Визначення довірчих інтервалів коефіцієнтів множинної регресії

Останнім, завершаючим етапом аналізу моделі множинної регресії є оцінка довірчих інтервалів отриманих коефіцієнтів моделі. Справа у тому, що визначені одного разу коефіцієнти моделі системи не будуть незмінними при їх повторному визначенні із застосуванням нових експериментальних даних, а кожного разу їх значення будуть відрізнятися від попередніх значень. Задачею цього розділу буде саме визначення границь інтервалів, в яких з заданою ймовірністю будуть знаходиться вказані коефіцієнти при їх повторних визначеннях.

В теорії статистики доведено, що отримані оцінки коефіцієнтів моделі, будуть незміщеними і обґрунтованими при виконанні наступних умов:

- при кожному спостереженні похибка ε_і є випадковою величиною з математичним сподіванням М_ε=0 і дисперсією тобто систематична складова похибки відсутня.

- матриця значень х_ij складається з лінійно - незалежних змінних. Саме при виконанні цих умов дисперсія параметрів моделі визначається матрицею коваріацій вектора оцінок А

 

 

З огляду на (4.13):

 

 

де Е- одинична, діагональна матриця, матриця коваріацій (дисперсій) параметрів моделі регресії А прийме вид:

cov(A)=s²E(X^TX)^-1.

 

Приймаючи замість його оцінку S², якавизначається як

 

 

де (п-т) - число ступенів свободи, яке дорівнює числу вибірок за винятком числа параметрів моделі, що визначаються, маємо:

 

(4.14)

 

де b_jj - діагональні елементи матриці (X^T X)^-1 (j=0,1,2,..., m)...

Тоді середнє-квадратична помилка визначення параметра a_j буде дорівнювати

 

(4.15)

Формули (4.14) і (4.15) можуть бути використані безпосередньо для оцінки параметрів моделі множинної регресії.

У розглянутому вище прикладі діагональні елементи матриці (Х^тХ)^-1 є рівними:

 

 

Розрахуємо S²:

 

 

Тоді середню квадратичну похибку визначення а_j розрахуємо по (4.14) з урахуванням (4.15):

 

 

Далі визначимо розрахункові коефіцієнти довіри (t - коефіцієнти) параметрів моделі:

 

 

При рівні довірчої ймовірності Р=0,95 і числі ступенів свободи

К=п-m- 1=19-2-1 = 16 по таблиці Стьюдента знаходимо критичне значення коефіцієнта довіри t_кр =2,12. Тому в отриманому рівнянні регресії, значущим є лише коефіцієнт регресії а₂ =1,532, тобто вплив змінної х₁ є незначним.

Довірчий інтервал для коефіцієнта моделі а₂ визначається (при Р=0,95):

 

 

Оскільки параметри а₀ і а₁ не є значущими, то а₁ може бути виключений з рівняння множинної регресії. При цьому замість змінної х₁ може бути прийнята друга змінна, яка досі не розглядалась і не була введена в модель множинної регресії. Можливо, що ця подія допоможе підвищити точність моделі. Але при цьому всю процедуру оцінювання необхідно повторити з усіма експериментальними даними, включаючи також дані про нову змінну х₁.

Завершуючи розгляд методики отримання моделей множинної лінійної регресії, введемо програму розрахунків коефіцієнтів множинної регресії та оцінку точності моделі у середовище MATHCAD -2000 (див. нижче).

В наведеній програмі досліджується залежність прибутку (у) від обсягу капіталовкладень за поточний рік (х₁), обсягів основних фондів (х₂) і чисельності працюючих на 7 аналогічних підприємствах.

Отриманий коефіцієнт детермінації К_д =0,922 свідчить про те, що незалежні змінні (аргументи моделі) вибрані правильно. Про це свідчить також і отримана дисперсія похибки моделі.

Зауважимо, що в результаті розрахунків чисельність працюючих негативно впливає на прибутковість роботи підприємств. Виходячи з цього необхідно приділити значну увагу саме питанню більш ефективного використання особистого складу працюючих з метою підвищення їх віддачі. Можливо, що необхідно скоротити адміністративний персонал і підвищити долю безпосередньо зайнятих на виробництві людей.