Основні задачі створення і дослідження систем

Показники якості їх функціонування.

Критерії оптимізації систем

Серед задач, що виникають у зв'язку із створенням систем, можна виділити задачі 2-х видів:

- задачі аналізу, що пов'язані з вивченням властивостей функціонуванням системи в залежності від структури і значень збурюючи: і керуючих дій. Кінцевою метою аналізу є, як правило, судження про якість функціонування існуючої (або спроектованої) системи у заданих умовах впливу навколишнього середовища.

- задачі синтезу, що зводяться до вибору елементів (або зв'язків між ними або режимів їх функціонування) системи, що проектується, які забезпечують задані показники якості функціонування системи у заданих умовах впливу навколишнього середовища.

Кінцевою метою синтезу, як правило, є набір елементів, зв'язків між ними і параметрів елементів нової створеної системи з метою забезпечення заданої поведінки цієї системи.

Показники якості функціонування системи

Для оцінки поведінки системи використовують певні критерії оцінки у вигляді деяких функціоналів.

Розглянемо в якості прикладу транспортну систему міста, в якій для покращення роботи транспорту можуть бути використані наступні види організаційного управління:

х₁ - збільшення транспортних одиниць на мережі для перевезення вантажів і пасажирів;

х₂ - збільшення пропускної здатності міських магістралей;

х₃ - варіації вантажопід'ємності та пасажиромісткості міського транспорту.;

х₄ - інженерне облаштування вулиць та шляхів.

Необхідно визначитись щодо ефективності та доцільності того або іншого виду організаційного управління.

Нехай W - показник ефективності системи (наприклад, прибуток від виконання перевезень вантажів і пасажирів), W₁;W₂; W₃; W₄- той же самий показник, що відповідає обраному управлінню (х₁ х₂, х₃, х₄).

Тоді величина різниці ΔW_1,2 = W₁ - W₂ - може бути оцінкою порівняння ефективності варіанту управління х₁ у порівнянні з варіантом х₂.

Очевидно, що можна оцінювати і комплексне управління. Наприклад, значення ΔW_1,2,3 = W_1,2 - W₃ дозволяє оцінювати ефективність впровадження комплексу управлінь х₁ х₂ У порівнянні з одним лише управлінням х₃ і т.п.

У загальному випадку, для того щоб знайти глобальний оптимум показника W (найефективніше управління), зазвичай вирішують задачу оптимізації W шляхом варіювання значень управлінь х₁ х₂... х_n.

Загальний показник ефективності W залежить від трьох категорій факторів:

- фактори α₁; α₂;... - які попередньо відомі чи можуть контролюватися у процесі функціонування системи.

- невідомі (або ті, що не можуть бути виміряні кількісно) фактори Y₁, Y₂…

- можливі елементи рішення X₁, Х₂,...- які ми маємо обирати.

Тоді можна записати у загальному вигляді певний функціонал, що відображає вплив усіх цих факторів на ефективність функціонування системи:

W = W(α₁; α₂; ... Y₁ ;Y₂...; X₁; Х₂...) (1.1)

У найпростішому вигляді, коли немає невідомих факторів Y₁ ;Y₂... вказаний функціонал приймає вид:

W = W(α₁; α₂; ... X₁; Х₂...) (1.2)

Якщо ця залежність має місце, то задача аналізу системи може бути сформульована наступним чином.

При заданих зовнішніх умовах α₁; α₂;... і обраних управліннях X₁; Х₂... знайти чисельне значення показника ефективності W.

Очевидно, що при коректно отриманій залежності задача аналізу зводиться до чисто обчислювальних процедур.

Очевидно, також, що можна змінювати значення або а_і або X_і і оцінювати кожного разу нове значення W.

При вирішенні задачі синтезу за допомогою функціонала (1.2) задач визначення оптимальних значень Х₁;Х₂... можна сформулювати наступним чином.

При заданих умовах α₁; α₂;... знайти такі елементи вирішення X₁;Х₂..., які перетворюють W в максимум.

Це типова математична задача, що відноситься до класу так званим варіаційних задач, вирішення яких достатньо добре відомо інженерам:

- для знаходження max (або тіп) W необхідно продиференціювати вираз (1.2) по аргументу X_і (чи по аргументам, якщо їх декілька» прирівняти добуток до нуля і вирішити отриману систему рівнянь.

Відмітимо, що у випадку наявності обмежень на варіації X_і екстремум отримати на заданому інтервалі не завжди вдається, тоді він лежить, як правило, на межі області можливих значень рішень.

У будь-якому випадку, при відсутності неконтрольованих факторів Y₁ Y₂... пошук оптимуму представляє, частіше за все, лише проблему, яка обчислюється і вирішується з залученням ідей лінійного чи нелінійного програмування (про це ми поговоримо більш докладно трохи пізніше).

