Принципы расчленения аср на элементарные звенья. Характеристики звеньев.

Любую линейную часть САР с сосредоточенными постоянными параметрами можно расчленить на элементарные, далее неделимые звенья четырёх типов - интегрирующие, дифференцирующие, масштабные и суммирующие. Реальные САР (у которых степень числителя ПФ не выше степени знаменателя) можно представить, как правило, звеньями всего трёх типов (без дифференцирующих). Расчленение на элементарные звенья удобно при моделировании САР на аналоговых вычислительных машинах. При др. методах исследования линейную часть обычно расчленяют на более сложные типовые звенья: первого порядка - неидеальные дифференцирующие, интегро-дифференцирующие, апериодические; второго порядка - неидеальные интегрирующие, колебательные, запаздывающие и др. Порядок линейного звена Структурная схема определяется порядком описывающего его динамику дифференциального уравнения.

Поскольку ПФ систем адекватно описывают их динамические свойства, одну Структурная схема можно заменить другой, эквивалентной ей, при единственном необходимом и достаточном условии - равенстве их ПФ. При этом преобразование обыкновенных линейных Структурная схема производится в соответствии с правилами преобразования соединений простейшего типа - последовательных, параллельных и с обратной связью. Структурная схема в целом и звенья любого порядка выше второго могут быть заменены несколькими Структурная схема или звеньями порядка не выше второго, что значительно упрощает анализ и синтез САР.

Безынерционное (пропорциональное, усилительное) звено, для которого в любой момент времени выходная величина пропорциональна входной. И в статике, и в динамике описывается уравнением: y(t) = k u(t)

Интегрирующее (астатическое) звено. Идеальное интегрирующее звено описывается дифференциальным уравнением первого порядка: dy/dt = k u(t), т.е. скорость изменения выходной величины пропорциональна значению входного сигнала.

Интегрирующее звено с замедлением описывается дифференциальным уравнением: T d2y(t)/dt2 + dy(t)/dt = ku(t). Передаточная функция звена: W(p) = k/[p(Tp+1)].

Идеальное дифференцирующее звено. Выходная величина звена пропорциональна скорости изменения входной величины (производной от входной величины), а уравнение динамики имеет вид: y(t) = k du(t)/dt. Передаточная функция: W(p) = kp. При k = 1 звено осуществляет чистое дифференцирование W(p) = p.

Дифференцирующее звено с замедлением. На практике используют реальные дифференцирующие звенья, осуществляющие приближенное дифференцирование входного сигнала. Реальное дифференцирующее звено является последовательным соединением двух типовых звеньев - идеального дифференцирующего kp и инерционного 1/(Tp+1). В конечном диапазоне рабочих частот характеристики такого звена могут быть сколь угодно близки к идеальным. Звено описывается уравнением: T dy(t)/dt + y(t) = k du(t)/dt. Передаточная функция: W(p) = kp /(Tp+1).

Апериодическое звено второго порядка. Дифференциальное уравнение звена: T2d2y(t)/dt2+ 2омегаT dy(t)/dt + y(t) = k u(t), где омега коэффициент (декремент) затухания (демпфирования). Передаточная функция: W(p) = k/(T2p2+ 2 Tp + 1).

Колебательное звено. При <1 корни полинома знаменателя W(p) апериодического звена второго порядка комплексно сопряженные. Переходная характеристика представляет собой выражение, характеризующее затухающий колебательный процесс с затуханием омеги (возможные значения от 0 до 1) и частотой f= 1/T, т.е. переходный процесс представляет собой затухающие колебания относительно установившегося значения. Примерами колебательного звена могут служить пружина с успокоительным устройством, электрический колебательный контур с активным сопротивлением и т.п.

Определение устойчивости системы по расположению корней на комплексной плоскости
Устойчивость- свойство системы возвращаться в исходное состояние равновесия после прекращения воздействия выведшего систему из этого состояния.
Комплексные корни всегда попарно сопряжены между собой. Если есть корень с положительной мнимой частью то обязательно существует с такой же по модулю но отрицат мнимой частью.
Общее условие устойчивости:
Для устойчивости линейной, автоматич системы управления необходимо и достаточно чтобы действит части всех корней характеристического ур-я системы были отрицательными при этом действит корни рассматр как частный случай комплексных корней, у которых мнимая часть=0. Устойчивость зависит только от вида корней и не зависит от характера внешних воздействий на систему.
Формулировка 2.
Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно чтобы все корни характеристического уравнения находились в левой полуплоскости. Если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости то система будет неустойчивой. И наконец мнимая ось явл границей устойчивости в плоскости корней.
Если хар-ое уравнение имеет одну пару чисто мнимых корней а все остальные корни находятся в левой полуплоскости то в системе устанавливаются незатухающие гармонические колебания с круговой частотой w=Bk
Если В=0 урапвнение имеет 1 нулевой корень то система находится на апериодической границе устойчивости.
Если нулевых корня два то система неустойчива.

 

Билет 11