Побудова і аналіз статистичних моделей

Як вже зазначалося раніше, статистичні моделі застосовуються, як правило, там де механізм взаємовпливу змінних не визначений повністю, внаслідок складності причинно-наслідкових зв'язків, але необхідна чисельна оцінка (навіть приблизна) впливу змінних X (назвемо їх незалежними) на залежну від них змінну Y (назвемо її відгуком чи залежною змінною).

В основу побудови статистичних моделей покладено метод так званого "чорного ящику" Цей метод був запропонований американським вченим

Н. Вінером і відображає узагальнений підхід до вивчення об'єктів і систем будь-якої фізичної природи. Суть його полягає у тому, що будь-який об'єкт або процес, що вивчається, представляється у вигляді квадрату (чорного ящику) з невідомим змістом і внутрішньою структурою, у якому визначаються лише діючі вхідні змінні, а також вихідні змінні, що цікавлять дослідника. Інші змінні, що не представляють інтересу для дослідження, просто ігноруються (див. рис.2.1).

Рис.2.1 Представлення об'єкта дослідження у вигляді "чорного ящика"

Не вдаючись до фізичної суті внутрішніх зв'язків в об'єктах дослідник спостерігає (або цілеспрямовано змінює, якщо це можливо вхідні змінні

Х_і (і = ), при цьому спостерігає і реєструє поведінку вхідних змінних

Y_і (і= ). Оброблюючи по визначеним алгоритмам масиви вхідних і вихідних змінних, дослідник отримує математичну модель об'єкта, що встановлює залежність:

 

(2.1)

 

де Y={y₁; y₂… y_m} - вектор вихідних змінних;

X={x₁; x₂… x_n} - вектор вхідних змінних;

F - оператор перетворення X в У.

У випадку лінійної моделі формула (2.1) спрощується і має вигляд:

 

(2.2)

 

де А - матриця впливу X на У, в якій а_ij - функція впливу х_j на у_i

А₀ - матриця початкових умов.

У найпростішому випадку одномірного лінійного об'єкт дослідження

(m =1; п = 1) маємо:

 

(2.3)

де a₀; а₁ - відповідно вільний член і коефіцієнт впливу х на у при представленні об'єкта в вигляді лінійної одномірної моделі.

Очевидно, що при нульових початкових умовах маємо у = а₁х – прямо пропорційну залежність.

Побудова статистичної моделі завжди передбачає ряд етапів:

1. Вибір незалежних факторів x_і що найбільш значимо впливають на залежні у з великої кількості факторів X, що реально існують у системі, (тобто етап проведення експерименту відсіювання).

2. Визначення об'єму вибірки та проведення експериментів з метою отримання бажаних значень залежності (у) від відібраних незалежних (х_і), що змінюються в діапазоні, що цікавить дослідника.

3. Вибір форми функціональної залежності y(x_і); і = ;

4. Визначення коефіцієнтів (параметрів) моделі.

5. Оцінка достовірності отриманих значень коефіцієнтів моделі. Розглянемо більш докладно зазначені вище етапи отримання математичних моделей.

2.2.1. Проведення експерименту відсіювання (вибір значущих факторів)

На початковому етапі експериментатор, скоріш за все, не знає які фактори (змінні,т,) потрібно включити в модель системи або об'єкту як досить значимі і які можна не включати по причині їх незначного впливу на відгук (у).

Найбільш просто проводити експеримент відсіювання з використанням критерію Х² (хі-квадрат), що є досить докладно розглянутим в літературі по прикладній статистиці. В цьому випадку досліджується кожна пара змінних y_і; х_j (j = ; де т - число взятих для дослідження змінних). Перевірка значимості впливу кожного з т факторів по критерію Х² дозволяє відкинути найменш значимі фактори. При цьому рівень "довіри" до прийнятого рішення зазвичай визначається числом Р = 0,95.

Достатньо ефективним методом визначення взаємозалежності відгуку стосовно незалежних факторів (x_j), що досліджуються є Дисперсійний аналіз, що базується на F-критерії Фішера.