Получение передаточной функции сау по дифференциальному уравнению.

Понятие передаточная функция является наиболее важной категорией в теории автоматического управления и регулирования. Передаточная функция является своего рода математической моделью САУ, т.к. полностью характеризует динамические свойства системы.
Передаточная функция (ПФ) звена или системы представляет собой отношение изображение по Лапласу выходной величины Y (р) к изображению входной величины Х (р) при нулевых начальных условиях и равных нулю воздействиях на остальных входах элемента (системы), т.е.

,

Y(p), X(p) - изображения по Лапласу выходной и входной величин элемента (системы); , - полиномы знаменателя и числителя передаточной функции W(p).

Рис.2.9. Структурная схема САУ

Поскольку для линейных систем можно применить принцип наложения, то для типовой структурной схемы замкнутой САУ различают 3 основные ПФ, применяемые для исследований (рис.2.9):
ПФ разомкнутой системы -
ПФ замкнутой САУ по управляющему (возмущающему) воздействию -
ПФ замкнутой САУ по ошибке от управляющего (возмущающего) воздействия -
Полином знаменателя передаточной функции замкнутой системы называется характеристическим уравнением, который при исследованиях приравнивают к нулю, т.е. вместо него можно использовать W_p(p) а также полиномы числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой системы R(p) и Q(p):
1+W_p(p) = R(p)+Q(p) = 0 - характеристический полином замкнутой САУ.
Передаточные функции содержат особые точки на комплексной плоскости -нули и полюса. Полюса - это те значения р, при которых передаточная функция превращается в бесконечность. Для определения полюсов необходимо собственный оператор (знаменатель передаточной функции) приравнять к нулю и произвести решение алгебраического уравнения относительно р. Нули - это те значения р, при которых передаточная функция равна нулю. Для нахождения нулей числитель передаточной функции приравнивается к нулю и полученное алгебраическое уравнение решается относительно р. В связи о этим передаточная функция может быть представлена как отношение произведений элементарных сомножителей:

, где при i - полюса передаточной функции; при k - нули передаточной функции.
Если задана структура САР, то можно определить передаточную функцию относительно любых двух точек структуры. При этом необходимо использовать существующие правила структурных преобразований. Передаточные функции элементов или отдельных участков схемы позволяют легко получить общее уравнение всей системы, а в случае необходимости перейти к дифференциальному уравнению.

 

Билет 10