное уравнение - f(P₁, P₂, P₃, K₁,..., K_j,..., K_n) = 0 - отражает только некоторые частные зависимости между переменными (P₁, P₂, P₃), справедливые в том случае, если переменные (P₄,..., P_m), определенные при конкретных условиях, далее полагаются постоянными применительно к некоторым частным случаям (т.е. коэффициентами (K₁,..., K_j,..., K_n; K_j = const, j = 1,..., n). Неполное уравнение становится полным, если рассматривать коэффициенты K_j как величины, имеющие размерность и изменяющиеся при изменении системы единиц измерения, т.е. раскрыть функциональные связи вида

K_j = f_j(P₄,..., P_i,..., P_m), j = 1,..., n.

2. Единица измерения физической величины.

3. Система единиц измерения.

4. Основные единицы измерения.

5. Производные единицы измерения.

6. Формула размерности.

7. Однородные, одноименные и безразмерные физические величины.

8. Параметры с независимыми размерностями (независимые параметры) и параметры с зависимыми размерностями (зависимые параметры).

Группой независимых параметров называется такая группа параметров, в которой размерность ни одного из не может быть образована из размерностей других параметров, принадлежащих той же группе. Пример: две группы параметров (l, m, v) и (l, t, v), в первой группе параметры независимы, во второй - зависимы, т.к. v = l/t. Если параметры зависимы, то нельзя все характеристики выбирать произвольно. Пример: произвольно выбрав величины для измерения тока и напряжения, нельзя произвольно выбирать величины, измеряющие сопротивления и мощность.

9. Признаком независимости параметров P₁, P₂, P₃,..., P_k является существование хотя бы одного определителя порядка k отличного от нуля, который образуется из элементов матрицы, составленной из показателей степеней при основных единицах измерения в формулах размерностей этих параметров. Пример:

для независимости группы параметров P₁, P₂ и P₃ необходимо неравенство нулю определителя

10. Для физического процесса, полностью характеризуемого m размерными параметрами P₁,..., P_k, P_k+1,..., P_s,..., P_m, среди которых k параметров P₁,..., P_k являются независимыми, существует m - k критериев подобия p₁,..., p_m-k. Число k равно рангу матрицы, образованной показателями степеней при основных единицах измерения.

Методика определения критериев подобия путем анализа размерностей участвующих в процессе факторов сопровождается примером определения критериев подобия переходного процесса i(t) для последовательной цепи с активным сопротивлением R, индуктивностью L, емкостью C, включенной на напряжение u, меняющееся во времени по синусоидальному закону с угловой скорость w.

 

Этапы определения критериев подобия

 

I. Выявление параметров P₁,..., P_i,..., P_m, характеризующих рассматриваемый процесс.

Соотношение, отражающее существенные связи между параметрами процесса и элементов системы, в которой процесс протекает, представляется полной функциональной зависимостью вида

f(P₁,..., P_i,..., P_m)

или для примера (m = 7)

f(i, t, R, L, C, u, w).

II. Составление полной матрицы размерностей ||A|| для параметров P₁,..., P_m. Для составления матрицы размерности всех параметров P₁,..., P_m записываются в основных единицах выбранной системы измерения [ a, b,..., q ], для примера - система СИ - [ L, M, T, I ].:

Количество строк полной матрицы размерностей ||A|| соответствует общему числу параметров m, а количество столбцов - числу основных единиц измерения q, строки матрицы образуются показателями степеней при основных единицах измерения параметров.

Полная матрица ||A|| размером m ´ q, в примере 7 ´ 4, т.к. m = 7, q = 4, имеет вид

или

символ ® соответствие.

III. Определение числа независимых параметров и числа критериев подобия. Число k независимых параметров равно рангу k полной матрицы размерностей ||A||, а число критериев подобия K_p - разности между общим числом параметров m и числом независимых параметров k. Ранг матрицы - наибольший порядок отличного от нуля определителя, который составлен из элементов строк данной матрицы с сохранением порядка их следования.

Число k независимых параметров не может превышать числа q основных единиц измерения, следовательно, ранг матрицы всегда не больше q (k £ q). Общее число определителей N_q порядка q равно сочетанию из m по q (в примере m = 7, q = 4)

или, для примера N_q = 35. Все определители 4-го порядка равны нулю. Далее анализируются определители порядка q - 1, и т.д. В примере не равен нулю определитель 3-го порядка, у частичной матрицы составленной из второй, третьей и пятой строк полной матрицы, два из четырех возможных определителей не равны нулю, следовательно, ранг полной матрицы ||A|| равен трем . Поэтому число независимых параметров k = 3, число критериев подобия K_p = m - k = 7 - 3 = 4.

В общем случае, признаком зависимости является пропорциональность соответствующих строк матрицы либо возможность представления какой-либо из ее строк в виде линейной комбинации других строк.