Якщо ж існують фактори, що є неконтрольованими, і функціонал визначається формулою (1.1), проблема вибору оптимальних управлінь X₁ Х₂...суттєво ускладнюється. Це вже не лише математична задача. Наявність Y₁ Y₂... y виразі (1.1) приводить задачу оптимізації до задачі про вибір рішення в умовах невизначеності.

Будемо чесними: невизначеність - є невизначеністю. Будь-яке рішення прийняте в умовах невизначеності завжди гірше рішення, прийнятого у досить визначеній ситуації. Але ж рішення, прийняте в умовах визначеності на основі математичних розрахунків і прогнозів, як підтверджує практика, все ж краще рішення, прийнятого навмання.

Природнім і розумним виявляється вивчення передісторії зміни неконтрольованих факторів Y_i (і є N), наприклад, визначенням ймовірності того чи іншого чисельного значення цих факторів.

У гіршому випадку, можна просто по передісторії визначити їх середнє значення і використати їх у функціоналі (1.1) як відомі величини, привівши задачу до класу детермінованих варіаційних задач.

У випадку, коли Y_i (і є N) є випадковими величинами для оптимізації може бути застосовано один з двох прийомів:

1. Штучне зведення задачі до детермінованої схеми, коли варіації Y_i, відносно його математичного сподівання M(Y_i) дуже малі і можна у розрахунках прийняти саме їх середні значення.

2. Здійснювати оптимізацію "вручну", тобто враховувати закони розподілу випадкових змінних Y_i (і є N) і оцінювати середнє значення показника ефективності у відповідності з формулою:

 

(1.3)

 

Особливий клас задач оптимізації складних систем представляє випадок наявності конфліктних ситуацій, коли Y_i (і є N) залежить не стільки від об'єктивних обставин, а від активно протидіючого розробнику системи конкурента. Така ситуація частіш за все виникає при управлінні збутом продукції в умовах ринку. В цьому випадку для прийняття оптимальної стратегії управління застосовують так звану теорію ігор, що займається саме обґрунтуванням прийняття рішень у конфліктних ситуаціях.

Відмітимо також дуальність задач оптимізації, що полягає у можливості пошуку або max функціонала, або тіп деякого іншого функціонала, що виражається через функціонал, що максимізується.

Наприклад, замість того, щоб шукати max W, можна шукати

 

W'=(A-W) =>min

 

де А - деяка константа, до якої прагне функціонал W.

Часто заміна задачі пошуку max задачею пошуку тіп здійснюється простою заміною:

 

W'=-W, a6o W' = l/W

 

Іноді оцінка якості функціонування систем здійснюється за декількома показниками, причому деякі з них необхідно максимізувати, інші - мінімізувати.

Наприклад, система організації перевезень може бути охарактеризована наступними показниками:

W₁ - чистий прибуток від перевезень (=>тах);

W₂ - об'єм перевезень (=>тах);

W₃ - собівартість перевезень (=> тіп).

У подібних випадках критерії, що є у протиріччі один одному, намагаються об'єднати у один комплексний критерій. Існують декілька прийомів запису комплексних критеріїв:

1. Узагальнений критерій:

 

,

 

де W₁... W_m - показники, які бажано збільшити;

W_m+1... W_k - показники, які бажано зменшити.

Очевидно, що у даному випадку необхідно шукати max U (або навпаки,

U' = 1/U=> тіп).

2. Зважений критерій.

 

U =a₁ W₁+ a₂W₂+... +a_k∙W_k,

 

де a₁ (і є k) - коефіцієнти важливості (впливу) і -го показника. При цьому а_і можуть бути як додатні (при пошуку max) так і від'ємні (при пошуку тіп).

Але обидва ці критерії мають один загальний недолік, який полягає у тому, що суттєві збитки по одному з показників (недопустимі) можуть бути скомпенсовані виграшами по інших (Як висловився Наполеон: "Ще одна така перемога - і ми програємо війну!").

Тому на практиці використовують як критерій оптимізації один, найбільш вагомий показник ефективності системи (наприклад, W₁, а інші розглядаються як обмеження при пошуку його оптимального значення.

W₁=W₁{ a ₁; a ₂...Y₁;Y₂;....X₁;X₂...}=>max(min),

 

при умові:

W_іі (і = )- для критеріїв що максимізуються;

W_іj (і = )- для критеріїв, що мінімізуються,

де , - деякі константи, що обмежують окремі критерії.

Наприклад, у розглянутому раніше випадку можна вимагати забезпечення W_і =>тах (максимізувати прибуток), але W₂і (об'єм перевезень не повинен бути менше за ) та W₃J (собівартість перевезень не повинна перевищувати ).