IV. Определение конкретного состава группы независимых параметров P₁,..., P_k и числа форм записи критериев подобия F_p.

В состав группы из k независимых параметров входят такие параметры, для которых существует хотя бы один определитель не равный нулю порядка k, составленный из элементов частичной матрицы размерностей размером k ´ q. В примере такую группу образуют параметры u, R, C, которым соответствует частичная матрица размерностей ||B_i^*||. Общее число возможных форм записи критериев подобия F_p равно: числу отличных от нуля определителей порядка q, если ранг полной матрицы размерности равен k = q; числу комбинаций из m параметров по k, у которых ранг частичной матрицы размером k ´ q составляет k, если ранг полной матрицы размерности k < q.

В примере имеется 35 частичных матриц (C₇³ = 35) размером 3 ´ 4, каждая из которых соответствует комбинации 3-х параметров. Из них 22 матрицы имеют ранг равный трем, т.е. существуют 22 комбинации независимых параметров и, для четырех критериев подобия (K_p = 4) возможны 22 формы записи (F_p = 22).

V. Определение выражений для критериев подобия p₁,..., p_m-k в какой-либо форме записи.

Для определения выражений критериев подобия в исходной зависимости f(P₁,..., P_m) = 0

параметры P₁,..., P _m перегруппировываются, и эта зависимость представляется в виде:

f(P₁,..., P_i,..., P_k; P_k+1,..., P_s,..., P_m) = 0,

где P₁,..., P_i,..., P_k - независимые параметры в какой-либо комбинации; P_k+1,..., P_s,..., P_m - остальные параметры с зависимыми размерностями.

Для группы независимых параметров u, R, C примера

f(u, R, C; i, L, t, w) = 0

Исходные формулы для определения выражений критериев подобия имеют вид (число критериев K_p = m - k, в примере K_p = 4):

или, для примера

Для определения конкретного вида выражений критериев подобия p₁,...., p_m-k необходимо найти значения показателей степеней x₁ - x_m-k, y₁ - y_m-k, z₁ - z_m-k при независимых параметрах P₁ - P_k (в примере x₁ - x₄, y₁ - y₄, z₁ - z₄ при параметрах u, R, C).

Критерии подобия - безразмерные величины, следовательно, размерности числителей и знаменателей в выражениях для критериев подобия одинаковы, отсюда, для p_s можно записать

[P_s] = [P₁]^xi... [P_k]^zi

или

В примере для p₁ соотношение имеет вид

[i] = [u]^xi [R]^yi [C]^zi

или

[L⁰M⁰T⁰I¹] = [L²M¹T^-3I^-1] ^x1 [L²M¹T^-3I^-2] ^y1 [L^-2M^-1T⁴I²] ^z1.

Далее получаем систему из q уравнений с k = q неизвестными xi,..., zi при a, b,..., q соответственно. Система получается путем приравнивания показателей степеней при одноименных единицах измерения a, b,..., q в левой части выражения для P_s и в правой части, записанной в виде произведения формул размерностей независимых параметров:

В примере для p₁ система уравнений имеет вид:

0 = 2x₁ + 2y₁ - 2 z₁;

0 = x₁ + y₁ - z₁;

0 = -3x₁ - 3y₁ + 4z₁;

1 = - x₁ - 2 y₁ + 2z₁.

Решение системы дает x₁ = 1, y₁ = -1, z₁ = 0. Аналогично составляются и решаются системы для других неизвестных, окончательно:

x₁ = 1, x₂ = 0, x₃ = 0, x₄ = 0;

y₁ = -1, y₂ = 2, y₃ = 1, y₄ = -1;

z₁ = 0, z₂ = 1, z₃ = 1, z₄ = -1.

После определения значений степеней при независимых параметрах выражения критерия подобия записываются в окончательном виде.

Для рассматриваемого примера окончательные выражения для критериев подобия в форме записи, соответствующей независимым переменным u, R, C, будут иметь вид:

Кроме этой записи, можно определить выражения для критериев подобия и в любой другой форме записи, соответствующей иному составу группы независимых параметров P₁ - P_k.

В примере возможна еще 21 форма записи (F_p = 22) критериев подобия.

VI. Представление описания исследуемого процесса в виде критериального уравнения.

Исследуемый процесс представляется функциональной зависимостью между найденными критериями подобия

y(p₁, p₂,..., p_i,..., p_m-k) = 0.

При этом следует учитывать, что один из критериев подобия (определяемый) обязательно является функцией остальных (определяющих или независимых) критериев подобия и, следовательно, автоматически выполняется при соблюдении независимых критериев подобия, можно окончательно записать критериальное уравнение в виде

p₁ = F(p₂, ¼, p_i, ¼, p_m-k),

уменьшив таким образом число величин, определяющих характер исследуемого процесса с m до (m - k - 1).

В примере m = 7, m - k - 1 = 3, а критериальное уравнение имеет вид

p₁ = F(p₂, p₃, p₄),

где для группы независимых параметров u, R, C будет p₁ = i/(uR^-1).